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所属成套资源：2023学年北师大版数学 八年级上册同步能力提升测试卷
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【精品解析】（单元测试B卷）第七章 平行线的证明—北师大版2023-2024学年八年级数学上册
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（单元测试B卷）第七章 平行线的证明—北师大版2023-2024学年八年级数学上册一、选择题1．（2023八上·惠州开学考）如图，直线a//b，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1=32°，则∠2的度数是（ ）A．13° B．15° C．14° D．16°2．（2023八上·芜湖开学考）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）A．∠P=2(∠B−∠D) B．∠P=12(∠B+∠D)C．∠P=12∠B+∠D D．∠P=∠B+12∠D3．（2022八上·沈阳期末）下列说法正确的个数是（ ）①函数y=−x+2的图象不经过第三象限②一组数据5，6，7，6，8，10的众数和中位数都是6③将y=−x−3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，图象经过原点④式子a+2a+3有意义的条件是a≥−2且a≠−3A．1 B．2 C．3 D．44．（2021八上·蓬江期末）如图，一束平行太阳光照射到正六边形上，若∠1=28∘，则∠2的大小为（ ）A．150° B．148° C．140° D．138°5．（2022八上·安徽期末）下列命题中，假命题是（ ）A．全等三角形对应角相等B．对顶角相等C．同位角相等D．有两边对应相等的直角三角形全等6．（2023八上·榆林期末）如图，∠1=60°，下列推理正确的是（ ） ①若∠2=60°，则AB∥CD；②若∠5=60°，则AB∥CD；③若∠3=120°，则AB∥CD；④若∠4=120°，则AB∥CD.A．①② B．②④ C．②③④ D．②③7．（2022八上·丰顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=13∠DAB，∠EBG=13∠EBA，则射线 AF 与 BG（ ）A．平行 B．延长后相交C．反向延长后相交 D．可能平行也可能相交8．（2022八上·锦江开学考）如图，AB//CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD=（ ）A．110° B．115° C．125° D．130°9．（2022八上·长安期末）如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点（点M不与点E、F重合），点N为射线FD上的一动点，连接MN，过点M作MQ∥CD，且恰能使得MQ平分∠EMN.若∠BEF=142°，则∠MNF和∠FMN的度数分别为（ ）A．38°，76° B．38°，104° C．36°，142° D．36°，104°10．（2022八上·电白期末）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）A． B．C． D．二、填空题11．（2023八上·开福开学考）把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果…那么…”的形式为 ．12．（2023八上·佳木斯开学考）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，FN∥DC，则∠B的度数为 °．13．（2022八上·电白期末）下列命题：①若|a|=-a，则a<0；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线a、b、c在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c；⑤实数包括有理数和无理数．其中正确的命题序号有 ．14．（2022八上·安定期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC =∠DAE=90°，∠B=50°，∠E=65°，则①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=40°，则有BC∥AD；④如果∠2=30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 .（填写序号）15．（2022八上·奎文期中）如图，已知ΔABC三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若∠BDC=130°，则∠BEC= 度．三、综合题16．（2023八上·兴宁开学考）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；（1）求证：△ABO≌△CDO；（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．17．（2023八上·河北开学考）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ//MN，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．（1）若三角板如图1摆放时，则∠α= ，∠β= ．（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数；（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出∠BAM的度数．18．（2021八上·绍兴开学考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．19．（2023八上·陈仓期末）问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°.（1）在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系.20．（2022八上·宝安期末）如图（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；（3）如果图2中，∠D=40°，∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．21．（2020八上·惠州月考）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板 PMN 的两条直角边 PM ， PN 上，点A与点P在直线 BC 的同侧，若点P在 ΔABC 内部，试问 ∠ABP ， ∠ACP 与 ∠A 的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若 ∠A=55° ，则 ∠ABC+∠ACB= 度， ∠PBC+∠PCB= 度， ∠ABP+∠ACP= 度；（2）类比探索：请猜想 ∠ABP+∠ACP 与 ∠A 的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在 ΔABC 外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 ∠ABP ， ∠ACP 与 ∠A 满足的数量关系式． 22．（2020八上·湛江开学考）问题情境：如图1，已知 ， .求 的度数.（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作 ，根据平行线有关性质，可得 . （2）问题迁移：如图3， ，点P在射线OM上运动， ， . ①当点P在A，B两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由.②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出 、 、 之间的数量关系，（3）问题拓展：如图4， ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 . 答案解析部分1．【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图， ∵AB⊥BC，∠1＝32°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°， ∵a∥b， ∴∠ECF＝∠AEC＝58°， ∴∠BCD=180°-∠ECF=180°﹣58°=122°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=12∠ABC＝45°， ∴∠2＝180°-∠BCD-∠CBD＝180°-122°-45°=13°． 故答案为：A.【分析】延长CB交直线a于点E，由题意可求得∠AEC＝58°，先由平行线的性质得∠ECF＝∠AEC＝58°，利用邻补角互补得出∠BCD=122°，再由角平分线的定义得∠CBD＝45°，最后利用三角形的内角和是180°，得出∠2＝180°-∠BCD-∠CBD=13°．2．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD， 在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC， ∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC， ∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD， ∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO， 又∠AOD=∠BOC， ∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD）， AP、CD的交点标为点E， 在△CPE中， ∠P=180°-∠PCO-∠CEP， ∵∠CEP=∠AOD+∠PAO， ∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD， ∴∠P=12（∠B+∠D）。 故答案为：B。 【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=12（∠B+∠D）。3．【答案】B【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：①∵k=−1<0，b=2>0，∴函数y=−x+2的图象经过一、二、四象限，不过第三象限，原说法符合题意；②一组数据5，6，7，6，8，10重新排列后为5，6，6，7，8，10，众数是6，中位数是6+72=6.5，原说法不符合题意；③将y=−x−3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后的解析式是：y=−x−3−3=−x−6，图象不经过原点，原说法不符合题意；④式子a+2a+3有意义的条件是a≥−2且a≠−3，原说法符合题意．说法正确的有①④，共2个．故答案为：B． 【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。4．【答案】B【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：如图，先标注各点，由正六边形可得：∠ACE=180°−360°6=180°−60°=120°，∵AE∥BD，∠1=28°，∴∠FAC=∠1=28°，∴∠2=∠FAC+∠ACE=28°+120°=148°，故答案为：B 【分析】根据平行线的性质可得∠FAC=∠1=28°，再利用三角形外角的性质可得∠2=∠FAC+∠ACE=28°+120°=148°。5．【答案】C【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；故答案为：C． 【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。6．【答案】B【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质【解析】【解答】解：∵∠1=60°，∠2=60°， ∴∠1=∠2，不能证明AB∥CD，故①错误； ∵∠1=60°，∠5=60°，∠1=∠2， ∴∠2=∠5， ∴AB∥CD，故②正确； ∵∠2+∠3=180°，∠3=120°， ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠2=∠1=60°，不能证明AB∥CD，故③错误； ∵∠4+∠5=180°，∠4=120°， ∴∠5=180°-120°=60°， ∴∠2=∠5， ∴AB∥CD，故④正确； ∴推理正确的是②④ .故答案为：B 【分析】利用对顶角相等，可证得∠1=∠2，对顶角相等不能证明两直线平行，可对①③作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用∠4的度数及邻补角的定义求出∠5的度数，可推出∠2=∠5，利用同位角相等，两直线平行，可对④作出判断；综上所述可得到推理正确的序号.7．【答案】A【知识点】角的运算；平行线的判定【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAB+∠ABE=360°−(∠CAB+∠ABC)=270°，∵∠DAF=13∠DAB，∠EBG=13∠EBA，∴∠FAB+∠GBA=23(∠DAB+∠ABE)=180°，∴AF∥BG．故答案为：A． 【分析】先求出∠DAB+∠ABE=360°−(∠CAB+∠ABC)=270°，再结合∠DAF=13∠DAB，∠EBG=13∠EBA，可得∠FAB+∠GBA=23(∠DAB+∠ABE)=180°，即可得到AF∥BG。8．【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB， ∵AB//CD，∴EM//AB//CD//FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°， ∵AB//CD//FN∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为：C． 【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，根据平行公理的推论得EM//AB//CD//FN，利用平行线的性质可得∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，结合∠BED=110°， 可求出∠ABE+∠CDE=250°，由角平分线的定义可得∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，从而求出∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°，由平行线的性质得∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，可得∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF，即可求解．9．【答案】B【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；邻补角；角平分线的定义【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD，MQ∥CD，∴AB∥MQ，∴∠EMQ=180°-∠BEF=38°，∵MQ平分∠EMN，∴∠QMN=∠EMQ=38°，∵MQ∥CD，∴∠MNF=∠QMN=38°，∴∠FMN=180°-∠EMN=180°-38°-38°=104°.故答案为：B.【分析】由平行公理及推论可得AB∥CD∥MQ，由平行线的性质可得∠EMQ=180°-∠BEF=38°，根据角平分线的概念可得∠QMN=∠EMQ=38°，由平行线的性质可得∠MNF=∠QMN=38°，然后根据邻补角的性质进行计算.10．【答案】B【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：A.如图：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠1+∠3，∵a∥b，∴∠ACD=∠2，∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；B.如图：延长AD交BF于点C，∵a∥b，∴∠1=∠ACF，∵∠ACF=∠3+∠2，∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；C.如图：过点A作AB∥a，∴∠2+∠CAB=180°，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠1+∠BAD=180°，∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；D.如图：延长DA交直线b于点C，∵a∥b，∴∠2=∠DCB，∵∠3=∠1+∠DCB，∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；故答案为：B． 【分析】根据平行线的性质分别求出各图形中∠1、∠2、∠3的关系，即可判断.11．【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角【知识点】定义、命题及定理的概念【解析】【解答】解：由题意可得： 把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果…那么…”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角【分析】根据命题的概念即可求出答案。12．【答案】95【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解： ∵MF//AD，∠A=100°， ∴∠FMB=∠A=100°， ∵FN//DC，∠C=70°， ∴∠FNB=∠C=70°， 由翻折可知：∠BMN=12∠FMB=50°， ∠MNB=12∠FNB=35°， ∵∠BMN+∠MNB+∠B=180°， ∴50°+35°+∠B=180°，解得∠B=95°，故答案为：95. 【分析】根据平行线的性质求得∠FMB与∠FNB，再根据翻折性质求得∠BMN与∠MNB，然后利用三角形的内角和求得∠B.13．【答案】③④⑤【知识点】绝对值及有理数的绝对值；实数及其分类；平行公理及推论；平行线的判定与性质【解析】【解答】解：①若|a|=-a，则a≤0，故原命题为假命题；②两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题；③平行于同一条直线的两条直线平行，符合题意，为真命题；④直线a、b、c在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c，符合题意，为真命题；⑤实数包括有理数和无理数，符合题意，为真命题；故真命题为：③④⑤，故答案为：③④⑤． 【分析】根据绝对值的意义，平行线的判定与性质，平行公理，实数的分类逐项判断即可.14．【答案】①②③【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，故①正确；②∵∠1+∠2+∠2+∠3=180°，∴∠CAD+∠2=180°，故②正确；③∵∠2=40°，∴∠3=∠B=50°，∴BC∥AD，故③正确；④∵∠2=30°，∴∠1=60°，∵∠E=65°，∴AC与DE不平行，故④不正确.故答案为：①②③.【分析】由同角的余角相等得∠1=∠3，据此判断①；根据角的和差得∠1+∠2+∠2+∠3=180°，从而可得∠CAD+∠2=180°，据此判断②；根据角的和差把那个结合已知可得∠3=∠B=50°，根据内错角相等，两直线平行，可得BC∥AD，据此判断③；根据角的和差可得∠1=60°≠∠E，故判断不出AC与DE平行，据此判断④.15．【答案】160【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：如图1，连接AD，∵在ΔBDC中，∠BDC=130°，∴∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC=50°．∵ΔABC三内角的角平分线交于点D，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，同理可得，∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∵在ΔABC中，∠BAD+∠DAC+∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD=180°，又∵∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∴∠DBC+∠DCB+∠DAC=90°，∵∠DBC+∠DCB=50°，∴∠DAC=90°−(∠DBC+∠DCB)=40°．如图2，连接AE，∵ΔABC三边的垂直平分线交于点E，∴EA=EB=EC，∴∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=40°，∠DAC=∠DAB，∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=80°，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE，∴∠BAE+∠CAE=80°，∵∠EAB=∠EBA，∠EAC=∠ECA，∴∠ABE+∠ACE=80°，即∠ABD+∠DBE+∠ACD+∠DCE=80°，∵∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∴∠CBD+∠DBE+∠BCD+∠DCE=80°，∵∠DBC+∠DCB=50°，∴∠DBE+∠DCE=80°−50°=30°，∵∠DBC+∠DCB=50°∴∠DBE+∠EBC+∠ECB+∠DCE=50°，∵∠EBC=∠ECB，∠DBE+∠DCE=30°，∴2∠ECB=50°−(∠DBE+∠DCE)=20°，∴∠ECB=∠EBC=10°，∴在ΔBEC中，∠BEC=180°−∠ECB−∠EBC=160°．故答案为：160． 【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。16．【答案】（1）证明：在△ABO和△CDO中， OB=OD∠OBA=∠DAB=CD，∴△ABO≌△CDO（SAS）；（2）解：∵△ABO≌△CDO， ∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∴∠AOB-∠COB＝∠COD-∠COB，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵OA∥CD，∴∠C＝∠AOC＝30°，∴∠A＝30°．【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）根据三条边都对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）根据全等三角形的对应角相等推得∠AOC＝∠BOD＝30°，根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠AOC=30°，则可得出答案.17．【答案】（1）15°；150°（2）解：∵PQ//MN，∴∠GEF=∠CAB=45°，∴∠FGQ=75°，∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，∴∠FHG=67.5°（3）30°或90°或120°【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质【解析】【解答】（1）∵PQ∥MN ∴∠E=∠α+∠BAC ∴∠α=∠E-∠BAC=15° ∵E，C，A三点共线 ∴∠β=180°-∠DEF=150° 故答案为：第1空、15°第2空、150° （3）当BC∥DE时 则∠CAE=∠DFE=30° ∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE ∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=30° 当BC||EF时 则∠BAE=∠ABC=45° ∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=90° 当BC||DF时 则AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15° ∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=120°【分析】（1）根据直线平行性质及三角形外角和性质即可求出答案。 （2）根据平行线的性质及角平分线的性质即可求出答案。 （3）分情况讨论，根据平行线的性质即可求出答案。18．【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°． 【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． (2) 设两个角分别为x和2x-30°， 由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 解得：x=30°或70°， ∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°． 【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ； ② 根据①中的结论总结即可； (2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.19．【答案】（1）解：如图标出∠3，∵∠BCA=90°，∴∠3=90°−∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°；（2）解：定值为：120°，理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1，∵∠ABC=60°，∴180°−∠2+∠1=60°，∴∠2−∠1=120°；（3）解：∠1=∠2，理由如下：∵AB平分∠BAM，∴∠BAM=2∠BAC=60°，过点C作CE∥a，∴∠2=∠BCE，∵a∥b，CE∥a，∴CE∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠ECA=∠CAM=30°，∴∠2=∠BCE=∠ACB−∠ACE=60°，∴∠1=∠2.【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠3=180°-∠1-∠BCA=44°，由平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答； （3）过点B作BD∥a，则BD∥a∥b，由平行线的性质可得∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠1，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°进行解答； （3）根据角平分线的概念可得∠BAM=2∠BAC=60°，过点C作CE∥a，则CE∥a∥b，由平行线的性质可得∠2=∠BCE，∠1=∠BAM=60°，则∠ECA=∠CAM=30°，∠2=∠BCE=∠ACB-∠ACE，求出∠2的度数，据此解答.20．【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B（2）6（3）解：由（1）可知：∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D+∠B=2∠P，又∵∠D=40°，∠B=36°，∴40°+36°=2∠P，∴∠P=38°；（4）解：2∠P=∠D+∠B【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义【解析】【解答】解：（1）结论为：∠A+∠D=∠C+∠B，理由如下：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，又∵∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B（2）交点有点M、O、N，以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△AOD与△CON，以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：6（4）关系：2∠P=∠D+∠B，由（1）可知：∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠OCB−∠OAD=∠D−∠B，∠PCM−∠DAM=∠D−∠P，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=12∠OAD，∠PCM=12∠OCB，∴12∠OCB−12∠OAD=∠D−∠P，即∠OCB−∠OAD=2∠D−2∠P，∴∠D−∠B=2∠D−2∠P，整理得，2∠P=∠D+∠B． 【分析】（1）利用三角形的内角和及对顶角的性质可得∠A+∠D=∠C+∠B； （2）根据“8字形”的定义求解即可； （3）先根据∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P求出∠D+∠B=2∠P，再将数据代入求出∠P=38°即可； （4）根据角平分线的定义可得∠DAM=12∠OAD，∠PCM=12∠OCB，再利用角的运算和等量代换可得∠D−∠B=2∠D−2∠P，最后化简可得2∠P=∠D+∠B。21．【答案】（1）125；90；35（2）解：猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A； 证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．（3）解：判断：（2）中的结论不成立． 证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．【知识点】角的运算；三角形内角和定理【解析】【解答】解：（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.22．【答案】（1）252°（2）解：① = + 理由：如图 如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC ，∴AD//PE//BC ，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α＋∠β；②∠CPD=∠β-∠α（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠APC=108°，∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；故答案为：252°；（2）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.（3）问题拓展：分别过A2 ， A3…，An-1作直线∥A1M，过B1 ， B2 ， …，Bn-1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”进行求解； （2）过P作PE//AD交CD于E，根据“两直线平行，内错角相等”进行求解； （3） 分别过各顶点处作AM的平行线，利用“两直线平行，内错角相等推出结论.
（单元测试B卷）第七章 平行线的证明—北师大版2023-2024学年八年级数学上册一、选择题1．（2023八上·惠州开学考）如图，直线a//b，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1=32°，则∠2的度数是（ ）A．13° B．15° C．14° D．16°2．（2023八上·芜湖开学考）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）A．∠P=2(∠B−∠D) B．∠P=12(∠B+∠D)C．∠P=12∠B+∠D D．∠P=∠B+12∠D3．（2022八上·沈阳期末）下列说法正确的个数是（ ）①函数y=−x+2的图象不经过第三象限②一组数据5，6，7，6，8，10的众数和中位数都是6③将y=−x−3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，图象经过原点④式子a+2a+3有意义的条件是a≥−2且a≠−3A．1 B．2 C．3 D．44．（2021八上·蓬江期末）如图，一束平行太阳光照射到正六边形上，若∠1=28∘，则∠2的大小为（ ）A．150° B．148° C．140° D．138°5．（2022八上·安徽期末）下列命题中，假命题是（ ）A．全等三角形对应角相等B．对顶角相等C．同位角相等D．有两边对应相等的直角三角形全等6．（2023八上·榆林期末）如图，∠1=60°，下列推理正确的是（ ） ①若∠2=60°，则AB∥CD；②若∠5=60°，则AB∥CD；③若∠3=120°，则AB∥CD；④若∠4=120°，则AB∥CD.A．①② B．②④ C．②③④ D．②③7．（2022八上·丰顺月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=13∠DAB，∠EBG=13∠EBA，则射线 AF 与 BG（ ）A．平行 B．延长后相交C．反向延长后相交 D．可能平行也可能相交8．（2022八上·锦江开学考）如图，AB//CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD=（ ）A．110° B．115° C．125° D．130°9．（2022八上·长安期末）如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点（点M不与点E、F重合），点N为射线FD上的一动点，连接MN，过点M作MQ∥CD，且恰能使得MQ平分∠EMN.若∠BEF=142°，则∠MNF和∠FMN的度数分别为（ ）A．38°，76° B．38°，104° C．36°，142° D．36°，104°10．（2022八上·电白期末）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）A． B．C． D．二、填空题11．（2023八上·开福开学考）把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果…那么…”的形式为 ．12．（2023八上·佳木斯开学考）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，FN∥DC，则∠B的度数为 °．13．（2022八上·电白期末）下列命题：①若|a|=-a，则a<0；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线a、b、c在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c；⑤实数包括有理数和无理数．其中正确的命题序号有 ．14．（2022八上·安定期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC =∠DAE=90°，∠B=50°，∠E=65°，则①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=40°，则有BC∥AD；④如果∠2=30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 .（填写序号）15．（2022八上·奎文期中）如图，已知ΔABC三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若∠BDC=130°，则∠BEC= 度．三、综合题16．（2023八上·兴宁开学考）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；（1）求证：△ABO≌△CDO；（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．17．（2023八上·河北开学考）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ//MN，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．（1）若三角板如图1摆放时，则∠α= ，∠β= ．（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数；（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出∠BAM的度数．18．（2021八上·绍兴开学考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．19．（2023八上·陈仓期末）问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°.（1）在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系.20．（2022八上·宝安期末）如图（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；（3）如果图2中，∠D=40°，∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．21．（2020八上·惠州月考）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板 PMN 的两条直角边 PM ， PN 上，点A与点P在直线 BC 的同侧，若点P在 ΔABC 内部，试问 ∠ABP ， ∠ACP 与 ∠A 的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若 ∠A=55° ，则 ∠ABC+∠ACB= 度， ∠PBC+∠PCB= 度， ∠ABP+∠ACP= 度；（2）类比探索：请猜想 ∠ABP+∠ACP 与 ∠A 的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在 ΔABC 外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出 ∠ABP ， ∠ACP 与 ∠A 满足的数量关系式． 22．（2020八上·湛江开学考）问题情境：如图1，已知 ， .求 的度数.（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作 ，根据平行线有关性质，可得 . （2）问题迁移：如图3， ，点P在射线OM上运动， ， . ①当点P在A，B两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由.②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出 、 、 之间的数量关系，（3）问题拓展：如图4， ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 . 答案解析部分1．【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：延长CB交直线a于点E，如图， ∵AB⊥BC，∠1＝32°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠AEC＝90°﹣∠1＝58°， ∵a∥b， ∴∠ECF＝∠AEC＝58°， ∴∠BCD=180°-∠ECF=180°﹣58°=122°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=12∠ABC＝45°， ∴∠2＝180°-∠BCD-∠CBD＝180°-122°-45°=13°． 故答案为：A.【分析】延长CB交直线a于点E，由题意可求得∠AEC＝58°，先由平行线的性质得∠ECF＝∠AEC＝58°，利用邻补角互补得出∠BCD=122°，再由角平分线的定义得∠CBD＝45°，最后利用三角形的内角和是180°，得出∠2＝180°-∠BCD-∠CBD=13°．2．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD， 在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC， ∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC， ∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD， ∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO， 又∠AOD=∠BOC， ∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD）， AP、CD的交点标为点E， 在△CPE中， ∠P=180°-∠PCO-∠CEP， ∵∠CEP=∠AOD+∠PAO， ∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD， ∴∠P=12（∠B+∠D）。 故答案为：B。 【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=12（∠B+∠D）。3．【答案】B【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：①∵k=−1<0，b=2>0，∴函数y=−x+2的图象经过一、二、四象限，不过第三象限，原说法符合题意；②一组数据5，6，7，6，8，10重新排列后为5，6，6，7，8，10，众数是6，中位数是6+72=6.5，原说法不符合题意；③将y=−x−3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后的解析式是：y=−x−3−3=−x−6，图象不经过原点，原说法不符合题意；④式子a+2a+3有意义的条件是a≥−2且a≠−3，原说法符合题意．说法正确的有①④，共2个．故答案为：B． 【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。4．【答案】B【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：如图，先标注各点，由正六边形可得：∠ACE=180°−360°6=180°−60°=120°，∵AE∥BD，∠1=28°，∴∠FAC=∠1=28°，∴∠2=∠FAC+∠ACE=28°+120°=148°，故答案为：B 【分析】根据平行线的性质可得∠FAC=∠1=28°，再利用三角形外角的性质可得∠2=∠FAC+∠ACE=28°+120°=148°。5．【答案】C【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；故答案为：C． 【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。6．【答案】B【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质【解析】【解答】解：∵∠1=60°，∠2=60°， ∴∠1=∠2，不能证明AB∥CD，故①错误； ∵∠1=60°，∠5=60°，∠1=∠2， ∴∠2=∠5， ∴AB∥CD，故②正确； ∵∠2+∠3=180°，∠3=120°， ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠2=∠1=60°，不能证明AB∥CD，故③错误； ∵∠4+∠5=180°，∠4=120°， ∴∠5=180°-120°=60°， ∴∠2=∠5， ∴AB∥CD，故④正确； ∴推理正确的是②④ .故答案为：B 【分析】利用对顶角相等，可证得∠1=∠2，对顶角相等不能证明两直线平行，可对①③作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用∠4的度数及邻补角的定义求出∠5的度数，可推出∠2=∠5，利用同位角相等，两直线平行，可对④作出判断；综上所述可得到推理正确的序号.7．【答案】A【知识点】角的运算；平行线的判定【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAB+∠ABE=360°−(∠CAB+∠ABC)=270°，∵∠DAF=13∠DAB，∠EBG=13∠EBA，∴∠FAB+∠GBA=23(∠DAB+∠ABE)=180°，∴AF∥BG．故答案为：A． 【分析】先求出∠DAB+∠ABE=360°−(∠CAB+∠ABC)=270°，再结合∠DAF=13∠DAB，∠EBG=13∠EBA，可得∠FAB+∠GBA=23(∠DAB+∠ABE)=180°，即可得到AF∥BG。8．【答案】C【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB， ∵AB//CD，∴EM//AB//CD//FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°， ∵AB//CD//FN∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为：C． 【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，根据平行公理的推论得EM//AB//CD//FN，利用平行线的性质可得∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，结合∠BED=110°， 可求出∠ABE+∠CDE=250°，由角平分线的定义可得∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，从而求出∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE)=125°，由平行线的性质得∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，可得∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF，即可求解．9．【答案】B【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；邻补角；角平分线的定义【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD，MQ∥CD，∴AB∥MQ，∴∠EMQ=180°-∠BEF=38°，∵MQ平分∠EMN，∴∠QMN=∠EMQ=38°，∵MQ∥CD，∴∠MNF=∠QMN=38°，∴∠FMN=180°-∠EMN=180°-38°-38°=104°.故答案为：B.【分析】由平行公理及推论可得AB∥CD∥MQ，由平行线的性质可得∠EMQ=180°-∠BEF=38°，根据角平分线的概念可得∠QMN=∠EMQ=38°，由平行线的性质可得∠MNF=∠QMN=38°，然后根据邻补角的性质进行计算.10．【答案】B【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：A.如图：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠1+∠3，∵a∥b，∴∠ACD=∠2，∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；B.如图：延长AD交BF于点C，∵a∥b，∴∠1=∠ACF，∵∠ACF=∠3+∠2，∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；C.如图：过点A作AB∥a，∴∠2+∠CAB=180°，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠1+∠BAD=180°，∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；D.如图：延长DA交直线b于点C，∵a∥b，∴∠2=∠DCB，∵∠3=∠1+∠DCB，∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；故答案为：B． 【分析】根据平行线的性质分别求出各图形中∠1、∠2、∠3的关系，即可判断.11．【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角【知识点】定义、命题及定理的概念【解析】【解答】解：由题意可得： 把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果…那么…”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角【分析】根据命题的概念即可求出答案。12．【答案】95【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解： ∵MF//AD，∠A=100°， ∴∠FMB=∠A=100°， ∵FN//DC，∠C=70°， ∴∠FNB=∠C=70°， 由翻折可知：∠BMN=12∠FMB=50°， ∠MNB=12∠FNB=35°， ∵∠BMN+∠MNB+∠B=180°， ∴50°+35°+∠B=180°，解得∠B=95°，故答案为：95. 【分析】根据平行线的性质求得∠FMB与∠FNB，再根据翻折性质求得∠BMN与∠MNB，然后利用三角形的内角和求得∠B.13．【答案】③④⑤【知识点】绝对值及有理数的绝对值；实数及其分类；平行公理及推论；平行线的判定与性质【解析】【解答】解：①若|a|=-a，则a≤0，故原命题为假命题；②两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题；③平行于同一条直线的两条直线平行，符合题意，为真命题；④直线a、b、c在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c，符合题意，为真命题；⑤实数包括有理数和无理数，符合题意，为真命题；故真命题为：③④⑤，故答案为：③④⑤． 【分析】根据绝对值的意义，平行线的判定与性质，平行公理，实数的分类逐项判断即可.14．【答案】①②③【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，故①正确；②∵∠1+∠2+∠2+∠3=180°，∴∠CAD+∠2=180°，故②正确；③∵∠2=40°，∴∠3=∠B=50°，∴BC∥AD，故③正确；④∵∠2=30°，∴∠1=60°，∵∠E=65°，∴AC与DE不平行，故④不正确.故答案为：①②③.【分析】由同角的余角相等得∠1=∠3，据此判断①；根据角的和差得∠1+∠2+∠2+∠3=180°，从而可得∠CAD+∠2=180°，据此判断②；根据角的和差把那个结合已知可得∠3=∠B=50°，根据内错角相等，两直线平行，可得BC∥AD，据此判断③；根据角的和差可得∠1=60°≠∠E，故判断不出AC与DE平行，据此判断④.15．【答案】160【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：如图1，连接AD，∵在ΔBDC中，∠BDC=130°，∴∠DBC+∠DCB=180°−∠BDC=50°．∵ΔABC三内角的角平分线交于点D，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，同理可得，∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∵在ΔABC中，∠BAD+∠DAC+∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD=180°，又∵∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∴∠DBC+∠DCB+∠DAC=90°，∵∠DBC+∠DCB=50°，∴∠DAC=90°−(∠DBC+∠DCB)=40°．如图2，连接AE，∵ΔABC三边的垂直平分线交于点E，∴EA=EB=EC，∴∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=40°，∠DAC=∠DAB，∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=80°，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE，∴∠BAE+∠CAE=80°，∵∠EAB=∠EBA，∠EAC=∠ECA，∴∠ABE+∠ACE=80°，即∠ABD+∠DBE+∠ACD+∠DCE=80°，∵∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∴∠CBD+∠DBE+∠BCD+∠DCE=80°，∵∠DBC+∠DCB=50°，∴∠DBE+∠DCE=80°−50°=30°，∵∠DBC+∠DCB=50°∴∠DBE+∠EBC+∠ECB+∠DCE=50°，∵∠EBC=∠ECB，∠DBE+∠DCE=30°，∴2∠ECB=50°−(∠DBE+∠DCE)=20°，∴∠ECB=∠EBC=10°，∴在ΔBEC中，∠BEC=180°−∠ECB−∠EBC=160°．故答案为：160． 【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。16．【答案】（1）证明：在△ABO和△CDO中， OB=OD∠OBA=∠DAB=CD，∴△ABO≌△CDO（SAS）；（2）解：∵△ABO≌△CDO， ∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∴∠AOB-∠COB＝∠COD-∠COB，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵OA∥CD，∴∠C＝∠AOC＝30°，∴∠A＝30°．【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）根据三条边都对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）根据全等三角形的对应角相等推得∠AOC＝∠BOD＝30°，根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠AOC=30°，则可得出答案.17．【答案】（1）15°；150°（2）解：∵PQ//MN，∴∠GEF=∠CAB=45°，∴∠FGQ=75°，∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，∴∠FHG=67.5°（3）30°或90°或120°【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质【解析】【解答】（1）∵PQ∥MN ∴∠E=∠α+∠BAC ∴∠α=∠E-∠BAC=15° ∵E，C，A三点共线 ∴∠β=180°-∠DEF=150° 故答案为：第1空、15°第2空、150° （3）当BC∥DE时 则∠CAE=∠DFE=30° ∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE ∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=30° 当BC||EF时 则∠BAE=∠ABC=45° ∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=90° 当BC||DF时 则AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15° ∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=120°【分析】（1）根据直线平行性质及三角形外角和性质即可求出答案。 （2）根据平行线的性质及角平分线的性质即可求出答案。 （3）分情况讨论，根据平行线的性质即可求出答案。18．【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°． 【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． (2) 设两个角分别为x和2x-30°， 由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 解得：x=30°或70°， ∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°． 【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ； ② 根据①中的结论总结即可； (2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.19．【答案】（1）解：如图标出∠3，∵∠BCA=90°，∴∠3=90°−∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°；（2）解：定值为：120°，理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1，∵∠ABC=60°，∴180°−∠2+∠1=60°，∴∠2−∠1=120°；（3）解：∠1=∠2，理由如下：∵AB平分∠BAM，∴∠BAM=2∠BAC=60°，过点C作CE∥a，∴∠2=∠BCE，∵a∥b，CE∥a，∴CE∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠ECA=∠CAM=30°，∴∠2=∠BCE=∠ACB−∠ACE=60°，∴∠1=∠2.【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠3=180°-∠1-∠BCA=44°，由平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答； （3）过点B作BD∥a，则BD∥a∥b，由平行线的性质可得∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠1，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°进行解答； （3）根据角平分线的概念可得∠BAM=2∠BAC=60°，过点C作CE∥a，则CE∥a∥b，由平行线的性质可得∠2=∠BCE，∠1=∠BAM=60°，则∠ECA=∠CAM=30°，∠2=∠BCE=∠ACB-∠ACE，求出∠2的度数，据此解答.20．【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B（2）6（3）解：由（1）可知：∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D+∠B=2∠P，又∵∠D=40°，∠B=36°，∴40°+36°=2∠P，∴∠P=38°；（4）解：2∠P=∠D+∠B【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义【解析】【解答】解：（1）结论为：∠A+∠D=∠C+∠B，理由如下：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，又∵∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B（2）交点有点M、O、N，以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△AOD与△CON，以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：6（4）关系：2∠P=∠D+∠B，由（1）可知：∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠OCB−∠OAD=∠D−∠B，∠PCM−∠DAM=∠D−∠P，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=12∠OAD，∠PCM=12∠OCB，∴12∠OCB−12∠OAD=∠D−∠P，即∠OCB−∠OAD=2∠D−2∠P，∴∠D−∠B=2∠D−2∠P，整理得，2∠P=∠D+∠B． 【分析】（1）利用三角形的内角和及对顶角的性质可得∠A+∠D=∠C+∠B； （2）根据“8字形”的定义求解即可； （3）先根据∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P求出∠D+∠B=2∠P，再将数据代入求出∠P=38°即可； （4）根据角平分线的定义可得∠DAM=12∠OAD，∠PCM=12∠OCB，再利用角的运算和等量代换可得∠D−∠B=2∠D−2∠P，最后化简可得2∠P=∠D+∠B。21．【答案】（1）125；90；35（2）解：猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A； 证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．（3）解：判断：（2）中的结论不成立． 证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．【知识点】角的运算；三角形内角和定理【解析】【解答】解：（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.22．【答案】（1）252°（2）解：① = + 理由：如图 如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC ，∴AD//PE//BC ，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α＋∠β；②∠CPD=∠β-∠α（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn【知识点】平行线的性质【解析】【解答】解：（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠APC=108°，∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；故答案为：252°；（2）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.（3）问题拓展：分别过A2 ， A3…，An-1作直线∥A1M，过B1 ， B2 ， …，Bn-1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”进行求解； （2）过P作PE//AD交CD于E，根据“两直线平行，内错角相等”进行求解； （3） 分别过各顶点处作AM的平行线，利用“两直线平行，内错角相等推出结论.
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