人教A版（2019）选修二 第四章数列 拓展一：数列递推与通项公式归类-直击高考考点归纳-讲义

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拓展一：数列递推与通项公式归类1.观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2.等差等比定义求通项等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：即证aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．3.利用与的关系依据求出. 已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写注：an与Sn关系的应用策略(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！4.累加法与累乘法（1）累加法：形如的解析式 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： = 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；  = 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； = 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；  = 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．注：累加法求通项公式的4步骤累乘法：形如的解析式形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．注：累乘法求通项公式的4步骤5.构造法(1)形如型的递推式：①待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解.③待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.④待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.(2)形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．6.分式型取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．7.不动点法求通项（1）定义：方程的根称为函数的不动点．利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列中，已知，且时，（是常数），①当时，数列为等差数列；②当时，数列为常数数列；③当时，数列为等比数列；④当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得)（4）设，满足递推关系，初值条件．令 ，即 ，令此方程的两个根为，①若,则有 （其中）②若,则有 （其中）（5）设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,8.对数变换法形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．考点一 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．1、数列的一个通项公式为________.2、已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（    ）.A． B．C． D．3、将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.4、如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．(1)试写出，并求；(2)记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．考点二 等差等比定义求通项5、在数列中，，，则数列的通项公式为________．6、数列的各项都是正数，，，那么此数列的通项公式为________．7、已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.8、已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为______．考点三 由an与Sn的关系求通项消Sn9、已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝________.10、已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝____________.11、已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(1,3)an＋eq \f(2,3)，则{an}的通项公式an＝________.12、设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)A．2n　 B．2n－1 C．2n D．2n－113、已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．14、已知数列的前项和为，若，()，则______.消an15、设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.16、若数列满足：，，则______.17、已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an+1＝Sn+1，则S8＝（　　）A．255 B．256 C．127 D．12818、设是数列的前n项和，且，，则________．19、若数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,an＋1)(n∈N*)，则a25＝________．20、已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有eq \f(2an,anSn－S\o\al(2,n))＝1成立，则S2 019＝________.（三）内部消化21、设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(5,4)，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))为等比数列．（四）隐藏的Sn22、设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.23、已知数列满足,则的通项公式是_______.24、已知数列满足，则___________.考点四 因式分解25、已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq \o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．26、已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；27、已知各项都是正数的数列的前项和为，，.求数列的通项公式.设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________考点五 累加法求通项29、设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．30、已知，，求通项________.31、若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．32、在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.33、在数列中, ,,则该数列的通项公式= ．34、已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq \f(1,n))，则an＝________；35、已知数列满足，，则________．36、在数列中，，，则（ ）A． B． C． D．考点六 累乘法求通项37、在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．38、已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.39、数列满足：，，则的通项公式为_____________.40、已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.41、在正项数列中，，，.则的通项______.考点七 构造法求通项类型一: )待定系数法：设得,与题设比较系数得,所以所以有：42、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．43、已知数列中，，（且），则数列通项公式为（ ）A． B． C． D．44、已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．45、已知数列中，，又，，若，则（ ）A．7 B．9 C．15 D．1746、在数列中，，，若，则的最小值是（ ）A．9 B．10 C．11 D．1247、若数列的首项，且，令，则（ ）A．4900 B．4950 C．5050 D．5000类型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),则由原递推公式构造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而数列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。注：形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边可以同除以得，转化为．方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。48、已知数列满足，求数列的通项公式。49、数列满足，那么的值为（ ）．A．4 B．12 C．18 D．3250、已知数列中，，求数列的通项公式；51、数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.52、已知数列的首项，且满足，（1）设，证明是等差数列；（2）求数列的前项和.类型三： 通过凑配可转化为 53、已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．54、已知首项为的数列的前项和为，若，则的通项公式为________．二阶线性（其中,均为常数）.原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。55、已知数列满足，则（ ）A． B．2525 C． D．252656、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.57、已知数列{an}中, a1=1, a2=2, an＋2＝ eq \f(2,3)an＋1＋ eq \f(1,3)an, 求{an}的通项公式。58、已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求的通项公式．考点八 分式型取倒数求通项59、 已知数列满足，求数列的通项公式。60、已知数列满足，，则数列的前项和（ ）A． B． C． D．61、已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ） B． C． D．62、已知数列满足，且，则数列__________63、数列中，，且，则其通项公式为（    ）A． B．C． D．64、已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．65、数列满足，．（1）求，，的值；（2）求数列的通项公式；考点九 不动点法求通项形如的递推关系式当时，若，利用特征根方程求出特征根，如果特征方程只有一个实根，可将视为一个整体，构造等差数列求解，即将递推关系式两边减去，然后用1除化简得，其中。如果特征方程有两个实根，可将可视为一个整体，构造等比数列求解。即递推关系式两边分别减去，再将两式相除得，其中，∴，如果特征方程无实根，则是周期数列。66、已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.67、已知，，求的通项公式.68、已知数列满足：，，求数列的通项公式.69、已知数列中，，求的通项.考点十 对数变换法类型：分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。70、正项数列满足，，则数列的通项公式是______．71、数列中，若，，则的通项公式为________.72、已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　．73、已知数列，，则（ ）A． B． C． D．考点十一 周期数列1.若数列{an}满足2.若数列{an}满足3.若数列{an}满足4.若数列{an}满足5.若数列{an}满足6.74、数列 {an}满足 an＋1＝eq \f(1,1－an) , a8＝2，则a1 ＝________.75、已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于(　　)A．504 B．294C．－294 D．－50476、已知数列满足：，，则______．77、已知数列中，，，，则（       ）A．4 B．2 C．-2 D．-478、在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．考点十二 等和数列79、数列{an}满足an＋an＋1＝eq \f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)A．5 B.eq \f(7,2) C.eq \f(9,2) D.eq \f(13,2)80、已知为数列的前项和，，，则（       ）A．2020 B．2021 C．2022 D．202481、若数列满足，则　　．考点十三 等积数列形如型（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.82、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)A．64 B．32 C．16 D．883、已知数列的首项，且满足，则　　．考点十四 前n项积型类比前项和求通项过程：（1），得（2）时，84、若数列满足其前项的积为，则　　．85、已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式A． B． C． D．86、设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是______．考点十五 正负相间讨论、奇偶讨论型（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律（2）分段数列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列87、数列满足，前16项和为540，则　　．88、已知数列满足，则的前40项和为　　　．89、已知数列中，，，则　　．90、已知数列满足，，则数列的通项公式为______．