01等差数列-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份01等差数列-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知等差数列的前项和为，若，则=（ ）
A．96B．72C．48D．24
2．（2023上·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考期末）在等差数列中，若，，则等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2023上·山东青岛·高二校考期末）已知为等差数列，，，则数列的公差（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山东威海·高二统考期末）若是等差数列的前n项和，，则（ ）
A．10B．18C．20D．24
5．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知数列为等差数列且，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知数列、的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则必有
B．若，则必有是中最大的项
C．若，则必有
D．若，则必有
9．（2023上·山东泰安·高二统考期末）已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列不是等差数列
C．，，成等差数列D．，，成等差数列
10．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列为等差数列B．
C．随的增大而减小D．有最大值
11．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．公差B．
C．的最大值为D．满足的的最小值为16
三、填空题
12．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）将正整数数列的各项按照上小下大的、左小右大的原则写成如下的三角形数表.数表中的第9行所有数字的和为 .
13．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是 万步.
14．（2023上·山东聊城·高二统考期末）记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则 ．
15．（2023上·山东青岛·高二校考期末）等差数列的前n项和为，若，是方程的两实根，则 ．
16．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）等差数列中，则数列的前5项和 .
17．（2023上·山东威海·高二统考期末） ．
18．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，则 .
19．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则公差的值为 .
20．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最小值的是 .
四、解答题
21．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求.
22．（2022上·山东聊城·高二校考期末）已知等差数列的前项和为，若
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:数列为等差数列.
23．（2022上·山东青岛·高二统考期末）已知数列，，.
(1)求数列通项公式；
(2)若数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
五、证明题
24．（2023上·山东青岛·高二校考期末）已知数列中，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
25．（2023上·山东威海·高二统考期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
参考答案：
1．B
【分析】根据等差数列的性质和前项和公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】因为是等差数列，故可得：，
所以.
故选：B.
2．D
【分析】设出等差数列的公差，然后根据等差数列通项公式的基本量进行求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，故
而.
故选：D
3．A
【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.
【详解】由等差数列性质知：，，
，，.
故选：A.
4．B
【分析】先利用等差数列的下角标性质求出，再利用等差数列求和公式求即可.
【详解】由等差数列的下角标性质得，
，
.
故选：B.
5．C
【分析】由题意可得，求出与公差，根据等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由数列的前项和为，
得，即，
设公差为，则，解方程得（负值舍去），.
.
故选:C.
6．C
【分析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论.
【详解】由题意可知，数列、、、、、、、、、、，
数列、、、、、、、、、、，
将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、，
易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，
由，可得，
因此，集合中元素的个数为.
故选：C.
7．B
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
，
由得：，解得：，又，.
故选：B.
8．ABC
【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，逐项分析，即可求解.
【详解】对于A中，若，则，可得，
所以，所以是正确的；
对于B中，若，则，
即，
又由，公差，所以，
所以，所以必有是中最大的项，所以是正确的；
对于C中，若，则，即，
又由，则必有，
可得，所以必有，所以是正确的；
对于D中，若，则，而的符号不能确定，
所以不一定成立，所以是错误的.
故选：ABC.
9．BCD
【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，D.
【详解】，
时，，
时，，即，.
，因此数列不是单调递增数列，故A错误；
又时，不满足，
数列不是等差数列，故B正确；
，，，
因此，，成等差数列，故C正确；
，，
．
成等差数列，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】根据求出数列的通项，即可判断AB；根据数列的符号，即可判断的增减性，即可判断CD.
【详解】由，
当时，，
两式相减得，
即，所以，
当时，，则，
则，
所以数列数列是以为公差，为首项的等差数列，故A正确；
则，所以，故B正确；
由，得当时，，，当时，，
所以当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故C错误；
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：ABD.
11．AC
【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB；再根据等差数列前项和公式即可判断CD.
【详解】因为，
则，即，
则，故A正确；
，故B错误；
由，得，
,
因为，
所以数列是递减数列，且当时，，当时，，
所以的最大值为，故C正确；
，
令，解得，
所以满足的的最小值为，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和进行求解即可.
【详解】根据三角形数表可知：前8行一共有个数，
因此第9行的第一个数为37，一共有9个数，
所以第9行所有数字的和为：，
故答案为：.
13．
【分析】由题分析知张大爷每天的步行步数成等差数列，利用等差数列及等差数列前项和公式的性质求解.
【详解】设张大爷在11月的30天的运动步数构成数列，且的前n项和为，
则数列是等差数列，成等差数列，
所以，
即，
解得，
所以张大爷在11月份的运动步数是万步.
故答案为：.
14．6
【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的通项公式与前项和公式化简可得关于的方程，解之即可.
【详解】因为是公差不为0的等差数列，设公差为，
所以，，
又，
所以，即
则，
所以，又，
所以，则．
故答案为：6
15．
【分析】根据题意，结合韦达定理可得，然后再由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为数列为等差数列，且，是方程的两实根，
则，且，所以，
则.
故答案为:
16．25
【分析】利用基本量代换求出首项和公差，套公式求出.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，
解得：，
所以.
所以.
故答案为：25
17．
【分析】直接用等差数列求和公式计算即可.
【详解】明显数列为等差数列，
.
故答案为：.
18．
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，求出.
【详解】设公差为，则，解得：，
故.
故答案为：-6
19．或/或
【分析】由等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得的值，由此可求得的值.
【详解】由等差数列的求和公式可得，则，可得.
当时，；当时，.
综上所述，或.
故答案为：或.
20．或
【分析】求出等差数列的通项公式，解不等式可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，由等差中项的性质可得，可得，
，则，所以，，
所以，，
由可得，故当或时，取得最小值.
故答案为：或.
21．(1)
(2)9
【分析】（1）设数列的公差为，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出其通项公式；
（2）根据等差数列的求和公式和通项公式列方程可求得结果.
【详解】（1）设数列的公差为，则由，得，
因为，所以，解得.
所以.
（2），
由，得，
即，解得或，
又，所以.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式列出方程组，解出公差和首项即可求解；
（2）由（1）利用公式法求出等差数列的，可得，进而得，结合等差数列的定义即可判断.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，解得，
有，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由(1)知，
，
所以，又，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
23．(1)
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）根据递推公式将等式两边分别取倒数即可证明是等差数列，即可写出数列通项公式；（2）利用数列与的关系式，可写出的表达式，利用等比数列放缩即可证明（i）中的结论，再利用（i）得到的结论即可证明（ii）.
【详解】（1）由题意可知，，将两边同时取倒数可得，
，即，又，
所以，数列是以为首项，公差的等差数列，
即，得，
所以数列通项公式为
（2）（i）由可知，
，
所以
两式相减得
当时，，
所以；
（ii）
所以
24．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明；
（2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式．
【详解】（1）因为，，所以，即，
所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，所以.
25．(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令中的，可得答案；
（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；
（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.
【详解】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.