2023年天津市九年级数学第一学期期末达标检测试题

这是一份2023年天津市九年级数学第一学期期末达标检测试题，共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，若点 A，下列方程式属于一元二次方程的是，方程的两根分别是，则等于，已知点，如图，点在上，，则的半径为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
3．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝AD•AF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④B．④①③②C．④②③①D．④③②①
5．如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
6．若点 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝﹣的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
7．下列方程式属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
8．方程的两根分别是，则等于 （ ）
A．1B．-1C．3D．-3
9．已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2B．0＜y2＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
10．如图，点在上，，则的半径为（ ）
A．3B．6C．D．12
11．已知，且α是锐角，则α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不确定
12．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝_____．
14．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.
15．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____．
16．已知，则=__________.
17．反比例函数的图象在第 象限．
18．一个不透明的口袋中装有个红球和个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为__________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
20．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，csA＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；
（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝ ．
21．（8分）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品,规定销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)请直接写出y关于x之间的关系式 ；
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润=总销售额一总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断:当x取何值时,P的值最大？最大值是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元,求销售单价x(元)的取值范围是 .(可借助二次函数的图象直接写出答案)
22．（10分）矩形的长和宽分别是4cm, 3cm ，如果将长和宽都增加x cm ，那么面积增加ycm2
(1)求y与x之间的关系式.
（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm2 .
23．（10分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB=，tanA=，AC=，
（1）求∠B 的度数和 AB 的长．
（2）求 tan∠CDB 的值．
24．（10分）如图，锐角三角形中，，分别是，边上的高，垂足为，．
（1）证明：．
（2）若将，连接起来，则与能相似吗？说说你的理由．
25．（12分）新罗区某校元旦文艺汇演，需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人．
（1）如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是多少？
（2）如果选择2名主持人，用画树状图(或列表)求出2名主持人恰好是1男1女的概率．
26．如图，，平分，过点作交于，连接交于，若，，求，的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0，解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选C．
此题考查的是一元二次方程的解法,掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键.
2、C
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵∠ABC和∠AOC所对的弧为，∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：C．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、C
【分析】根据题意可得tan∠DAE的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE＝∠FEC，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E为CD中点，∴CE＝ED＝DC＝AD，
∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①错误；
设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，
∴，∴，又∠D＝∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，故②正确；
∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，
∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，
∴AE⊥EF．故③正确；
∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝AD•AF，故④正确.
综上，正确的个数有3个，故选：C.
本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.
4、B
【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
【详解】根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东，
即④①③②
故选：B．
本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
5、A
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵1是一元二次方程x1-3x+k=0的一个根，
∴11-3×1+k=0，
解得，k=1．
故选：A．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6、C
【解析】将点A（-1，y1），B（1，y2），C（3，y3）分别代入反比例函数，并求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．
【详解】根据题意，得
，即y1=5，
，即y2=-5，
，即；
，
∴y2＜y3＜y1；
故答案是：C．
本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟记点的横纵坐标满足反比例函数的解析式．
7、D
【解析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可.
【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意；
B、是分式方程，故不符合题意；
C、是二元二次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意.
故选：D.
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键.
8、B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.
【详解】解：∵的两根分别是，
∴，
故选：B.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
9、B
【分析】根据反比例函数的系数为5＞0，在每一个象限内，y随x的增大而减小的性质进行判断即可．
【详解】∵5＞0，
∴图形位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
又∵0＜x1＜x2，
∴0＜y2＜y1，
故选：B．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
10、B
【分析】连接OB、OC，如图，根据圆周角定理可得，进一步即可判断△OCB是等边三角形，进而可得答案.
【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∵，∴，
∴△OCB是等边三角形，∴OB=BC=6.
故选：B.
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握上述性质是解题关键.
11、C
【分析】根据sin60°＝解答即可．
【详解】解：∵α为锐角，sinα＝，sin60°＝，
∴α＝60°．
故选：C．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
12、A
【分析】根据比例的性质，逐项分析即可.
【详解】A. ∵，∴，∴，正确；
B. ∵，∴，∴ ，故不正确；
C. ∵，∴，故不正确；
D. ∵，∴，∴ ，故不正确；
故选A.
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键，如果，那么或或.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4
【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
故答案为：4．
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14、
【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，
∵E为MN的中点，
∴CE=,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=,
∴由勾股定理得，DE=，
∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴DN=EN= ,
∴由勾股定理得，CN=,
∴sin∠DEC= .
故答案为：.
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
15、12
【解析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．
【详解】解：x1﹣3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
即x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x1＝﹣1．
因为方程x1﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，
所以等边三角形的边长为2．
所以该三角形的周长为：2×3＝12．
故答案为：12．
本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．
16、
【分析】根据比例的性质，化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
本题主要考察比例的性质，解题关键是根据比例的性质化简求值.
17、二、四
【解析】：∵k=-1＜0，∴反比例函数y="-1/x" 中，图象在第二、四象限
18、
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一个不透明的口袋中装有3个红球和9个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：．
故答案为：．
本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、（1）40海里；（2）小时．
【分析】（1）作CD⊥AB，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°知CD＝AC，据此可得答案；
（2）根据BC＝求得BC的长，继而可得答案．
【详解】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
∴点C到直线AB距离CD＝AC＝40(海里）．
（2）在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，
∴BC＝≈＝50（海里），
∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.
20、（1）证明见解析；（2）；（3）1．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△ACB，推出，可得AD=．
（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．作FH⊥AC于H，BM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°，由△BFN∽△BDM，可得=tan∠BDF=tanA=，推出AN=AM=×12=9，推出CH=CMMH=CMAN=169=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，∠BDE＝∠A，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△CDE．
（2）解：如图2中，作BM⊥AC于M．
在Rt△ABM中，则AM＝AB•csA＝20×＝16，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴202＝162+BM2，
∴BM＝12，
∵AB＝BC，BM⊥AC，
∴AC＝2AM＝32，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△ACB，
∴
∴AD＝＝．
（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥AC于H，AM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH＝90°，
∴四边形BMHN为矩形，
∴∠MBN＝90°，MH＝BN，
∵AB＝BC，BM⊥AC，
∵AB＝20，AM＝CM＝16，AC＝32，BM＝12，
∵BN⊥FH，BM⊥AC，
∴∠BNF＝90°＝∠BMD，
∵∠DBF＝90°＝∠MBN，
∴∠NBF＝∠MBD，
∴△BFN∽△BDM，
∴＝tan∠BDF＝tanA＝，
∴BN＝BM＝×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣BN＝16﹣9＝7，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝1．
故答案为：1．
本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
21、 (1)y=-x+100；(2)-x2+150x-5000(50≤x≤70)，x=70时p最大为600；(3)60≤x≤70.
【分析】（1）采用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由题意，每件的利润为元，再根据总利润=单件利润×销量，即可得出关系式，x的取值范围可由题目条件得到，再求二次函数对称轴和最值即可;
（3）利用二次函数图像性质可得出x的取值范围.
【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
函数图象经过点（60，40）和（70，30）,代入y=kx+b得，
，解得，
∴y关于x之间的关系式为.
（2）由题意得：
，
∵销售单价不低于成本价,又不高于每件70元
∴x的取值范围为
故P与x之间的函数关系式为.
∵，，
∴函数图像开口向下，对称轴为，
∴当时，P随x的增大而增大，
∴当x=70时，P最大=.
（3）当P=400时，，
解得：，，
∵，抛物线开口向下，
∴当P≥400时，60≤x≤90，
又∵x的取值范围为
∴利润低于400元时,求销售单价x的取值范围为.
本题考查了二次函数应用中的营销问题，关键是根据总利润公式得到二次函数关系式，再根据二次函数的性质解决最值问题.
22、（1）y=(4+x)(3+x)-12=x2+7x;(2)边长增加1cm时，面积增加8 cm２．
【分析】（1）根据题意，借助于矩形面积，直接解答；
（2）在（1）中，把y=8代入即可解答．
【详解】解：（1）由题意可得：（4+x）（3+x）-3×4=y，
化简得：y=x2+7x；
（2）把y=8代入解析式y=x2+7x中得：x2+7x-8=0，
解之得：x1=1，x2=-8（舍去）．
∴当边长增加1cm时，面积增加8cm2
23、（1）∠B的度数为45°，AB的值为3；（1）tan∠CDB的值为1．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=1x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=，解得x=1，于是得到CE=1，AE=1，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长；
（1）利用CD为中线得到BD=AB=1.5，则DE=BD-BE=0.5，然后根据正切的定义求解．
【详解】（1）作 CE⊥AB 于 E，设 CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝＝，
∴AE＝1x，
∴AC＝＝x，
∴x＝，解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝1，
在Rt△BCE中，∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE+BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
（1）∵CD为中线，
∴BD＝AB＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
∴tan∠CDE=＝＝1，即tan∠CDB的值为1．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
24、（1）见解析；（2）能，理由见解析.
【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；
（2）根据第一问可得到AD：AE=AC：AB，有一组公共角∠A，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．
【详解】证明：．
证明：∵，分别是，边上的高，
∴．
∵，
∴．
若将，连接起来，则与能相似吗？说说你的理由．
∵，
∴．
∴AD:AC=AE:AB
∵，
∴．
考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
25、（1）；（2）见解析，
【分析】（1）由题意根据所有出现的可能情况，然后由概率公式即可求出男生当选的概率；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与选出的是1名男生1名女生的情况，然后由概率公式即可求解．
【详解】解：(1) ∵需要从3名女生和1名男生中随机选择1名主持人，
∴男生当选的概率 P（男生）=.
(2)根据题意画画树状图，
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而2名主持人恰好是1男1女的结果有6种，
所以2名主持人恰好是1男1女的概率P（一男一女）=.
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；另外注意概率=所求情况数与总情况数之比．
26、BD=，DN=
【分析】由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD•CD可得BD长，再由勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求DN的长．
【详解】解：∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵平分，
∴∠ADB=∠CDB，
∵，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD2=AD•CD，
∵ CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
即BD=，
∴BC2=BD2-CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC=，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND，
∴，且BD=，
∴设DN=x，
则有，
解得x=，
即DN=.
本题考查了相似三角形的判定及其性质，掌握相关判定方法并灵活运用，是解题的关键．