2022年广东省东莞市厚街湖景中学中考数学一模试卷

这是一份2022年广东省东莞市厚街湖景中学中考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A．7+2B．45C．47−2D．35
2．（3分）北京时间2021年10月16日0时23分，长征二号F运载火箭托举神舟十三号载人飞船升空，中国空间站关键技术验证阶段收官之战正式打响．长征二号F运载火箭是长征家族的明星火箭，绰号“神箭”．它的身高58米，体重497吨，运载能力超过8.1吨，起飞推力5923000牛，它是中国航天员的专属交通工具．将5923000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.5923×107B．5.923×107C．5.923×106D．59.23×105
3．（3分）一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则白球的个数n的值可能是（ ）
A．1B．2C．4D．5
4．（3分）计算（−37）10×（213）11（ ）
A．37B．73C．−37D．−73
5．（3分）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
6．（3分）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（3分）若实数x，y满足等式x+3+y2﹣4y+4＝0，则xy的值是（ ）
A．﹣3B．19C．9D．3
9．（3分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．54B．52−5C．522D．52
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）若代数式53x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位，则平移后的二次函数的最小值为 ．
13．（4分）如图，AE、BD交于点C，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ ．
14．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+2021＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为 ．
15．（4分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，PE⊥BP交BC的延长线于点E，交CD于点F，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为 ．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（12022）﹣1﹣|tan60°﹣2|−12+（﹣1）2022．
19．（6分）为了给中小学生减负，中办、国办近日印发的“双减”新规提出，强化学校教育主阵地作用．某学校计划在课后服务开设“折扇”、“刺绣”，“剪纸”“陶艺”四门课程，全校有2000人参加课后服务，每人只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从全体同学中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）试估计选择“陶艺”课程的学生有多少名？
20．（6分）阳光社区为进一步落实全民强身健体，准备从体育用品商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，用于社区球类比赛活动．每副乒乓球拍和羽毛球拍的价格都相同．已知购买8副羽毛球拍和5副乒乓球拍共需1500元，购买2副羽毛球拍和10副乒乓球拍共需900元．
（1）每副羽毛球拍和乒乓球拍的单价各是多少元？
（2）根据社区实际情况，需一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共20副，但要求乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2000元，社区最多可以购买多少副羽毛球拍？
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两个顶点A、B分别在双曲线y=k1x(k1＞0)和y=k2x(k2＜0)的一支上，点A的坐标为（3，4）．
（1）求两个双曲线的解析式；
（2）双曲线y=k2x与正方形的边OC交于点D，求点D的坐标．
22．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．
（1）求证：PH＝PB；
（2）若∠PEA＝45°，求AE的长度．
23．（8分）如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠PAD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝3，PC＝9．求弧BP的长．
25．（10分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且S△PBC=32，请直接写出点P的坐标．
2022年广东省东莞市厚街湖景中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A．7+2B．45C．47−2D．35
【分析】求出每个根式的范围，再判断即可．
【解答】解：A、∵2＜7＜3，
∴4＜7+2＜5，
∴7+2介于4和5之间；
B、∵6＜45＜7，
∴45介于6和7之间；
C、∵6＜47＜7，
∴4＜47−2＜5，
∴47−2介于4和5之间；
D、∵5＜35＜6，
∴35介于5和6之间，
则介于6和7之间的数是45；
故选：B．
2．（3分）北京时间2021年10月16日0时23分，长征二号F运载火箭托举神舟十三号载人飞船升空，中国空间站关键技术验证阶段收官之战正式打响．长征二号F运载火箭是长征家族的明星火箭，绰号“神箭”．它的身高58米，体重497吨，运载能力超过8.1吨，起飞推力5923000牛，它是中国航天员的专属交通工具．将5923000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.5923×107B．5.923×107C．5.923×106D．59.23×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5923000＝5.923×106．
故选：C．
3．（3分）一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则白球的个数n的值可能是（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，则根据概率公式得到11+1+n=0.25，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：根据题意得：
11+1+n=0.25，
解得：n＝2．
故选：B．
4．（3分）计算（−37）10×（213）11（ ）
A．37B．73C．−37D．−73
【分析】先根据积的乘方的逆运用进行计算，再求出答案即可．
【解答】解：（−37）10×（213）11
＝[（−37）×73]10×73
＝（﹣1）10×73
＝1×73
=73，
故选：B．
5．（3分）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质分别求出a、b，代入计算即可．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，而|a﹣2|≥0，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
∴b﹣a＝﹣2﹣3＝﹣5．
故选：A．
6．（3分）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是．
故选：B．
7．（3分）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据确定圆的条件、等弧的概念、弦的概念判断即可．
【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，本说法错误；
②任意一个三角形有且仅有一个外接圆，本说法正确；
③长度相等的两条弧不一定是等弧，本说法错误；
④直径是圆中最长的弦，本说法正确；
故选：D．
8．（3分）若实数x，y满足等式x+3+y2﹣4y+4＝0，则xy的值是（ ）
A．﹣3B．19C．9D．3
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x+3+y2﹣4y+4＝0，
∴x+3+（y﹣2）2＝0，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
则xy＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
9．（3分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【分析】观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．
【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，
观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，
若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．54B．52−5C．522D．52
【分析】由对称性质可得AF＝AB＝5，由正方形的性质可得AC=2AB＝52，当点F在线段AC上时，CF最小，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，AF，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝5，
∴AC=2AB＝52，
∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AF＝AB＝5，
当点F在AC上时，CF最小，
∵AC﹣AF＝52−5，
∴线段CF的最小值为52−5，
故选：B．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）若代数式53x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞﹣2 ．
【分析】直接利用分式有意义的条件、二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式53x+6在实数范围内有意义，
则3x+6＞0，
解得：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
12．（4分）将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位，则平移后的二次函数的最小值为 ﹣3 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得平移后的解析式，即可求得平移后的二次函数的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝（x﹣1+3）2﹣3，即＝（x+2）2﹣3，
∴平移后的二次函数的最小值为﹣3，
故答案为﹣3．
13．（4分）如图，AE、BD交于点C，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ 2 ．
【分析】由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△ECD，
∴ACCE=BCCD，
∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，
∴4CE=21，
解得：CE＝2．
故答案为：2
14．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+2021＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为 2022 ．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝﹣2021，再把1+3m﹣m2变形为1﹣（m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+2021＝0的根，
∴m2﹣3m+2021＝0，
∴m2﹣3m＝﹣2021，
∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣（﹣2021）＝2022．
故答案为：2022．
15．（4分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 9 ．
【分析】分别表示出S1，S2，即可求解．
【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，
∴S1﹣S2＝9，
故答案为9．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，PE⊥BP交BC的延长线于点E，交CD于点F，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为 7 ．
【分析】首先利用勾股定理求出BP的长，再利用△APB∽△PBE，求出BE的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，BE∥AD，
由勾股定理得，BP=AB2+AP2=62+42=213，
∵BE∥AD，
∴∠PBE＝∠APB，
∵PE⊥BP，
∴∠BPE＝∠A＝90°，
∴△APB∽△PBE，
∴APBP=BPBE，
∴4213=213BE，
解得BE＝13，
∴CE＝BE﹣BC＝13﹣6＝7，
故答案为：7．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是 5−1 ．
【分析】如图，由BE⊥AF于E可以得到E在以AB为直径圆心为O的圆上，只有当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，然后利用勾股定理计算即可求解．
【解答】解：如图，∵BE⊥AF于E，
∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，
∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，
∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，
∴AO＝1＝OE，AD＝2，
∴OD=OA2+AD2=5，
∴段DE最小值为OD﹣OF=5−1．
故答案为：5−1．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（12022）﹣1﹣|tan60°﹣2|−12+（﹣1）2022．
【分析】先算乘方、化简二次根式，再代入特殊角的函数值后化简绝对值，最后加减．
【解答】解：原式＝2022﹣|3−2|﹣23+1
＝2022﹣（2−3）﹣23+1
＝2022﹣2+3−23+1
＝2021−3．
19．（6分）为了给中小学生减负，中办、国办近日印发的“双减”新规提出，强化学校教育主阵地作用．某学校计划在课后服务开设“折扇”、“刺绣”，“剪纸”“陶艺”四门课程，全校有2000人参加课后服务，每人只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从全体同学中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 100 名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）试估计选择“陶艺”课程的学生有多少名？
【分析】（1）根据折扇的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用总人数减去其它课程的人数，求出刺绣的人数，从而补全统计图；
（2）用选择“陶艺”课程的学生数所占的百分比乘以总人数即可．
【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为20÷72360=100（名），
刺绣的人数有：100﹣20﹣30﹣40＝10（名），
补全统计图如下：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生所占的百分比是：40100=40%．
2000×40%＝800（名），
答：估计选择“陶艺”课程的学生有800名．
20．（6分）阳光社区为进一步落实全民强身健体，准备从体育用品商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，用于社区球类比赛活动．每副乒乓球拍和羽毛球拍的价格都相同．已知购买8副羽毛球拍和5副乒乓球拍共需1500元，购买2副羽毛球拍和10副乒乓球拍共需900元．
（1）每副羽毛球拍和乒乓球拍的单价各是多少元？
（2）根据社区实际情况，需一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共20副，但要求乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2000元，社区最多可以购买多少副羽毛球拍？
【分析】（1）设购买一副羽毛球拍x元，一副乒乓球拍y元，分别利用“购买8副羽毛球拍和5副乒乓球拍共需1500元，购买2副羽毛球拍和10副乒乓球拍共需900元”，进而得出方程组求出答案；
（2）直接利用（1）中所求，表示出总费用小于等于2000进而得出不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设购买一副羽毛球拍x元，一副乒乓球拍y元，根据题意得：
8x+5y=15002x+10y=900，
解得：x=150y=60．
答：购买一副羽毛球拍150元，一副乒乓球拍60元；
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（20﹣a）副，根据题意得：
150a+60（20﹣a）≤2000，
解得：a≤809，
∵a为整数，
∴a最大取8．
答：社区最多可购买8副羽毛球拍．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两个顶点A、B分别在双曲线y=k1x(k1＞0)和y=k2x(k2＜0)的一支上，点A的坐标为（3，4）．
（1）求两个双曲线的解析式；
（2）双曲线y=k2x与正方形的边OC交于点D，求点D的坐标．
【分析】（1）将点A（3，4）代入y=k1x(k1＞0)，求出k1＝12，得到A点所在双曲线的解析式；利用两点间的距离公式求出OA=32+42=5，利用正方形的性质得出AB＝OA＝5，OB=2OA＝52．设B（x，y），列出方程组x2+y2=50(x−3)2+(y−4)2=25，求出B点坐标，利用待定系数法求出B点所在双曲线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=−34x+254，根据OC∥AB，得出直线OC的解析式为y=−34x．设点D的坐标为（m，n），根据OC过点D，得出n=−34m①，根据双曲线y=−7x过点D，得出mn＝﹣7②，两个方程联立，求出m、n即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在双曲线y=k1x(k1＞0)上，
∴k1＝3×4＝12，
∴A点所在双曲线的解析式为y=12x；
∵点A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵四边形OABC是正方形，
∴AB＝OA＝5，OB=2OA＝52．
设B（x，y），则x＜0，y＞0．
x2+y2=50(x−3)2+(y−4)2=25，解得x=−1y=7，
∴B（﹣1，7）．
∵点B在双曲线y=k2x(k2＜0)的一支上，
∴k2＝﹣1×7＝﹣7，
∴B点所在双曲线的解析式为y=−7x；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（3，4），B（﹣1，7），
∴3k+b=4−k+b=7，解得k=−34b=254，
∴直线AB的解析式为y=−34x+254，
∵OC∥AB，
∴直线OC的解析式为y=−34x．
设点D的坐标为（m，n），
∵OC过点D，
∴n=−34m①，
∵双曲线y=−7x过点D，
∴mn＝﹣7②，
把①代入②，得−34m2＝﹣7，
解得m=−2213（舍去正值），
∴n=−34×（−2213）=212，
∴点D的坐标为（−2213，212）．
22．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．
（1）求证：PH＝PB；
（2）若∠PEA＝45°，求AE的长度．
【分析】（1）根据矩形性质和折叠的性质可得EH＝BF，进一步进行线段的和差计算即可证明结论；
（2）设AE＝CF＝x，则DE＝BF＝8﹣x，先证明△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DE＝EH，∠DEF＝∠PFE，
在矩形ABCD中，
∵AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴EH＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠PFE，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PH＝PB；
（2）解：如图，设PE交AB于点Q，
设AE＝CF＝x，
则DE＝BF＝8﹣x，
∵∠PEA＝45°，∠A＝∠ABC＝∠ABP﹣90°，
∴∠AEQ＝∠AQE＝∠PQB＝∠QPB＝45°，
∴△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，
∴BQ＝PB＝5﹣x，
由勾股定理得，EQ=2x，PQ=2（5﹣x），
∵PE＝PF，
∴PQ+EQ＝PB+BF，
∴2（5﹣x）+2x＝5﹣x+8﹣x，
解得：x=13−522，
∴AE的长度为13−522．
23．（8分）如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠PAD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．
【分析】由勾股定理的逆定理得△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，再由锐角三角函数定义得PB＝163≈27.7（米），然后证∠APB＝∠PAD，得AB＝PB≈27.7米，即可得出结论．
【解答】解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：
∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，
∴PC2+CD2＝PD2，
∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，
∴∠PCB＝90°，
在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD=PCPB，
∴PB=PCsin60°=2432=163≈27.7（米），
∵∠PAD＝30°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠APB＝∠PAD，
∴AB＝PB≈27.7米，
∵27.7＞25，
∴此车超过了每秒25米的限制速度．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝3，PC＝9．求弧BP的长．
【分析】（1）根据已知条件推出△ABO∽△OCE，根据相似三角形的性质得到∠BAO＝∠OAE，过O作OF⊥AE于F，根据全等三角形的性质得到OF＝OB，于是得到AE是半圆O的切线；
（2）连接PB，OP，根据圆周角定理得到BP⊥AC，根据勾股定理得到BC=AC2−AB2=63，求得BO＝OC＝33，根据直角三角形的性质得到ACB＝30°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE
∴△ABO∽△OCE，
∴ABOC=AOOE，
∵OB＝OC
∴ABOB=AOOE，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中，
∠BAO=∠FAO∠ABO=∠AFOAO=AO
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：连接PB，OP，
∵以BC边为直径作半圆O，
∴BP⊥AC，
∴AB2＝AP•AC＝3×12＝36，
∴AB＝6，
∴BC=AC2−AB2=63，
∴BO＝OC＝33，
∵AB=12AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BOP＝2∠ACB＝60°，
∴BP的长=60⋅π×33180=3π．
25．（10分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且S△PBC=32，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由题意得抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，设A（x1，0），B（x2，0），由题意得x2﹣x1＝4，得出b2+12＝16，求出b＝2，则可得出答案；
（2）分两种情况：①若OA为边，②若OA为对角线时，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝3x﹣3，过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，联立直线和抛物线的解析式，解方程组可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，
设A（x1，0），B（x2，0），
由题意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵对称轴在y轴左侧，
∴b＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．
∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA为边，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在对称轴x＝﹣1上，
∴点M的横坐标为2或﹣4，
当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA为对角线时，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中点的坐标为（−32，0），
∵N在直线x＝﹣1上，
设M的横坐标为m，
∴m−12=−32，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC=12OB⋅OC=12×1×3=32，
∴S△OBC＝S△PBC=32，
设BC的解析式为y＝kx+n，
∴k+n=0n=−3，
∴k=3n=−3，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，
∴y=3xy=x2+2x−3，
解得x1=1+132y1=3+3132，x2=1−132y2=3−3132，
∴P（1+132，3+3132）或（1−132，3−3132）．