人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 拓展十一：近五年导数高考真题分类汇编-直击高考考点归纳-讲义

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拓展十一：近五年导数高考真题分类汇编考点一 导数的运算1．（2020•全国）设函数，若，则　　A．3 B． C． D．1【解析】，，又，，，故选：．2．（2019•全国）若函数，，则　　．【解析】由，得，，，．故答案为：3．3．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则　　．【解析】，，（1），，则，故答案为：1．4．（2022•甲卷）当时，函数取得最大值，则（2）　　A． B． C． D．1【解析】由题意（1），则，则，当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，（1），即．，易得函数在上单调递增，在上单调递减，故处，函数取得极大值，也是最大值，则（2）．故选：．5．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则　　A． B． C．（4） D．（2）【解析】为偶函数，可得，关于对称，令，可得，即（4），故正确；为偶函数，，关于对称，故不正确；关于对称，是函数的一个极值点，函数在，处的导数为0，即，又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，，故正确；图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故错误．解法二：构造函数法，令，则，则，，满足题设条件，可得只有选项正确，故选：．考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程6．（2019•新课标Ⅰ）曲线在点处的切线方程为　　．【解析】，，当时，，在点处的切线斜率，切线方程为：．故答案为：．7．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为　　A． B． C． D．【解析】由，得，（1），又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即．故选：．8．（2021•全国）曲线在点处的切线方程是 　　．【解析】函数的导数为，可得曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为．故答案为：．9．（2021•甲卷）曲线在点处的切线方程为　　．【解析】因为，在曲线上，所以，所以，则曲线在点处的切线方程为：，即．故答案为：．10．（2020•新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 　　．【解析】的导数为，设切点为，可得，解得，即有切点，则切线的方程为，即，故答案为：．11．（2019•天津）曲线在点处的切线方程为 　　．【解析】由题意，可知：，．曲线在点处的切线方程：，整理，得：．故答案为：．12．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则　　A．， B．， C．， D．，【解析】，，由在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即．故选：．13．（2019•新课标Ⅱ）曲线在点处的切线方程为　　A． B． C． D．【解析】由，得，，曲线在点处的切线方程为，即．故选：．14．（2018•全国）若函数图象上点，（1）处的切线平行于直线，则　　A． B．0 C． D．1【解析】函数的导数为，可得点，（1）处的切线斜率为，由点，（1）处的切线平行于直线，可得，解得，故选：．15．（2018•新课标Ⅰ）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为　　A． B． C． D．【解析】函数，若为奇函数，，．所以：可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：．故选：．16．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　．【解析】，设切点坐标为，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，△，解得或，即的取值范围是，，，故答案为：，，．17．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　　，　　．【解析】当时，，设切点坐标为，，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，，切线方程为，即，当时，，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，故答案为：，．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是　　．【解析】设，，由，得，，则该曲线在点处的切线方程为，切线经过点，，即，则．点坐标为．故答案为：．19．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是　　．【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，，由，解得．曲线上，点到直线的距离最小，最小值为．故答案为：4．20．（2021•北京）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）的导数为，可得在处的切线的斜率为，则在，（1）处的切线方程为，即为；（Ⅱ）的导数为，由题意可得，即，解得，可得，，当或时，，递增；当时，，递减．函数的图象如右图，当，；，，则在处取得极大值1，且为最大值1；在处取得极小值，且为最小值．所以的增区间为，，减区间为；的最大值为1，最小值为．21．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　A． B． C． D．【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．22．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 　　．【解析】当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，切线的方程为，令，可得，即，当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，令，可得，即，由的图象在，处的切线相互垂直，可得，即为，，，所以．故答案为：．23．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．（1）若，求；（2）求的取值范围．【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；（2），则在点，处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：则的值域为，，故的取值范围为，．24．（2020•北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【解析】（Ⅰ）的导数，令切点为，可得切线的斜率为，，，切线的方程为；（Ⅱ）曲线在点，处的切线的斜率为，切线方程为，令，可得，令，可得，，由，可知为偶函数，不妨设，则，，由，得，当时，，递增；当时，，递减，则在处取得极小值，且为最小值32，同理可得时，在处取得极小值，且为最小值32，所以的最小值为32．25．（2022•天津）已知，，函数，．（1）求函数在，处的切线方程；（2）若和有公共点．（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）求证：．【解析】（1），，，，函数在处的切线方程为；（2）（ⅰ），，又和有公共点，方程有解，即有解，显然，在上有解，设，，，当时，；当，时，，在上单调递减，在，上单调递增，，且当时，；当时，，，，的范围为，；（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，由柯西不等式可得，又易证时，，，，，故．26．（2020•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．（1）求；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【解答】（1）解：由，得，，即；（2）证明：法一、设为的一个零点，根据题意，，且，则，且，令，，当，，时，，当，时，可知在，，上单调递减，在，上单调递增．又，（1），，，．设为的零点，则必有，即，，得，即．所有零点的绝对值都不大于1．法二、由（1）可得，．，可得当，，时，，当，时，，则在，，上单调递增，在，上单调递减．且，，，（1），若的所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或（1）．即或．当时，，，，（1），又，由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．即在上存在唯一零点，在上不存在零点．此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，，，（1），又，由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．即在上存在唯一零点，在上不存在零点．此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾．综上，所有零点的绝对值都不大于1．考点三 利用导数研究函数的单调性27．（2020•全国）函数的单调递增区间是　　A． B．， C． D．【解析】已知函数，则函数的定义域为：，则，令，解得，即函数的单调递增区间是，故选：．28．（2021•全国）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围．【解析】（1）已知函数，则，，令，解得：或，令，解得：，即的单调增区间为，，单调减区间为；（2）由（1）可得：函数在单调递增，在单调递减，则当时，（2），又当时，，即，即，即的取值范围为：．29．（2021•甲卷）设函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若的图像与轴没有公共点，求的取值范围．【解析】（1），，因为，所以，所以在上，，单调递减，在，上，，单调递增．综上所述，在上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）可知，，因为的图像与轴没有公共点，所以，所以，所以的取值范围为，．30．（2021•乙卷）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【解析】（1），△，①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；②当△，即时，令，解得，令，解得或，令，解得，在，，单调递增，在，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得，切线方程为，令，即，解得或，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．31．（2022•北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的，，有．【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，将代入原函数可得，将代入导函数可得：，故在处切线斜率为1，故，化简得：；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，，令，令，设，恒成立，故在，单调递增，又因为，故在，恒成立，故，故在，单调递增；解法二：由（Ⅰ）有：，，设，，则，由指数函数的性质得上上是增函数，且，，当时，，单调递增，且当时，，在，单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，故在，恒成立，故在，单调递增，设，，由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，故单调递增，又因为，故，即：，又因为函数，故，得证．32．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】由题意，的定义域为，且．（1）当时，，令，解得．当时，，单调递减，当时，，单调递增．在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值也是最小值为．又当时，，当时，．要使有两个零点，只要即可，则，可得．综上，若有两个零点，则的取值范围是，．33．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性．【解析】（1）等价于．设，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，在时取得极大值也就是最大值为（1），，即．则的取值范围为，；（2），，．．令，则，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减．（a），即，在和上单调递减．34．（2019•全国）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间，的最小值为，求．【解析】（1）当时，，则，令，则，当时，；当时，．的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），令，则，当时，，在，上单调递增，，不符合条件；当时，，则当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，符合条件；当时，，则当时，，在上单调递减，，，不符合条件．在区间，的最小值为，的值为．35．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若，时，，求的取值范围．【解析】（1）证明：，，令，则，当时，，当时，，当时，极大值为，又，，在上有唯一零点，即在上有唯一零点；（2）由题设知，，可得．由（1）知，在上有唯一零点，使得，且在为正，在，为负，在，递增，在，递减，结合，，可知在，上非负，当，时，，又当，，时，，，的取值范围是，．36．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．【解答】解析：（1）法一：函数．定义域为：，，；，且，在和上单调递增，①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，，，，在有且仅有一个零点，②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，又（e），，（e），在上有且仅有一个零点，故在定义域内有且仅有两个零点；法二：的零点的个数，即为函数与的交点个数，作出两函数的图象如图所示．由两函数图象知有一交点在，有一交点在，故在定义域内有且仅有两个零点；（2）是的一个零点，则有，曲线，则有；由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线在点，处的切线方程为：，即：，将代入，即有：，而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，将代入化简，即：，故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．故得证．37．（2021•乙卷）设，，，则　　A． B． C． D．【解析】，，，令，，令，则，，，在上单调递增，（1），，，同理令，再令，则，，，在上单调递减，（1），，，．故选：．38．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①当时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，②当时，令，可得或，当时，当或时，，当时，，在，，上单调递增，在，上单调递减，时， 且等号不恒成立，在上单调递增，当时，当或时，，当时，，在，，上单调递增，在，上单调递减．综上所述：当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．注意到． 在 上有一个零点；，由 得，，，当 时，，此时 无零点．综上： 在 上仅有一个零点．另解：当，时，有，，而，于是，所以在没有零点，当时，，于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，在，上单调递减，在 上单调递增．，，，，，当 时，，此时 无零点．当 时， 单调递增，注意到，取，，，又易证，，在上有唯一零点，即在上有唯一零点．综上： 在 上有唯一零点．39．（2020•新课标Ⅲ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）．，时，，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，在递增，在，递减，在，递增，综上，时，在递增，时，在递增，在，递减，在，递增；（2）由（1）得：，，，若有三个零点，只需，解得：，故．40．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．【解析】（1）当时，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）令，，，在上恒成立，又，令，则，，①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；②当，即，，若，则，所以在，上单调递减，，符合题意．若，则，所以在上单调递减，，符合题意．综上所述，实数的取值范围是．另解：的导数为，①当时，，所以在递增，所以，与题意矛盾；②当时，，所以在递减，所以，满足题意；．③当时，．设，，则在递减，所以，，所以在递减，所以，满足题意；④当时，，令，则，，可得递减，，所以存在，使得．当时，，在递增，此时，所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．综上可得，的取值范围是，．（3）由（2）可知，当时，，令得，，整理得，，，，，即．另解：运用数学归纳法证明．当时，左边成立．假设当时，不等式成立，即．当时，要证，只要证，即证．可令，则，，则需证明，再令，则需证明．构造函数，，，可得在，上递减，则（1），所以原不等式成立，即时，成立．综上可得，成立．41．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．【解答】（1）解：由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．（2）证明：由，得，即，由（1）在单调递增，在单调递减，所以（1），且（e），令，，则，为 的两根，其中．不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以（1），故函数在单调递增，（1）．，，得证．同理，要证，（法一）即证，根据（1）中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，，单调递减，又时，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得证，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，单调递增，所以（e），即，所以，得证，则．42．（2020•海南）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，，当时，，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．（2）方法一：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，，即，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（1），，，故的范围为，．方法二：由可得，，，即，设，恒成立，在单调递增，，，即，再设，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），，即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，，此时不成立，综上所述的取值范围为，．方法三：由题意可得，，，易知在上为增函数，①当时，（1），，存在使得，当时，，函数单调递减，（1），不满足题意，②当时，，，，令，，易知在上为增函数，（1），当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，．方法四：，，，，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数，与在0，上有交点，存在，使得，则，则，即，当时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，，，时，，设，，，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，，，．方法五：等价于，该不等式恒成立．当时，有，其中．设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）．所以若成立，则必有．下面证明当时，成立．设，，在单调递减，在单调递增，，，即，把换成得到，，．，当时等号成立．综上，．考点四 利用导数研究函数的极值43．（2022•全国）设和是函数的两个极值点．若，则　　A．0 B．1 C．2 D．3【解析】函数，，又和是函数的两个极值点，则和是方程的两根，故，，又，则，即，则，故选：．44．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则　　A． B． C． D．【解析】令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，．故选：．45．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误．故选：．46．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 　　．【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，则在单调递减，，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单调递增，，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故仅需满足，即：，解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是．47．（2020•天津）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．【解析】当时，，故，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即．，，，令，解得，当，，当，，函数在上单调递减，在上单调递增，是极小值点，极小值为（1），无极大值（Ⅱ）证明：由，则，对任意的，，，且，令，，则，，，①令，，当时，，在单调递增，当，（1），即，，，，，②，由（Ⅰ）可知当时，（1）即，③，由①②③可得，当时，对任意的，，，且，有．48．（2021•乙卷）已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；（2）设函数．证明：．【解答】（1）解：由题意，的定义域为，令，则，，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，，且，因为，则在上单调递减，所以当时，，当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，；（2）证明：由（1）可知，，要证，即需证明，因为当时，，当时，，所以需证明，即，令，则，所以，当时，，当时，，所以为的极小值点，所以，即，故，所以．49．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解答】证明：（1）函数．的定义域为，，单调递增，单调递减，单调递增，又（1），（2），存在唯一的，使得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，存在唯一的极值点．（2）由（1）知（1），又，在，内存在唯一的根，由，得，，是在的唯一根，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．50．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．51．（2019•天津）设函数，其中．（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若．（ⅰ）证明：恰有两个零点；（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：．【解答】解：，．时，，函数在上单调递增．证明：由可知：，．令，，可知：在上单调递减，又（1）．且，存在唯一解．即函数在上单调递增，在，单调递减．是函数的唯一极值点．令，，，可得（1），时，．．（1）．函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．因此函数恰有两个零点；由题意可得：，，即，，，即，，可得．又，故，取对数可得：，化为：．考点五 利用导数研究函数的最值52．（2022•乙卷）函数在区间，的最小值、最大值分别为　　A．， B．， C．， D．，【解析】，，，则，令得，或，当，时，，单调递增；当时，，单调递减；当，时，，单调递增，在区间，上的极大值为，极小值为，又，，函数在区间，的最小值为，最大值为，故选：．53．（2018•江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为　　．【解析】函数在内有且只有一个零点，，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在，递增，又只有一个零点，，解得，，，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，（1），，，在，上的最大值与最小值的和为：．54．（2018•新课标Ⅰ）已知函数．（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【解析】（1）函数．，，是的极值点，（2），解得，，，当时，，当时，，的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）证法一：当时，，设，，则，由，得，当时，，当时，，是的最小值点，故当时，（1），当时，．证法二：函数，，即，，令，，则，，（1），当时，，，，当时，，，，在单调递增，在单调递减，（1），，．当时，．证法三：当时，，即只需证明，由于，则，令，则，即为增函数，又易证，故，即成立，故当时，．55．（2022•甲卷）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则．【解析】（1）的定义域为，，令，解得，故函数在单调递减，单调递增，故（1），要使得恒成立，仅需，故，故的取值范围是，；（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，不妨设，要证明，即证明，，，即证明：，又因为在单调递增，即证明：，构造函数，，，构造函数，，因为，所以，故在恒成立，故在单调递增，故（1）又因为，故在恒成立，故在单调递增，又因为（1），故（1），故，即．得证．56．（2022•乙卷）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围．【解析】（1）当时，，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，同时也是最大值，函数的最大值为（1）；（2），①当时，由（1）可知，函数无零点；②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又（1），故此时函数无零点；③当时，易知函数在上单调递增，在单调递减，且（1），，又由（1）可得，，即，则，，则，当时，，故存在，使得，此时在上存在唯一零点；④当时，，函数在上单调递增，又（1），故此时函数有唯一零点；⑤当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，且（1），又由（1）可得，当时，，则，则，此时，故存在，使得，故函数在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为．57．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，设，因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，恒成立，①当时，不等式恒成立，可得；②当时，可得恒成立，设，则，可设，可得，设，，由，可得恒成立，可得在递增，在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在递增；时，，在递减，所以（2），所以，综上可得的取值范围是，．58．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．【解析】（1），令，得或．若，则当，时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递增；若，则当，，时，；当，时，．故在，上单调递增，在，上单调递减；（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在，上单调递增，在区间，的最小值为，最大值为或（1）．于是，，．．当时，可知单调递减，的取值范围是；当时，单调递增，的取值范围是，．综上，的取值范围，．59．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】（1）定义域为，，，若，则，无最小值，故，当时，，当时，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，故，的定义域为，，，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在，上单调递增，故，函数和有相同的最小值，，化为，令，，则，，恒成立，在上单调递增，又（1），（a）（1），仅有此一解，．（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则，当时，，所以函数在上单调递增，因为（1），所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，所以时，，因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，此时可作出函数和的大致图象，由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点，，即，因为，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，，因为，所以，所以，，成等差数列．存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．60．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．【解析】（1）．令，解得，或．①时，，函数在上单调递增．②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（2）由（1）可得：①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．②时，函数在，上单调递减．，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，化为：．而，（1），最大值为或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．，的所有值为：，或．01000单调递减单调递增单调递减单调递增000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0