专题06 立体几何（解答题）（理）（教师版含解析）2021-2023年高考数学真题分类汇编（全国通用）

这是一份专题06 立体几何（解答题）（理）（教师版含解析）2021-2023年高考数学真题分类汇编（全国通用），共32页。试卷主要包含了在四棱锥中，底面，，，，，如图，四面体中，，，，为的中点，如图，在长方体中，已知，，如图，四面体中，，，平面等内容，欢迎下载使用。
知识点1：线面角
知识点2：二面角
知识点3：距离问题
知识点4：立体几何存在性问题
近三年高考真题
知识点1：线面角
1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1．
（1）求证：；
（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
底面，底面，
，，，
底面，底面，
，，，
，平面，
平面，平面平面，
到平面的距离为1，
到的距离为1，
，
；
（2）过作交的延长线与，连接，
取的中点，连接，
四边形为平行四边形，
平面，
，平面，
平面，
，
，
为直线与距离，
，，
由（1）可知平面，
为与平面所成角的角，
易求得，
，
，，
．
与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线线相等的证明，考查线面角的求法，属中档题．
2．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】证明：由于，，
平面平面，平面，平面，
所以为二面角的平面角，
则，平面，则．
又，
则是等边三角形，则，
因为，，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，故；
（Ⅱ）由于平面，如图建系：
于是，则，
，
设平面的法向量，，，
则，，令，则，，
平面的法向量，
设与平面所成角为，
则．
【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
3．（2022•甲卷（理））在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：底面，面，
，
取中点，连接，
，，
，又，
，，
为直角三角形，且为斜边，
，
又，面，面，
面，
又面，
；
（2）由（1）知，，，两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设与平面所成的角为，则，
与平面所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
4．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】证明：取中点，连接，，
为的中点．，且，
四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
平面，
是中点，是的点，
，平面；平面，
平面，又，
平面平面，
又平面，平面；
侧面为正方形，平面平面，平面平面，
平面，，又，，
若选①：；又，平面，
又平面，，又，
，，，两两垂直，
若选②：平面，，平面，平面，
，又，，，
，，
，又，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，2，，
，1，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，，，
又，2，，
设直线与平面所成角为，
，．
直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．
5．（2022•乙卷（理））如图，四面体中，，，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：，为的中点．，
又，，，，
，又为的中点．，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
（2）连接，由（1）知，，
故最小时，的面积最小，时，的面积最小，
又平面，平面，，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
过作于点，则平面，
故，即为直线与平面所成的角，
由，，知是2为边长的等边三角形，
故，由已知可得，，又，，
，所以，
，，
在中，由余弦定理得，
．
故与平面所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
6．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．
（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面的夹角大小．
【解析】（1）如图，在长方体中，；
（2）连接，
，
四边形为正方形，则，
又，，
平面，
直线与平面所成的角为，
．
直线与平面所成的角为．
【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．
7．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，由已知可得，，
，，
由余弦定理可得，
，
则，即，
又，，平面，
而平面，，
，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，
又平面，平面平面，
且平面平面，
，且平面，平面，
连接，则，
在中，，，，
可得，
又，在中，求得，
取中点，连接，则，可得、、两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，2，，，0，，，
又为的中点，，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求直线与平面所成的角，是中档题．
知识点2：二面角
8．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【解析】证明：（Ⅰ）平面，平面，平面，
，，
，，
，
又，，
，又，
平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，1，，，0，，，0，，，1，，
，0，，，，，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
，，
由图可知二面角为锐角，设二面角的大小为，
则，，
，
即二面角的大小为．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．
9．（2023•乙卷（理））如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．
【解析】证明：（1）由题可知，，设，
，
则，解得，
，，
而，，，，四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
证明：（2），，
，即，，
，，
平面，
平面，
平面平面．
（3）设二面角的平面角为，
，，
为和的夹角，
，，
，
，
二面角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面、平面与平面位置关系的判定定理，考查二面角的计算，是难题．
10．（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，，连接交于，
再连接，
，且是的中点，则是的中点，
，，
又平面，平面，
平面，
同理可得，平面，
又，
平面平面，
平面，
（2）在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又，为中点，为中点，为中点．
故，2，，，0，，，0，，，0，，，1，，
则，，，，0，，，1，，
设，，是平面的法向量，则有：，，即，令，则，，
所以，
设直线与平面的夹角为，则，
（3），0，，则，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则有，，
即，令，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以．
【点评】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．
11．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，．
（1）证明：直线平面；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小．
【解析】（1）证明：根据题意可知，，且，
可得平面平面，又直线平面，
直线平面；
（2）设，则根据题意可得该四棱柱的体积为，
，底面，在底面内过作，垂足点为，
则在底面内的射影为，
根据三垂线定理可得，
故即为所求，
在中，，，，
，又，
，
二面角的大小为．
【点评】本题考查线面平行的证明，面面平行的判定定理与性质，二面角的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．
12．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点．
（1）证明；
（2）点满足，求二面角的正弦值．
【解析】证明：（1）连接，，
，为中点．
，
又，，
与 均为等边三角形，
，
，，
平面，
平面，
．
（2）设，
，
，，
，
，
又，，
平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，0，，
，
，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，令，解得，
，令，解得，，
故，1，，，1，，
设二面角的平面角为，
则，
故，
所以二面角的正弦值为．
【点评】本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
13．（2022•新高考Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：连接，，依题意，平面，
又平面，平面，则，，
，
又，，则，
，
延长交于点，又，则在中，为中点，连接，
在中，，分别为，的中点，则，
平面，平面，
平面；
（2）过点作，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，，由（1）知，
又，则，
，
又，即，12，，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
14．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解析】（1）由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
（2）连接交于点，，四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，，又，
平面，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
则，2，，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
，令，则，，
平面的一个法向量为，1，，
，，
二面角的正弦值为．
【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
15．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，1，，，2，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
又，2，，，2，，
所以，
则，又平面，
故平面；
（2）由（1）可知，，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由（1）可知，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
所以，
故二面角的正弦值为．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
16．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：中，，，，所以，所以；
又，，平面，平面，所以平面；
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）取的中点，在平面内作，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，，，，1，，，0，，
因为平面，所以平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
由，2，，，，，
得，即，
令，得，，所以，2，；
所以，，
所以二面角的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求二面角的余弦值应用问题，也可以直接利用二面角的定义求二面角的余弦值，是中档题．
17．（2021•乙卷（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】（1）连结，因为底面，且平面，
则，又，，，平面，
所以平面，又平面，则，
所以，又，
则有，所以，
则，所以，解得；
（2）因为，，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，0，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
【点评】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，
设，0，，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．
【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．
知识点3：距离问题
19．（2023•天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
【解析】（Ⅰ）证明：连接，可得为△的中位线，
可得，且，
而，，
则，，
可得四边形为平行四边形，
则，
而平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取的中点，连接，
由，，可得．
由平面，平面，
可得，
可得平面．
过作，垂足为，连接，
由三垂线定理可得，
可得为平面与平面所成角．
由．
在矩形中，，
所以；
（Ⅲ）设到平面的距离为．
在△中，，，，
则．
由，可得，
解得．
【点评】本题考查线面平行的判定和平面与平面所成角、点到平面的距离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
知识点4：立体几何存在性问题
20．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：
，2，，，0，，，2，，，0，，
，，
，又，，，四点不共线，
；
（2）在（1）的坐标系下，可设，2，，，，
又由（1）知，0，，，2，，，0，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
根据题意可得，，
，
，又，，
解得或，
为的中点或的中点，
．
【点评】本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．
21．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点．
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【解析】（Ⅰ）证明：连结，
在正方体中，，平面，平面，
则平面，因为平面平面，
所以，则，
故，又因为，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，，
而点为的中点，所以，
故，则点为的中点．
另取的中点，则与平行且相等，
进而与平行且相等，
，，，四点共面，
平面，
从而与重合，点为的中点．
（Ⅱ）以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，设点，0，，
因为二面角的余弦值为，则，所以，
则，2，，，1，，，1，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，
因为二面角的余弦值为，
则，
解得，又，
所以，
故．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的性质定理的应用，二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．