2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题4圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题考法1定点问题

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题4圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题考法1定点问题，共3页。
(1)求C的离心率；
(2)若直线l交C于M，N两点(M，N不与点B重合)，且直线BM，BN，MN的斜率满足kMN(kBM＋kBN)＋3＝0，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)因为A(1，eq \f(3,2))在C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)＝1上，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4（a2－1）)＝1，解得a2＝4或eq \f(1,4)(舍去)，
故C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，所以C的离心率为 eq \r(\f(4－3,4))＝eq \f(1,2).
(2)设l：y＝kx＋m，联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,3x2＋4y2＝12，))
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xN＋xM＝－\f(8km,3＋4k2)，,xNxM＝\f(4m2－12,3＋4k2)，))
所以kBM＝eq \f(kxM＋m,xM＋2)，kBN＝eq \f(kxN＋m,2＋xN)，
以kBM＋kBN＝eq \f(kxM＋m,xM＋2)＋eq \f(kxN＋m,2＋xN)
＝eq \f(（kxM＋m）（2＋xN）＋（kxN＋m）（2＋xM）,（2＋xM）（2＋xN）)
＝eq \f(2kxNxM＋（2k＋m）（xN＋xM）＋4m,xNxM＋2（xN＋xM）＋4)
＝eq \f(2k（4m2－12）＋（2k＋m）（－8km）＋12m＋16mk2,4m2－12－16km＋12＋16k2)
＝eq \f(3m－6k,4k2－4km＋m2)，
由题意得k·eq \f(3m－6k,4k2－4km＋m2)＝－3，
整理得2k2－3km＋m2＝0，所以k＝m或k＝eq \f(1,2)m，
因为l：y＝kx＋m不过点(－2，0)，
故k＝m，此时y＝kx＋m过定点(－1，0)．
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
(2023·揭阳模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(5,3)，点A(a，0)到渐近线的距离为eq \f(12,5).
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于M，N两点，且eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝0，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
解：(1)因为双曲线的离心率为eq \f(5,3)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \f(5,3)，①
双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，
因为点(a，0)到渐近线的距离为eq \f(12,5)，
所以eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(12,5)，②
由①②得a2＝9，b2＝16.
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，
设直线l的方程为x＝t，则M(t，y1)，N(t，－y1)，
则eq \f(t2,9)－eq \f(yeq \\al(2,1),16)＝1，得yeq \\al(2,1)＝eq \f(16t2,9)－16>0，得t2>9，得t>3或t0，))且x1＋x2＝eq \f(18km,16－9k2)，x1x2＝－eq \f(9m2＋144,16－9k2)，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x1－3，kx1＋m)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(x2－3，kx2＋m)，
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(x1－3)(x2－3)＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(k2＋1)x1x2＋(km－3)(x1＋x2)＋m2＋9
＝eq \f(－（9m2＋144）（1＋k2）＋18km（km－3）,16－9k2)＋m2＋9＝0，
化简可得7m2－54km－225k2＝0，
即(7m－75k)(m＋3k)＝0，得m＝－3k或m＝eq \f(75,7)k，
若m＝－3k，则直线l的方程为y＝k(x－3)，
此时直线l过点A，
即直线l与双曲线C有3个交点，不成立．
若m＝eq \f(75,7)k，则直线的方程为y＝k(x＋eq \f(75,7))，
此时直线l过定点(－eq \f(75,7)，0)，
综上所述，直线l过定点(－eq \f(75,7)，0)．