人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动4 单摆学案

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1．单摆模型
(1)由细线和小球组成。
(2)细线的质量和小球相比可以忽略。
(3)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
注意：单摆是理想化模型，实际并不存在。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动。
在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(×)
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。(√)
(3)单摆是一个理想化的模型。(√)
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅无关。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))。
2：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)摆球的质量越大，周期越大。(×)
(2)单摆的振幅越小，周期越小。(×)
(3)单摆的摆长越长，周期越大。(√)
3：填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为________。
[答案] 2T
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
(2)单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F＝mgsin θ＝mgeq \f(x,l)。
考点1 对单摆的回复力及运动特征
的理解
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈eq \f(x,l)，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
3．单摆的振动图像
简谐运动的图像是正弦曲线(或余弦曲线)，而在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动，故它的振动图像也是正弦曲线(或余弦曲线)。
角度1 单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
角度2 单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的张力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mgsin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中不正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
A [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
考点2 单摆周期公式的理解及应用
1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)单摆振动的周期与摆球的质量无关。
(2)振幅较小时，周期与振幅无关。
(3)摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．定量探究：单摆周期与摆长的关系
实验要点
3．单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))。
4．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
【典例3】 (2022·浙江杭州西湖高中月考)摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
D [摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，当地的重力加速度g＝eq \f(4π2l,T2)＝π2m/s2，摆长是0.5 m的单摆的周期T1＝2πeq \r(\f(l1,g))＝2π×eq \r(\f(0.5,π2)) s＝1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝eq \f(gT\\al( 2,2),4π2)＝eq \f(π2×12,4π2) m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝eq \f(gT\\al( 2,3),4π2)＝eq \f(π2×42,4π2) m＝4 m，故C错误，D正确。]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在偏角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场、匀强磁场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长。
[跟进训练]
3．惠更斯利用单摆的等时性原理制成了世界上第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙所示为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在A地走时准确的摆钟移到B地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C [由A地到B地摆钟摆动加快说明周期变小，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可知重力加速度变大了，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动，故C正确。]
1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，下列选项中不属于理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是简谐运动
D [单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误。]
2．关于单摆的简谐运动，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆动到最低点时加速度为0
C．速度变化的周期等于振动周期
D．振动的频率与振幅有关
C [单摆做简谐运动时，摆球经过最低点的速度最大，摆球的运动是变速圆周运动，选项A错误。摆动到最低点时向心加速度最大，选项B错误。速度变化的周期等于振动周期，选项C正确。根据单摆振动的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆的频率与振幅无关，选项D错误。]
3．(2022·湖南八校联考)把在北京调准的摆钟由北京移到赤道，则摆钟( )
A．变慢了，要使它恢复准确，应该增加摆长
B．变慢了，要使它恢复准确，应该减短摆长
C．变快了，要使它恢复准确，应该增加摆长
D．变快了，要使它恢复准确，应该减短摆长
B [把调准的摆钟，由北京移至赤道，重力加速度变小，根据周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，则周期变长，钟变慢了，要使它恢复准确，应该使T减小，即减短摆长l。故A、C、D错误，B正确。]
4．(新情境题，以传感器记录的F­t图像为背景，考查单摆)将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将摆球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为振动的平衡位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)，求：
甲 乙
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)对摆球受力分析如图所示。
摆球在一个周期内两次经过平衡位置，结合题图乙可知T＝0.4π s。
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，
代入数据解得L＝0.4 m。
(2)摆球在最高点A，有Fmin＝mgcs α＝0.495 N，
摆球在最低点B，有Fmax－mg＝meq \f(v2,L)，其中Fmax＝0.510 N，
摆球从A到B，机械能守恒，有mgL(1－cs α)＝eq \f(1,2)mv2，
联立并代入数据得m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2πeq \r(\f(l,g))。
教堂里的发现——单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强。他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
伽利略(1564—1642)是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，伽利略到教堂做礼拜。礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动。摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量使伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的摆动具有等时性。
学习任务
1．知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。
2．理解单摆做简谐振动的条件，掌握单摆的周期公式，会利用图像法分析单摆的运动，并能够进行计算。
3．探究单摆周期与摆长关系，体会实验设计思路。
4．借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。