人教A版（2019）选修二 第五章一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性 全题型归纳（讲义）+课后分层专练 （同步练习）

5.3.1 函数的单调性知识点1 函数的导数与单调性的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。知识点2 利用导数求函数的单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．【即学即练1】求下列函数的单调区间（1）f(x)＝；（2）y＝x2－ln x．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sin x－x(0\f(1,2)))；(2)f(x)＝eq \f(ln x,x)(x>e)．知识点3 函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解．②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。④利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．【即学即练4】函数在上单调递增，则a的取值范围是________．【即学即练5】已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．知识点4 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减）在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间．（1）单调递增①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓（2）单调递减①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡【即学即练6】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列四个图象中为该函数图象的是（ ）A． B．C． D．【即学即练7】设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)考点一 利用导数求函数的单调性解题方略：利用导数求函数的单调区间：1. 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．2. (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．(一）判断函数的单调性【例1-1】下列函数中，在上为增函数的是（ ）A． B． C． D．变式1：下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（ ）A． B．C． D．利用导数求函数的单调区间（不含参）【例1-2】求下列函数的单调区间.（1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2.变式1：函数的单调递增区间是（ ）A． B．C．和 D．变式2：函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是（ ）A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减含参数的函数的单调性【例1-3】已知函数，其中，.（Ⅰ）讨论函数的单调性；变式1：已知函数（1）设是的导函数，讨论函数的单调性；变式2：已知函数．(1)讨论的单调性；变式3：已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；变式4：设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．变式5：已知函数，（1）求函数的单调增区间；考点二 函数单调性的应用解题方略：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路：①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.(一）解抽象不等式【例2-1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．变式1：已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．变式2：f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【例2-2】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为（ ）A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2}【答案】B变式1：已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．变式2：若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．变式3：已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________.比较大小【例2-3】设函数，则（ ）A． B．C． D．以上都不正确变式1：已知函数f(x)=－，则（ ）A． B．C． D．的大小关系无法确定【例2-4】【多选题】已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（ ）A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)2f(0) D．f(2)>e2f(0)变式1：【多选题】已知定义在上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）A． B．C． D．(三）已知函数的单调性求参数的取值范围（1）在区间上单调递增（减）①转化为不等式的恒成立问题（常用）:f(x)在区间M上递增⇒f ′(x) ≥ 0在M上恒成立f(x)在区间M上递减⇒f ′(x) ≤ 0在M上恒成立②利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.【例2-5】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．变式1：若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．变式2：若函数f(x)＝x－eq \f(1,3)sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________．变式3：函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．变式4：函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A． B． C． D．变式5：函数在区间上是减函数，在上是增函数，则（ ）A．， B．，RC．， D．，R变式6：若在上是减函数，则a的最大值是___________.（2）在区间上单调秒杀技巧：在单调或。(在做小题或大题答案检验上非常有效。)【例2-6】已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．变式1：已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)ax2＋(a－1)x(a∈R)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值范围是________．变式2：已知函数f(x)＝eq \f(3x,a)－2x2＋ln x在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．（3）单调区间是 若y=f(x)的单调区间为(a,b),则【例2-7】若f(x)＝x3－ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是（ ）A．1 B．2C．3 D．4变式1：已知函数f(x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝__________.变式2：若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.（4）（不）存在单调区间（1）f(x)在区间M上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0在M上有解⇔f ′(x)max＞0f(x)在区间M上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0在M上有解⇔f ′(x)min＜0（2）f(x)在区间M上不存在单调递增区间⇒f ′(x) ≤ 0在M上恒成立f(x)在区间M上不存在单调递减区间⇒f ′(x) ≥ 0在M上恒成立【例2-8】函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．变式1：若函数在存在单调递减区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．变式2：若函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+a2在区间[2，4]上不存在单调增区间，则a的取值范围是（　　）A．[，+∞） B．[，+∞） C．（，） D．[，]（5）在区间上不单调思路一：函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．即f(x)在区间M上不单调⇒f ′(x)在M上有变号零点思路二：可求出函数在区间上是单调函数的参数的取值范围，求其补集即可得结果.【例2-9】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．变式1：函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）A．(-∞，-3] B．(-3，1)C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)变式2：已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A． B．C． D．变式3：若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．不存在这样的实数（6）综合应用【例2-10】已知函数f(x)＝kx－ln x．（1）在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围.（2）在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围.（3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围.变式1：已知函数.（1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值；（3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.变式2：已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(3)若f(x)在(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(4)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值；(5)若f(x)在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．变式3：已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．(3)若h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上存在单调递增区间，求a的取值范围．(4)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．考点三 函数图象与导数图象的应用解题方略：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．（一）由导函数图象确定原函数单调性【例3-1】如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是单调函数（二）由导函数图象确定原函数图象【例3-2】是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（ ）A． B．C． D．变式1：已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的（ ）A．B．C．D．变式2：【多选题】已知函数的导函数为，若，则函数的图象不可能是（ ）A． B．C． D．变式3：如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) （三）由原函数图象或解析式确定导函数图象【例3-3】已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的（ ）A． B． C． D．变式1：已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．变式2：如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝的图象可能是（ ）A．B．C．D．变式3：已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）A．B．C． D．【例3-4】已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　)A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－2，－1)∪(1,2)变式1：函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式eq \f(f′x,x)<0的解集为______________．考点四 证明不等式解题方略：用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.【例4-1】证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．变式1：已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，证明：；变式2：已知函数.其中.（1）讨论函数的单调性；（2）当，求证：.变式3：已知，函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）求证：．f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减恒有f′(x)＝0是常数函数，不具有单调性导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)