高中教科版 (2019)4 匀变速直线运动规律的应用习题

这是一份高中教科版 (2019)4 匀变速直线运动规律的应用习题，共7页。

考点一 位移与速度的关系
1．关于公式x＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(t))－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)),2a)，下列说法正确的是( )
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
B [公式x＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(t))－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)),2a)适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误．]
2．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到4v时所发生的位移是( )
A． eq \f(3,2)x B． eq \f(5,2)x C． eq \f(5,3)x D． eq \f(7,3)x
D [若物体的加速度为a，则(2v)2－v2＝2ax1，(4v)2－(3v)2＝2ax2，故x1∶x2＝3∶7，x2＝ eq \f(7,3)x1＝ eq \f(7,3)x，D正确．]
3．一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v.那么，当他的速度是 eq \f(v,2)时，下滑的距离是( )
A． eq \f(l,2) B． eq \f(\r(2)l,2) C． eq \f(l,4) D． eq \f(3l,4)
C [由v2－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))＝2ax知v2＝2al，得l＝ eq \f(v2,2a)；当速度为 eq \f(v,2)时，有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,2))) eq \s\up10(2)＝2al1，得l1＝ eq \f(v2,8a)＝ eq \f(l,4)，故选项C正确．]
4．符合国家安全技术标准的汽车满载时以54 km/h的速度行驶，若刹车的加速度大小为4.5 m/s2，求：
(1)制动距离；
(2)该汽车刹车后3 s的速度和位移分别是多少？
(3)刹车后6 s的速度和位移分别是多少？
[解析] (1)v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))＝2ax得
当v0＝54 km/h＝15 m/s，a＝－4.5 m/s2时，
x＝ eq \f(0－152,2×(－4.5)) m＝25 m.
(2)汽车刹车后到停止所用的时间
t刹＝ eq \f(0－v0,a)＝ eq \f(0－15,－4.5) s≈3.3 s，
故刹车3 s末汽车的速度
v3＝v0＋at3＝15 m/s＋(－4.5)×3 m/s＝1.5 m/s
刹车的位移
x3＝v0t3＋ eq \f(1,2)at eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3))＝[15×3＋ eq \f(1,2)×(－4.5)×32]m
＝24.75 m.
(3)刹车后6 s汽车已停止，故速度v＝0，刹车的位移为25 m.
[答案] (1)25 m (2)1.5 m/s 24.75 m (3)0 25 m
考点二 匀变速直线运动的几个推论
5．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，则以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶ eq \r(2)
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ eq \r(2)
B [从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶ eq \r(2)，选项B正确．]
6．(多选)光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是 eq \f(L,t)
B．物体在 eq \f(t,2)时的瞬时速度是 eq \f(2L,t)
C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是 eq \f(\r(2)L,t)
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是 eq \f(\r(2)t,2)
ACD [全程的平均速度v＝ eq \f(x,t)＝ eq \f(L,t)，A正确； eq \f(t,2)时，物体的瞬时速度等于全程的平均速度 eq \f(L,t)，B错误；若末速度为v，则 eq \f(v,2)＝ eq \f(L,t)，v＝ eq \f(2L,t)，故中间位置的速度v中＝ eq \f(v,\r(2))＝ eq \f(\r(2)L,t)，C正确；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝ eq \f(1,2)at 2， eq \f(L,2)＝ eq \f(1,2)at′2，所以t′＝ eq \f(\r(2),2)t，D正确. ]
7．完全相同的三木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，恰好射穿三块木块，则子弹依次在每块木块中运动的时间之比为( )
A．3∶2∶1 B． eq \r(3)∶ eq \r(2)∶1
C．1∶ eq \r(2)∶ eq \r(3) D．( eq \r(3)－ eq \r(2))∶( eq \r(2)－1)∶1
D [由初速度为0的匀加速直线运动有x＝ eq \f(1,2)at2，由此可得当物体从起始位置开始运动至距起始位置x、2x、3x时(设从开始至上述三时刻的时间为t1、t2、t3)存在关系：x＝ eq \f(1,2)at eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))、2x＝ eq \f(1,2)at eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))、3x＝ eq \f(1,2)at eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3))，联立以上三式可得t1∶(t2－t1)∶(t3－t2)＝1∶( eq \r(2)－1)∶( eq \r(3)－ eq \r(2))，题中子弹运动的过程可以看成是初速度为0的匀加速运动的反向运动过程，由此可知D正确．]
8．物体从某一高度自由下落，第1 s内就通过了全程的一半，物体还要下落多少时间才会落地( )
A．1 s B．1.5 s
C． eq \r(2)s D．( eq \r(2)－1)s
D [利用初速度为零的匀变速直线运动在连续相等的位移内所用时间比为1∶( eq \r(2)－1)，故选项D正确．]
9．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，问：
(1)列车的加速度a是多大？
(2)列车中点经过此路标时的速度v是多大？
(3)整列火车通过此路标所用的时间t是多大？
[解析] (1)由匀变速直线运动的规律2ax＝v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))得，火车加速度a＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)),2l).
(2)对于前一半位移 eq \f(l,2)，有v2－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＝2a× eq \f(l,2)，对于后一半位移 eq \f(l,2)，有v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－v2＝2a× eq \f(l,2)，所以有v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－v2＝v2－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))，故v＝ eq \r(\f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＋v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)),2)).
(3)火车的平均速度 eq \x\t(v)＝ eq \f(v1＋v2,2)
故所用时间t＝ eq \f(l,\x\t(v))＝ eq \f(2l,v1＋v2).
[答案] (1) eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)),2l) (2) eq \r(\f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＋v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)),2)) (3) eq \f(2l,v1＋v2)
10．一个质点从静止开始做匀加速直线运动，它在第3 s内与第6 s内通过的位移之比为x1∶x2，通过第3 m与通过第6 m时的平均速度之比为v1∶v2，则( )
A．x1∶x2＝5∶11，v1∶v2＝1∶ eq \r(2)
B．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ eq \r(2)
C．x1∶x2＝5∶11，v1∶v2＝( eq \r(2)＋ eq \r(3))∶( eq \r(5)＋ eq \r(6))
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝( eq \r(2)＋ eq \r(3))∶( eq \r(5)＋ eq \r(6))
C [质点从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等的时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝(2×3－1)∶(2×6－1)＝5∶11，B、D错误；通过连续相等位移的时间之比：1∶( eq \r(2)－1)∶( eq \r(3)－ eq \r(2))…∶( eq \r(n)－ eq \r(n－1))，所以t3∶t6＝( eq \r(3)－ eq \r(2))∶( eq \r(6)－ eq \r(5)).所以v1∶v2＝ eq \f(x,t3)∶ eq \f(x,t6)＝( eq \r(2)＋ eq \r(3))∶( eq \r(5)＋ eq \r(6)).故C正确．]
11．(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝ eq \r(2)tC＝ eq \f(2,\r(3))tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
BC [初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶ eq \r(2)∶ eq \r(3)∶2，物体到达各点的速率之比为1∶ eq \r(2)∶ eq \r(3)∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝ eq \r(2)tC＝ eq \f(2,\r(3))tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度 eq \x\t(v)＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．]
12．一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点的速度分别是v和7v，经过A、B的时间是t，则下列判断中错误的是( )
A．经过A、B中点的速度是4v
B．经过A、B中间时刻的速度是4v
C．前 eq \f(t,2)时间通过的位移比后 eq \f(t,2)时间通过的位移少1.5vt
D．前 eq \f(x,2)位移所需时间是后 eq \f(x,2)位移所需时间的2倍
A [平均速度vAB＝ eq \f(7v＋v,2)＝4v，即中间时刻的瞬时速度，B正确；中点位移处的速度v eq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f((7v)2＋v2,2))＝5v，A错误；由Δx＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2))) eq \s\up10(2)和7v＝v＋at，可以判断C正确；由 eq \f(x,2)＝ eq \f(5v＋v,2)t1和 eq \f(x,2)＝ eq \f(5v＋7v,2)t2得t1＝2t2，D正确．]
13．一列火车有n节相同的车厢，一观察者站在第一节车厢的前端，当火车由静止开始做匀加速直线运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者时的速度之比是1∶2∶3∶…∶n
B．每节车厢经过观察者所用的时间之比是1∶( eq \r(2)－1)∶( eq \r(3)－ eq \r(2))∶…∶( eq \r(n)－ eq \r(n－1))
C．在相等时间里，经过观察者的车厢节数之比是1∶2∶3∶…∶n
D．如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为 eq \f(v,n)
B [ 根据匀变速直线运动的速度位移公式得v2＝2ax，知每节车厢末端经过观察者时的速度之比为1∶ eq \r(2)∶ eq \r(3)∶…∶ eq \r(n)，故A错误；每节车厢的长度相同，做初速度为零的匀加速直线运动，每节车厢经过观察者所用时间之比为1∶( eq \r(2)－1)∶( eq \r(3)－ eq \r(2))∶…∶( eq \r(n)－ eq \r(n－1))，故B正确；在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，则通过的车厢节数之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C错误；如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为 eq \f(v,2)，故D错误．]
14．有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为2 m/s2，制动时匀减速上升，加速度大小为1 m/s2，中间阶段电梯可匀速运行，电梯运行的楼层高48 m．问：
(1)若电梯运行时最大限速为9 m/s，电梯升到楼顶的最短时间是多少？
(2)如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为15 s，上升的最大速度是多少？
[解析] (1)据题得h＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)),2a1)＋ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)),2a2)＝ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)),2×2)＋ eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)),2×1)＝48 m
解得vm＝8 m/s＜9 m/s
故电梯升到楼顶的最短时间是
tmin＝ eq \f(vm,a1)＋ eq \f(vm,a2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)＋\f(8,1)))s＝12 s.
(2)先匀加速，后以某一速度v匀速，再减速，设加速时间t1，减速时间为t2，则
t1＝ eq \f(v,a1)，t2＝ eq \f(v,a2)，h＝ eq \f(v,2)(t1＋t2)＋v(15－t1－t2)
联立解得v＝4 m/s，另一解不合理舍去．
[答案] (1)12 s (2)4 m/s