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    人教A版(2019)选修二 第五章一元函数的导数及其应用 5.3.2.1 函数的极值 全题型归纳(讲义)+课后分层专练 (同步练习)
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    人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用一课一练

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用一课一练,文件包含人教A版2019选修二第五章一元函数的导数及其应用5321函数的极值-全题型归纳教师版-讲义docx、人教A版2019选修二第五章一元函数的导数及其应用5321函数的极值-课后分层专练教师版-同步练习docx、人教A版2019选修二第五章一元函数的导数及其应用5321函数的极值-全题型归纳学生版-讲义docx、人教A版2019选修二第五章一元函数的导数及其应用5321函数的极值-课后分层专练学生版-同步练习docx等4份试卷配套教学资源,其中试卷共53页, 欢迎下载使用。


    知识点1 极值点与极值的概念
    1.极小值点与极小值
    函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
    2.极大值点与极大值
    函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
    3.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
    注意点:(1)极值点不是点;(2)极值是函数的局部性质;(3)函数的极值不唯一;(4)极大值与极小值两者的大小不确定;(5)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点;(6)若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f′(x)的变号零点,才是函数的极值点.
    【即学即练1】关于函数的极值,下列说法正确的是( )
    A.导数为零的点一定是函数的极值点
    B.函数的极小值一定小于它的极大值
    C.一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
    D.若一个函数在某个区间内有极值,则这个函数在该区间内不是单调函数
    【即学即练2】已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【即学即练3】函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    知识点2 求函数的极值
    1.求函数y=f(x)的极值的方法
    解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,
    (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
    (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
    2.求可导函数f(x)的极值的步骤
    (1)确定函数的定义域,求导数f′(x);
    (2)求方程f′(x)=0的根;
    (3)列表;
    (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
    注:可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;
    【即学即练4】已知函数的导函数为,则“”是“函数在处有极值”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分又不必要条件
    【即学即练5】求下列函数的极值:
    (1)f(x)=x3-x;
    (2)f(x)=x2e-x.
    【即学即练6】求下列函数的极值:
    (1)f(x)=x3-x2-3x;(2)f(x)=x4-4x3+5;(3)f(x)=.
    【即学即练7】函数,则( )
    A.x=为f(x)的极大值点B.x= 为f(x)的极小值点
    C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点
    考点一 知图判断函数极值
    解题方略:
    解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
    【例1-1】函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
    ①函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增;
    ②函数y=f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),3))内单调递减;
    ③函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增;
    ④当x=-eq \f(1,2)时,函数y=f(x)有极大值;
    ⑤当x=2时,函数y=f(x)有极大值.
    则上述判断中正确的序号是________.
    变式1:函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是( )
    A.在(1,2)上函数f(x)单调递增
    B.在(3,4)上函数f(x)单调递减
    C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
    D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
    变式2:设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
    B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
    D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
    变式3:已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示,且f(x)在x=x0与x=2处取得极值,则f(1)+f(-1)的值一定( )
    A.等于0 B.大于0
    C.小于0 D.小于或等于0
    考点二 求函数的极值
    解题方略:
    函数极值和极值点的求解步骤
    (1)确定函数的定义域.
    (2)求方程f′(x)=0的根.
    (3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
    (4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
    【例2-1】求下列函数的极值:
    (1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
    (2)f(x)=x-aln x(a∈R).
    变式1:函数f(x)=ln x-x在区间(0,e)上的极大值为( )
    A.-e B.-1
    C.1-e D.0
    变式2:函数f(x)=eq \f(2x+1,x2+2)的极小值为________.
    变式3:函数的极值点为______.
    变式4:已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠eq \f(2,3)时,求函数f(x)的单调区间与极值.
    变式5:已知函数,则其极大值与极小值的和为__________.
    考点三 由极值(极值点)求参数的值或范围
    解题方略:
    已知函数的极值求参数的方法
    (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
    注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
    (2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
    注:根据函数极值情况求参数的两个要领
    ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
    ②验证:求解后验证根的合理性.(在点左、右两侧的导数值符号相反)
    (一)已知极值求参数的取值范围
    【例3-1】若函数在处取得极值,则( )
    A.2B.3C.4D.5
    变式1:【多选】已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个单调递增区间是( )
    A.(-∞,2) B.(3,+∞)
    C.(2,+∞) D.(-∞,3)
    变式2:若函数f(x)=eq \f(2,3)x3-eq \f(5a,2)x2+3a2x-3a2-eq \f(2,3)在x=3处取得极大值,则常数a的值为( )
    A.3 B.2 C.3或2 D.-3或-2
    变式3:若,,且函数在处取得极值,则的最大值为( )
    A.9B.6C.3D.2
    变式4:若函数,在处取得极小值,则实数的取值范围是______.
    变式5:函数在处取得极大值,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    变式6:若f(x)=ex-kx的极小值为0,则k=________.
    【例3-2】若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.
    变式1:已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=eq \f(2,3)是y=f(x)的极值点,则a=___________, b=________.
    变式2:设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=________.
    变式3:已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则eq \f(a,b)的值为( )
    A.-eq \f(2,3) B.-2 C.-2或-eq \f(2,3) D.2或-eq \f(2,3)
    【例3-3】【多选】已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是( )
    A.-4 B.-3 C.6 D.8
    变式1:已知函数既存在极大值,又存在极小值,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    变式2:若函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是________.
    变式3:已知函数在区间上存在极值,则实数的取值范围是______.
    变式4:若函数在区间内有极小值,则的取值范围为________.
    变式5:若函数f(x)=eq \f(ax2,2)-(1+2a)x+2ln x(a>0)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))内有极大值,则a的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e),+∞)) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞)
    【例3-4】若函数在定义域内无极值,则实数的取值范围为______.
    变式1:若函数在上无极值,则实数的取值范围( )
    A.B.
    C.D.
    已知极值点个数求参数的取值范围
    【例3-5】若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为________________.
    变式1:若函数f(x)=ex-ax-b在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是( )
    A.(-1,0) B.(0,1)
    C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
    变式2:若函数存在极值点,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    变式3:函数在内存在极值点,则( )
    A.B.
    C.或D.或
    【例3-6】已知函数有且只有一个极值点,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    变式1:若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为________.
    【例3-7】若函数有两个极值点,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    变式1:已知函数f(x)=eq \f(1,3)x3-eq \f(1,2)(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
    【例3-8】已知函数在区间上有3个不同的极值点,则实数a的取值范围是__________.
    考点四 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
    【例4-1】若是函数的极值点,函数恰好有一个零点,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    变式1:若函数f(x)=eq \f(1,3)x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点,则实数a的取值范围是________.
    变式2:已知函数.
    (1)求的极值;
    (2)若函数有且只有一个零点,试求实数的取值范围.
    变式3:设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
    (1)求f(x)的极值点;
    (2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围;
    (3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.
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