人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展六：导数的同构问题6种考法总结-直击高考考点归纳-讲义

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拓展六：导数的同构问题6种考法总结导数是整个高中数学教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考考试的热点.研究近年高考试题可以发现，在导数问题中，关于同构类型的题目出现频率有着显著提高。结合平时教学发现大部分学生对导数问题缺乏自信.本文主要是研究导数恒成立中的同构问题，什么是同构，同构的常见类型等。通过寻求函数模型来解决导数问题的方式我们称之为同构.由恒成立，然后再利用函数的基本性质，如递增（递减），这种方式称为同构法.在恒成立问题中，有一部分是通过构造函数或者分离参数来解决的.如果我们能够构造出相同结构的函数或模型，再通过函数基本性质如单调性来解决该问题，这无疑降低了该问题的难度，更提升了学生解决导数问题的信心.关于同构问题常见类型如下：地位等同同构，主要针对双变量构造为增函数在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.则该方程即为直线的方程.（2）构造为减函数对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握。2.指、对数同构（1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式，大家想必是不陌生的：① 且 时，有② 当 且 时，有 （2）五个常见变形： 拓展：（3）指对跨阶想同构，同左同右取对数 三种基本模式：①积型：说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。②商型：③和差型：无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量. 3、利用切线放缩同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）考点一 利用同构思想求函数值1．（2023秋·河北沧州·高一统考期末）若正实数是关于的方程的根，则__________.2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__________．3．（2021·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知是方程的一个根，则的值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（    ）A． B．e C． D．1考点二 利用同构思想巧解不等式5．【多选】（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则（    ）A． B． C． D．7．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）若x，，，则（    ）A． B． C． D．8．【多选】（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点三 利用同构思想证明不等式9．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数.(1)判断极值点的个数；(2)当时，证明：.10．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若有两个零点，求a的取值范围；(2)若方程有两个实数根，且，证明：．11．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知函数（e为自然对数的底数）．(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；(2)当时，求证：.12．（2022秋·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点．(1)若，求在处的切线方程；(2)若的两个零点分别为，证明：．考点四 利用同构思想解决不等式的恒成立问题13．（2023秋·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期末）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．14．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是______．15．（2023·全国·高三专题练习）若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______.16．（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________.17．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数的取值范围是________________.18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围．19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)当时，证明：；(2)若，求a的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值；(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.考点五 利用同构思想求函数最值21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，则的最大值为______．22．（2022·内蒙古赤峰·赤峰二中校考模拟预测）已知实数x，y满足且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．23．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知不等式恒成立，则的最大值为__________.考点六 利用同构思想解决零点问题24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．25．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知函数与（，且）(1)求在处的切线方程；(2)若，恰有两个零点，求的取值范围26．（2023·四川南充·校考模拟预测）已知函数(1)若是的极小值点，且，求的取值范围；(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围