02等比数列-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份02等比数列-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·山东烟台·高二统考期末）《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（ ）
A．12B．24C．48D．96
2．（2022上·山东聊城·高二校考期末）若数列的首项为且满足数列的前4项和=（ ）
A．33B．45C．48D．78
3．（2023上·山东泰安·高二统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）在等比数列中，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（2023上·山东威海·高二统考期末）经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ）
A．2B．10C．31D．62
7．（2023上·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）在等比数列中，，，则和的等比中项为（ ）
A．10B．8C．D．
8．（2023上·山东济南·高二济南市章丘区第四中学校考期末）等比数列中，，且，，则的值为（ ）
A．36B．27C．16D．8
二、多选题
9．（2022上·山东聊城·高二校考期末）已知数列和满足则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列单调递增
10．（2022上·山东东营·高二胜利一中校考期末）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（ ）
A． B．数列单调递增
C．若p为质数，则数列为等比数列D．数列的前4项和等于
11．（2022上·山东菏泽·高二统考期末）若数列满足，，（，），则称数列为Fibnacci数列．该数列是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．下列关于此数列的结论正确的有（ ）
A．
B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列前n项和为，则
C．记，则数列的前2021项的和为
D．
12．（2022上·山东滨州·高二统考期末）设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2022上·山东菏泽·高二统考期末）已知数列的前项和为，且，则 .
14．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考期末）设正整数，其中，记，则的值等于 .
15．（2023上·山东临沂·高二校考期末）已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则 ．
16．（2023上·山东泰安·高二校考期末）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为 ．
四、解答题
17．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知数列满足.
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，记的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，，、、成等比数列，数列的前项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和.
19．（2022上·山东聊城·高二校考期末）已知数列的前项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足，求数列的前项和
20．（2022上·山东青岛·高二统考期末）在“①，；②，”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.
已知正项等比数列的前项和为，满足___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）数列的前项和，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
22．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知数列是递增的等差数列，，若成等比.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为，
23．（2023上·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知等差数列的前三项分别为
(1)求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
参考答案：
1．B
【分析】由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.
【详解】设灯塔每层的灯数满足数列，顶层的灯数为，前项和为，
则为公比为2的等比数列，
根据题意有,解得，
∴，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24.
故选:B.
2．D
【分析】根据题中条件，由构造法，得到是等比数列，确定首项和公比，求出其通项公式，得出的通项，进而可求出其前4项和.
【详解】由，得，
故是首项为，公比为2的等比数列，
故，则，
所以数列的前4项和为.
故选：D.
3．B
【分析】设第一天织布的尺数为，则由题意有，据此可得答案.
【详解】设第一天织布的尺数为，则
.
故选：B
4．D
【分析】根据等比数列的下标性质，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，，且，
则.
故选：D
5．D
【分析】根据题意写出30轮影响后，国内消费总额，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】1轮影响后，国内消费总额为，
2轮影响后，国内消费总额为，
……，
30轮影响后，国内消费总额为.
故选：D
6．D
【分析】根据等比数列的基本量求出公比，然后求.
【详解】设等比数列的公比为，
因为是与的等差中项
所以
即，
又，所以
即，所以
所以
故选：D
7．C
【分析】根据等比中项的定义可得结果.
【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为.
故选：C
8．D
【分析】根据等比数列的性质求出首项和公比，即可求出的结果.
【详解】设等比数列公比为，由，，
得，，两式相除，得，由，得，
.
故选：D
9．BCD
【分析】通过合理赋值即可判断A；对B两式作和即可判断；对C两式作差即可判断；对D，通过BC选项求出，则可判断D正确.
【详解】对A选项，令，则，，
则，则，则A错误；
对B选项，由题意中两式相加得，故B正确；
对C选项，由题意中两式作差得，
即，则C正确；
对D选项，由B得，，
两式相加得，
则，
则
若，显然，即成立,单调递增，故D正确.
故选：BCD.
10．AC
【分析】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与 都互质，所以A正确；由，可知B错误；若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数的数目为个，故，所以，即数列为等比数列，故C正确；根据选项C可知，数列的前4项和为，故D错误.
【详解】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与共28个数都互质，即，所以A正确；
由题目中，以及可知数列不是单调递增的，B错误；
若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，即每p个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为个，
故，所以为常数，即数列为等比数列，故C正确；
根据选项C即可知，数列的前4项和为，故D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要是理解函数的定义，难点是选项C的证明，主要是确定与互质的数的个数；若p为质数，在小于等于的正整数中每p个数当中就有一个与不互质，则不互质的数目个数为个，所以互质的数的数目为个，即可证明数列为等比数列，并可计算数列前n项和.
11．ACD
【分析】利用斐波那契数列的性质逐项判断即可求解.
【详解】解：
对于选项A：由得
，故A正确；
对于选项B：显然，由（，）可知，（，）可由判断若，则，若或，则，由此可得，，，，，，，（，），所以，故B错误；
对于选项C：由（，）得
，所以数列的前2021项的和为，C正确；
对于选项D：（，）
又因为，所以
故，故D正确.
故选：ACD
12．BD
【分析】根据等比数列公式得到，，计算得到，，对比选项得到答案.
【详解】，，解得，，故，， ，故BD正确，AC错误.
故选：BD.
13．
【分析】当时，求解，当当时，求出然后求解.
【详解】当时，，
当时，①
②
减②得：
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以
故答案为：
14．
【分析】根据题意求出正整数的表示形式，根据的意义求解.
【详解】因为
，
所以.
故答案为：
15．/0.375
【分析】根据题意，求出数列的公差，得到，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得，从而得解.
【详解】由，，，，成等差数列，可得公差，所以，
又由，，，，成等比数列，可得，
设等比数列的公比为，可得，所以，
所以.
故答案为：.
16．18
【分析】根据等比数列通项公式
【详解】因为等比数列的首项为2，公比为3，所以，所以．
故答案为：18．
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）将变形为，两边同加2后可证得是等比数列，并可求得通项公式.
（2）由错位相减求和法求得，由恒成立分离常数后得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
，
于是，
又因为，所以是以为首项､为公比的等比数列，
于是，即.
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得，
，
所以，
由，得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，增函数，故当时，，所以；
时，，增函数，所以，所以；
所以.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件可得出关于的等式，解出的值，可得出等差数列的通项公式，当时，由可得出，两式作差可得出数列为等比数列，当时，求出的值，可得出等比数列的通项公式；
（2）列举出数列前项的值，进而可求得数列前项的和.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为、、成等比数列，所以，
即，整理可得，解得，
故，
因为①，当时，②，
①②可得，即，
又时，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）解：由（1）知，，则，
所以，，，
则数列的前项和.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系可得，结合定义法即可判断数列为等比数列，即可求解；
（2）由（1）知，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
两式相减，得，由递推式可知，，
所以，即数列为等比数列，首项为4，公比为4，
故等比数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
所以
.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）若选①由，作商整理可得，可解出.进而求出，即可得出表达式；若选②由，作商整理可得，可解出.进而求出，即可得出表达式；
（2）由（1）知，由，，两式作差整理即可得出.
【详解】（1）解：若选①，：
设公比为，显然.
因为，，
因为，两式作商可得，整理可得，解得或（舍去），
将代入可得，
所以；
若选②，：
设公比为，显然.
由已知可得，，
因为，两式作商可得，整理可得，
解得或（舍去），
将代入可得，，
所以.
（2）解：由（1）知，，则.
所以，，
，
两式作差可得，，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系求解；
（2）方法一：由（1）可得，利用错位相减法求解，方法二：由，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，
所以当时，，所以，
当时，，
所以 ，
整理可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）有，所以，
方法一：，
，
错位相减可得：，
所以.
方法二：，
令，则，
所以，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）由是递增的等差数列，，
又，，，，
又成等比数列，
，解得或（舍去），
，则.
（2）由（1）可得，
所以.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出的值，可得数列首项和公差，可求的通项公式；
（2）由数列的通项公式，利用分组求和法，求前项和.
【详解】（1）设等差数列公差为，由已知，
所以，解得，则，
所以公差，所以.
（2）由题意可得，
所以
.