人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展二：含参函数的单调性、极值和最值讨论-直击高考考点归纳-讲义

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拓展二：含参函数的单调性、极值和最值讨论知识点1 含参函数单调性的讨论对含参函数单调性问题，求解的关键在于思考，相对于具体函数而言含参函数的不确定性在哪里？分类的逻辑是什么？分类的不同层次及各层次分类的依据又是什么？1、对含参函数单调性的分析思路(1) 如何分析原函数的单调性？答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.(2) 那如何分析导函数的正负性呢？。答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).(导函数看“零点”，原函数看单调性)(3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：① 导函数是否存在零点；② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？③ 零点是否在定义域内？(4) 怎么做到准确的分类讨论呢？答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准；② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”.2、常见的分类标准有哪些呢？一般的含参的函数单调性的讨论常见的分类标准有：（1）函数类型；（2）开口方向；（3）判别式；（4）导数等于0有根无根；（6）两根大小；（7）极值点是否在定义域内.3、解含参函数单调性问题的通性通法首先要明确题意，确定参数的范围和函数的定义域，其次按照导函数的类型、导函数是否存在零点、零点是否在定义域内、零点的大小进行分类讨论，最后进行整理和总结就能得到正确的结论.含参函数单调性问题的解决是层递进的，在递进的过程中，因参数在不同位置，使得问题的解决出现了不确定性，为了将不确定的问题转化为确定性的问题，需进行分类讨论.讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，我们可按以下步骤进行：以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）：第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。（1）偶次根式：根号下整体不小于0；（2）分式：分母不等于0；（3）对数：真数大于0.第二步： 求函数导数，导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，有可以讨论该参数得0和不得0，最高次项系数是否为0影响的是函数的类型；（最高次幂的系数是否为0，即“零不零”）第三步：令求出它的根，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。（导函数是否有变号零点，即“有没有”）导数等于0得到的方程若为一元二次方程，可判断其判别式的符号：当判别式小于等于0时，若二次项系数为正，则导数恒大于等于0，函数在定义域内为增函数，若二次项系数为负，则导数恒小于等于0，函数在定义域内为减函数；当判别式大于0时，可以结合韦达定理分析导数等于0的两根与定义域的关系，确定单调区间；（2）导数等于0得到的方程不是二次函数时，根据方程的特点判断有根无根，若有根，再判断其与定义域的关系，若根在定义域内，且为变号零点，则根为极值点，再判断定义域内极值点分成的各段区间导数的正负从而得到函数的单调性；(导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”)（3）如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。第四步：确定分类点：①是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的分类点。②，得到参数的分类点。③，得到参数的分类点。④，得到参数的分类点。第五步：若导数等于0，方程有两个根且均在定义域内，当两根大小不确定时，可通过比较两根大小确定讨论的分界点.(导函数的变号零点之间的大小关系，即“比不比”)第六步：判断分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。以下三种常见方法可用来判断导数的正负：（1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。第七步：综述，这是许多人往往忽视的一个步骤，少了这一步，会被扣分的。4、各模型分类讨论的标准分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.“一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小；1.先求函数的定义域；2.求导函数（能通分要通分，化为乘除分解式，便于讨论正负）；3.先讨论函数只有一种单调区间的（导函数同号的）情况；4.再讨论函数有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）“二次函数”型： 对于导函数为二次型含参函数单调性的讨论，通法如下：第一步，先看二次项系数是否含有参数，若含有参数，则将系数分大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论；若二次项系数为0，则将问题转化为一次函数问题去解决；若二次项系数不为0，则进入第二步.第二步，对一元二次方程的判别式分△≤0或△>0 两种情况进行讨论，若△≤0，则函数在定义域上单调递增或单调递减；若△>0，则进入第三步. 第三步，求出对应一元二次方程的两个不等实根，判断两根是否在定义域内，若两根都不在定义域内或只有一个实根在定义域内，可以借助二次函数图象来解决；若两根都在定义域内，则进入第四步.第四步，判断两个根的大小，从而使问题得解.“指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论.5、分类点示例（1）以导函数零点的大小为分类依据示例1．设函数，其中常数；讨论的单调性；【解析】因为，所以，①当即时，在是增函数，在是减函数，在是增函数；②当即时，在是增函数；③当即时，在是增函数，在是减函数，在是增函数；注：当导函数的零点大小不确定时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示.（2）以导函数零点是否在定义域内为分类依据示例2．已知函数，讨论函数的单调性.【解析】由题意知函数的定义域为，，令，则或，（1）当，即时，在时恒成立，即在上单调递增；（2）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减；（3）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减；（4）当，即时，在上单调递减，在上单调递增.注：当导函数的零点是否在定义域内不能确定时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示.（3）以导函数是否存在零点为分类依据示例3．已知函数，讨论的单调性；【解析】，记，当时，，，所以在上单调递增；当时，，令，所以且，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上可知：时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为注：当不确定导函数是否存在零点（或零点的个数）时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示.（4）以导函数的类型为分类依据示例4．已知函数，若，试讨论函数的单调性.【解析】由题意，函数的定义域为，则，（1）当时，，令，即，解得，所以函数在上单调递增；令，即，解得，所以函数在上单调递增；（2）当时，令，解得或，①若，即时，由，可得或，由，可得，即函数在和单调递增，在单调递减.②若，即时，由，可得或，由，可得，即函数在和单调递增，在单调递减.③若，即时，，可得在单调递增.综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减.注：当导函数为类二次函数时，若其类型不确定，讨论函数单调性的基本步骤如图所示.知识点2 含参函数极值的讨论1、利用导数研究函数极值问题的步骤2、已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值．解决此类问题的一般步骤为：(1)确定函数定义域；(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根；(3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，并得出结论．注：如果解析式中含有参数，需分类讨论，分类标准主要有以下几个方面：(1)f′(x)＝0的根是否存在；(2)f′(x)＝0根的大小；(3)f′(x)＝0的根与定义域的关系等．知识点3 含参函数最值的讨论1、求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．注：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，然后借助图象观察得到函数的最值．2、用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.考点一 含参函数的单调性讨论导主一次型1．（2022·陕西汉中·统考一模）已知，讨论的单调性；2．（陕西省渭南市华阴市2021-2022学年高二上学期期末文科数学试题）设函数，讨论的单调性；3．（安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知函数．讨论函数的单调性；4．（河南省TOP二十名校2022-2023学年高二上学期调研模拟卷二理科数学试题）已知函数．讨论的单调性；导主二次型此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；（1）可因式分解型①一根含参5．（2022·广东潮州·校考三模）已知函数.讨论函数的单调性；6．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数讨论的单调性；7．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；8．（2022·安徽芜湖·安徽师范大学附属中学校考模拟预测）已知函数讨论f（x）的单调性；9．（广东省汕头市2023届高二上学期期末数学试题）已知函数，．讨论的单调性；10．（2021春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设函数.当时，讨论函数的单调性；11．（吉林省部分学校2022-2023学年高二上学期12月大联考数学试题）已知函数.讨论的单调性;②两根含参12．（2022春·四川南充·高二统考期末）设函数．当时，讨论函数的单调性；13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）设函数，其中.讨论的单调性；14．（2021·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；15．（2022春·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）已知函数.讨论函数的单调性；（2）不可因式分解型①参数在二次项16．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知函数．其中．讨论函数的单调性；17．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知，R．讨论函数的单调性；18．（2022·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知函数．讨论的单调性；19．（云南省部分学校2023届高二上学期12月联考数学试题）已知函数．讨论函数的单调性；②参数在一次项20．（广东省深圳市深圳中学2023届高二上学期第二次阶段测试数学试题）已知函数.讨论的单调性；21．（江西省南昌市重点校2023届高二上学期12月联考数学（理）试题）已知函数.讨论函数的单调性；22．（2022·河南开封·校联考模拟预测）已知函数，其中．讨论函数的单调性；23．（河南省洛阳市孟津县孟津区第一高级中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题）已知函数.(1)讨论的单调区间；(2)若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围.③参数在常数项24．（2022·广西·统考模拟预测）已知函数，其中为非零实数.讨论的单调性；25．（江西省赣州市九校2023届高二上学期12月质量检测数学（理）试题）已知（）．讨论的单调性；26．（2022·广西柳州·统考模拟预测）已知函数．讨论当时，f(x)单调性．27．（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；导主指数型①指数一次型28．（黑龙江哈尔滨市第一二二中学校2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；29．（陕西省西安市曲江第一中学2022-2023学年高二上学期期中文科数学试题）已知函数.讨论的单调性；30．（黑龙江省哈尔滨市剑桥第三高级中学2022-2023学年高二上学期12月份月考数学试卷）已知函数．讨论的单调性；31．（河北省张家口市2023届高二上学期期末数学试题）已知函数．讨论函数的单调性；②指数二次可因式分解型32．（广东省东莞市2023届高二上学期期末数学试题）已知函数．讨论的单调性；33．（2022·河南·平顶山市第一高级中学校联考模拟预测）已知函数．若，讨论的单调性；34．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知函数.讨论的单调性；35．（2022·湖北·校联考模拟预测）已知函数（为自然对数的底数）.若时，求函数的单调区间.36．（2022·全国·统考二模）已知函数．讨论的单调性；③指数二次不可因式分解型37．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知函数讨论的单调性；38．（江苏省苏州市张家港市2022-2023学年高二上学期12月阶段性调研数学试题）已知函数讨论函数的单调性；39．（江苏省徐州市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题）已知函数.讨论函数的单调性；导主对数型40．（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知函数，其中且．讨论函数的单调性；41．（江苏省常州市第三中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知函数.讨论的单调性；42．（河南省（菁师联盟）2022-2023学年高二上学期12月质量监测考试（文科）数学试题）已知函数，.讨论的单调性；导主正余型43．（2022·河南·灵宝市第一高级中学校联考模拟预测）已知函数．讨论在上的单调性；44．（2022·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性；45．（2022·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．讨论的单调性；46．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）已知函数，.当时，讨论的单调性；考点二 含参函数的极值讨论47．（2022·全国·赣州市第三中学校联考模拟预测）已知函数.讨论在定义域内的极值；48．（2022·新疆喀什·统考一模）已知函数，当时，求函数的单调区间和极值；49．（2022·河北·模拟预测）已知函数，．求的极值；50．（2022·全国·模拟预测）已知函数．求函数的极值；51．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知函数.求的极值；52．（2022·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，求函数的极值;53．（2022·福建莆田·莆田二中校考模拟预测）已知函数.若函数在上有极值，求在上所有极值的和；54．（2022·河南·统考二模）已知函数 ，求函数的极值；55．（2022·全国·模拟预测）已知函数.讨论函数的极值；考点三 含参函数的最值讨论56．（2022·宁夏中卫·统考一模）已知函数，.(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；(2)当时，求函数在区间上的最小值.57．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数，其中．求的最小值；58．（2022·北京房山·统考二模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数在上的最小值.59．（2022·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）已知函数，a>0.求函数的最值；60．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.讨论函数在区间上的最大值；61．（2022·陕西渭南·统考一模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当时，求函数在区间的最小值.62．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值．63．（2022·四川绵阳·统考三模）函数．(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数在区间上最大值为m，最小值为n，求的最小值．