人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展三：构造抽象函数模型 解不等式和比较大小-直击高考考点归纳-讲义

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拓展三：构造抽象函数模型解不等式和比较大小1、构造抽象函数模型主要观察两个结构：等价不等式的变形结构（分离变量）（2）已知条件中关于导数的关系式特征；2、构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型；3、本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下：常见函数的变形（1）对于，构造（2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)．（3）对于，构造（4）对于，构造（5）对于不等式，构造函数.（6）对于不等式，构造函数拓展：对于不等式，构造函数（7）对于不等式，构造函数拓展：对于不等式，构造函数（8）对于不等式，构造函数拓展：对于不等式，构造函数（9）对于不等式，构造函数拓展：对于不等式，构造函数（10）对于，分类讨论：①若，则构造②若，则构造（11）对于，构造.（12）对于，构造.（13）对于，即，构造．（14）对于，构造．（15）对于，构造．（16）对于，构造．4、构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一 根据导数四则运算构造辅助函数1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一六二中学校校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．2．（2022秋·江苏淮安·高二校考开学考试）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．3．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．4．（2021秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考开学考试）已知函数满足：，，且．若角满足不等式，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．5．（2022春·湖南邵阳·高二统考期末）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．6．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，且f(x)＋(x－1)f′(x)>0，则(　　)A．f(1)＝0 B．f(x)<0C．f(x)>0 D．(x－1)f(x)<07．（2022春·云南曲靖·高二校考期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．考点二 构造F(x)＝xnf(x)类型的辅助函数（一）型8．（2022秋·江西赣州·高二校考阶段练习）已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．9．（2022·全国·高二专题练习）已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)A．(0,1) B．(2，＋∞)C．(1,2) D．(1，＋∞)10．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期中）定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．11．（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．12．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．13．（2022·全国·高二专题练习）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝ex（x﹣2）且f（3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）A．（0，2） B．（0，3） C．（2，3） D．（3，+∞）14．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A． B． C． D．（二）型15．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有eq \f(xf′x－fx,x2)>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．16．（2021春·天津蓟州·高二校考期中）已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．17．（2022·全国·高二专题练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．18．（2022秋·安徽六安·高二六安二中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．19．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R)．若存在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C．(eq \r(2)，＋∞) D．(3，＋∞)（三）或型20．（2022·全国·高二专题练习）设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ）A． B． C． D．21．（2022·全国·高二专题练习）函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则A． B． C． D．22．（2022秋·天津南开·高二校考期末）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．23．（2023·全国·高二专题练习）是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．24．（2023·全国·高二专题练习）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．25．（2022秋·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考阶段练习）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．考点三 构造F(x)＝enxf(x)类型的辅助函数（一）型26．（2022·全国·高二专题练习）已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　　)A．e－2 021f(－2 021)f(0)B．e－2 021f(－2 021)f(0)，e2 021f(2 021)>f(0)D．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是(　　)A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(0,1)45．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．46．（2022·全国·高二专题练习）已知函数满足：，，则时，（ ）有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值 D.无极大值，也无极小值考点四 构造类型的辅助函数（一）正切型47．（2022·全国·高二专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．48．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（    ）A． B．C． D．49．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考期中）已知函数是其导函数，恒有，则（     ）A． B．C． D．50．（2022·全国·高二假期作业）定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．（二）利用cosx与构造型51．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）A． B． C． D．52．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（    ）A．B．C．D．53．（2022春·广东珠海·高二统考期末）已知关于变量的非常值函数在上成立，且；在上的图像关于对称，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．（三）利用sinx与构造型54．（2023·全国·高二专题练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ）A． B．C． D．55．（2023·全国·高二专题练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　）A．（，π） B．C． D．56．（2022·全国·高二专题练习）已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sin x>f(x)cos x(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>－eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) B.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))<－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))C.eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) D.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))