04直线和圆的方程-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份04直线和圆的方程-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2023上·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山东滨州·高二统考期末）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·山东德州·高二统考期末）已知，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·山东德州·高二统考期末）已知直线，且，则实数a的值为（ ）
A．5B．1C．5或D．
7．（2023上·山东聊城·高二统考期末）直线的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
8．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·山东泰安·高二统考期末）若直线与直线平行，则实数k的值为（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题
11．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知直线l：，则（ ）
A．l不过第二象限
B．l在y轴上的截距为1
C．不存在k使l与直线平行
D．存在k使l被圆截得的线段长为2
12．（2023上·山东枣庄·高二统考期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．点到直线的距离为1
13．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知直线，则（ ）
A． 恒过定点B．当时，不经过第二象限
C． 与直线垂直D．当时，点到的距离最大
14．（2023上·山东济宁·高二统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是
B．直线的倾斜角是
C．直线恒过定点
D．过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为
三、填空题
15．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）若圆与内切，则正数的值是 .
16．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为 ．
17．（2023上·山东东营·高二统考期末）已知直线：，则圆截直线所得的弦长的取值范围是 ．
18．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）已知直线与平行，则的值为 .
19．（2023上·山东东营·高二统考期末）若直线l：与直线m：互相平行，则 ．
20．（2023上·山东临沂·高二校考期末）若圆与圆有且只有一条公切线，则实数的值是 ．
四、解答题
21．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上．
(1)若为直角三角形，求边所在直线的方程；
(2)若为的中点，求边所在直线的方程．
22．（2023上·山东泰安·高二统考期末）已知两个定点，，动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．
23．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)求直线被圆截得的弦的长.
24．（2023上·山东东营·高二统考期末）已知圆C与圆M：相外切，且圆心C与点关于直线l：对称．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点圆C的切线的方程．
25．（2023上·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考期末）某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离；
(2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
26．（2023上·山东泰安·高二校考期末）已知圆心为M的圆经过A(0，4)，B(2，0)，C(3，1)三个点．
(1)求△ABC的面积；
(2)求圆M的方程．
27．（2023上·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）已知圆的圆心在直线上，且过点，．
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程；
(3)过点作圆的割线，交圆于，两点，当时，求的直线方程．
参考答案：
1．A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，
由，得，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，
所以M点的轨迹长为.
故选：A.
2．D
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得；
故选：D
3．A
【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线与垂直，且，
所以，解得，
设的倾斜角为，，所以.
故选：A.
4．A
【分析】求出直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.
故选：A.
5．D
【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化为，由此可得最小值.
【详解】由得：，整理可得：，
则可令，，，
（其中），
则当时，.
故选：D.
6．D
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线，，由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.
故选：D
7．C
【分析】利用直线与轴垂直即可求得答案
【详解】因为直线与轴垂直，
故直线的倾斜角为
故选：C
8．D
【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【详解】圆：的圆心，圆：可化为
，，则其圆心为，半径为，
因为圆与圆相内切，所以，即，故.
由，可得，
即与的公切线方程为.
故选：D
9．A
【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解.
【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：A.
10．D
【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值.
【详解】因为直线与直线平行，
所以两直线斜率相等，即.
故选：D.
11．AC
【分析】取得出恒成立，从而判断A；由得出截距，从而判断B；由反证法判断C；由距离公式判断D.
【详解】对于A：当时，恒成立，即l不过第二象限，故A正确；
对于B：令，即l在y轴上的截距为，故B错误；
对于C：若直线和平行，则，且，与矛盾，
即不存在k使l与直线平行，故C正确；
对于D：若l被圆截得的线段长为2，则直线到圆心的距离为，但是圆心到直线的距离，即不存在k使l被圆截得的线段长为2，故D错误；
故选：AC
12．CD
【分析】令的系数为0求解判断A；根据截距的定义判断B，求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角判断C，利用点到直线的距离的定义求距离判断D.
【详解】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，故A错误；
对B，在轴上的截距为，故B错误；
对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，
即，故C正确；
对D，因为直线垂直于轴，所以点到直线的距离为，故D正确.
故选：CD
13．BC
【分析】根据点斜式方程判断A；结合当时，直线与轴的交点横坐标为判断B；根据直线一般式的垂直判断公式判断C；根据直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大求解判断D.
【详解】解：将直线整理变形得，
对于A选项，由点斜式方程得直线过定点，故A错误；
对于B选项，当时，直线与轴的交点横坐标为，又直线过定点，所以直线不经过第二象限，故B选项正确；
对于C选项，由于恒成立，所以与直线垂直，故C选项正确；
对于D选项，当直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大，此时，又因为直线的斜率为，故当时，点到的距离最大，故错误；.
故选：BC
14．AC
【分析】对于A，令，求出，即可判断；对于B，求出直线的斜率，进而可得倾斜角，即可判断；对于C，直线方程可化为，再令即可判断；对于D，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断.
【详解】对于A，令，则，
所以直线在轴上的截距是，故A正确；
对于B，直线的斜率为，所以其倾斜角为，故B错误；
对于C，直线化为，
令，得，
所以直线恒过定点，故C正确；
对于D，当直线过原点时，直线方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
将代入解得，
此时直线方程为，
所以过点且在.轴､轴上的截距相等的直线方程为或，故D错误.
故选：AC.
15．6
【分析】由圆心距等于半径差的绝对值求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为两圆外切，则，解得或（舍去）.
故答案为：6.
16．
【分析】设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可.
【详解】解：设，
因为点满足，
所以，，整理得，
所以，点在圆上，
因为，点也在圆上
所以，圆与圆有公共点，
因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以，，解得，
所以，的取值范围为
故答案为：
17．
【分析】求出直线所过的定点、圆心及半径，根据垂径定理可求弦长的最小值，最大值为直径的长度.
【详解】直线的方程即，故直线恒过定点.
圆的标准方程为，圆心为，半径为4，
因为，所以在圆内，直线恒与圆相交.
圆心到点的距离为，
则圆截直线所得的弦长的最小值为，最大值为直径的长度.
所以圆截直线所得的弦长的取值范围是.
故答案为:.
18．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解.
【详解】直线与平行，
则，解得，
经检验，符合题意，故.
故答案为：
19．/
【分析】根据两直线方程，判断斜率存在，由题意可得，解出a后，验证是否符合题意，可得答案.
【详解】由题意可知直线l：的斜率为，
因为直线l：与直线m：互相平行，
故直线m：的斜率存在，且为，
则，解得或，
当时，直线l：与直线m：重合，不合题意，
当时，直线l：与直线m：互相平行，
故答案为：
20．或
【分析】根据题意知两圆内切，得，分类讨论求解即可．
【详解】圆，即，则圆心，半径，．
圆，即，则圆心，半径，．
由于两圆有且只有一条公切线，所以两圆内切，
所以，即，
当时，有，即，解得，不合题意；
当时，有，即，解得或(舍)；
当时，有，即，解得或(舍)，
综上，或．
故答案为：或．
21．(1)或
(2)
【分析】（1）先判断角不是直角，在分别讨论角或角为直角的情况，利用题意求解即可
（2）由题意可设，再利用条件求出参数，然后求出边所在直线的斜率，最后利用公式求解直线方程即可.
【详解】（1）由的边所在直线的方程分别为，,
可知角不是直角，
若角是直角，由点在边上，
得边所在直线的方程为；
若角是直角，由边所在直线的方程为，
得边所在直线的斜率为，又点在边上，
所以边所在直线的方程为，即．
（2）由题意可设，由为的中点，得，
将点的坐标代入边所在直线的方程，
得，
所以，解得，所以，
得边所在直线的斜率为，
所以边所在直线的方程为，
即．
22．(1)
(2)或
【分析】（1）设点，后由结合两点间距离公式可得轨迹方程；
（2）由点N到直线PM的距离为1，可得，则可得直线PM方程为
或，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直线PN方程.
【详解】（1）设点P的坐标为，因为，
所以．
整理得，所以点P的轨迹方程为．
（2）因为点N到直线PM的距离为1，，
所以，直线PM的斜率为或，
所以直线PM的方程为或.
联立轨迹方程与，
可得，
解得或．得直线PM的方程为时，
P的坐标为或.直线PM的方程为时，P的坐标为或．
当P的坐标为时，直线PN的方程为：
，即.
P的坐标为时，直线PN的方程为：
，即.
P的坐标为时，直线PN的方程为：
，即.
P的坐标为时，直线PN的方程为：
，即.
综上可得直线PN的方程为或
23．(1)
(2)
【分析】（1）设圆的标准方程为，列出的方程组解决.
(2)求出圆心到直线的距离，半径圆心到直线的距离，弦的一半构成直角三角形解决.
【详解】（1）设圆的标准方程为
圆的圆心在直线上，且与直线相切于点
解方程组得
所以，圆C的标准方程为
（2）圆心到直线的距离
又.
所以，直线被圆截得的弦的长为.
24．(1)
(2)或
【分析】（1）得到点在直线上，从而得到关于直线的对称点是其本身，确定圆心坐标，由两圆外切，列出方程，求出半径，得到圆的标准方程；
（2）考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出切线方程.
【详解】（1）因为，故点在直线上，
故点关于直线的对称点是其本身，
故圆心坐标为，
因为圆C与圆M：相外切，设圆C的半径为，
所以，解得：，
故圆C的标准方程为；
（2）当切线斜率不存在时，即，
此时圆心到的距离为3，等于半径，故满足相切关系，
当切线斜率存在时，设为，
则圆心到直线的距离，
解得：，
故切线方程为，即，
所以切线方程为或.
25．(1)，
(2)有触礁的危险
【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断.
【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向
，
由两点间的距离公式知．
（2）设过三点的圆的方程为．
将代入上式，得
，解得．
圆的方程为，
则该圆的圆心为，半径．
设船起初所在的点为，则，
又该船航线所在直线的斜率为1，
该船航线所在的直线方程为．
圆心到此直线的距离．
若不改变方向，该船有触礁的危险．．
26．(1)3
(2)(x－1)2＋(y－2)2＝5
【分析】（1）求出，写出直线AB的方程，求出C到直线AB的距离，即可求得面积；
（2）先判断出直线AC与BC垂直，从而可知圆心M为边AB的中点，即可得圆心M的坐标，再求得半径，进而可得圆的标准方程．
【详解】（1）由A(0，4)，B(2，0)得直线AB的方程为，即2x＋y－4＝0．
则点C到直线AB的距离，
A(0，4)，B(2，0)，则，
则△ABC的面积为，
即△ABC的面积为3．
（2）根据题意，A(0，4)，B(2，0)，C(3，1)，
得，，则，
故直线AC与BC垂直，则△ABC为直角三角形，
故圆M的圆心M为边AB的中点，即M(1，2)，
半径，
故圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5．
27．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）依题意设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得到圆的方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到方程，求出的值，即可得解；
（3）依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：依题意设圆心坐标为，半径为，
则圆的方程为，
所以，解得，
所以.
（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当切线的斜率存在时，设直线方程，即．
则，解得．
切线方程为，即．
综上可得切线方程为：或．
（3）解：依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
因为，所以圆心到直线的距离，
即，解得或，
所以直线的方程为或.