07圆锥曲线方程（抛物线）-湖南省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份07圆锥曲线方程（抛物线）-湖南省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）已知抛物线C的方程为，则其焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若,则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．2
3．（2023上·湖南张家界·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·湖南长沙·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
5．（2023上·湖南怀化·高二统考期末）双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
6．（2022上·湖南怀化·高二统考期末）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
7．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·湖南·高二校联考期末）如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2，水面宽4，那么水下降1后，水面宽为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．的最小值为
C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则的横坐标为
D．若点，则周长的最小值为
10．（2023上·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当时，点的轨迹为抛物线
D．当时，点的轨迹为一条直线
11．（2023上·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期末）已知F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，的中点M在C的准线上的投影为N，则（ ）
A．曲线C的准线方程为B．若，则的面积为
C．若，则D．若，则
12．（2022上·湖南永州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
三、填空题
13．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则 .
14．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）我们知道，平行于抛物线对称轴的光线（不与对称轴重合）经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线平行．如图，若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为，则此抛物线的标准方程为 ．
15．（2022上·湖南娄底·高二校考期末）抛物线上点的横坐标为4，则到抛物线焦点的距离等于 .
16．（2022上·湖南岳阳·高二统考期末）已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|的最小值是 ．
四、解答题
17．（2023上·湖南邵阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大1.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
18．（2023上·湖南永州·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若为定值，求实数的值．
19．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知抛物线C：（）与圆O：交于A，B两点，且，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点.
(1)抛物线C的方程；
(2)求的最小值.
20．（2023上·湖南怀化·高二统考期末）已知抛物线的准线方程是是抛物线焦点．
(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：
(2)已知直线过点，斜率为2，且与抛物线相交于两点，求．
五、证明题
21．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点，证明直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】根据抛物线方程求出，从而写出焦点坐标.
【详解】由题意得：，故，则焦点坐标为，即.
故选：B
2．A
【分析】根据焦半径公式计算出点坐标,再根据定义计算离心率即可
【详解】由题知,抛物线焦准距
设,由,得,所以
不妨设点在第一象限,则
双曲线焦半距,焦点是
根据双曲线的定义,所以
所以离心率
故选:A
3．B
【分析】根据抛物线的定义和方程求解.
【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，
所以解得，所以此抛物线的方程为.
故选：B.
4．D
【分析】根据抛物线的方程得出焦点的坐标，根据题意可知斜率，设直线的方程为：，其中，设，，联立直线与抛物线的方程即可根据韦达定理得出，，根据已知得出，即可根据向量运算化简代入得出，解得，即可得出答案.
【详解】由抛物线：可得其焦点的坐标为，
由题意可知斜率，
设直线的方程为：，其中，
联立，消去得，，
设，，
则，，
，
，
而，，
则，
即，
，
，
，解得，
，
故选：D.
5．C
【分析】由抛物线方程得焦点坐标，由离心率公式计算．
【详解】抛物线的焦点为，即为双曲线的一个焦点坐标，
所以离心率为，
故选：C．
6．C
【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】
，所以在抛物线的内部，
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
7．B
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
8．D
【分析】建立直角坐标系，利用代入法，结合抛物线的方程进行求解即可.
【详解】如图，以拱顶为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，则该拋物线方程为，依题点在其上，所以，，拋物线方程为.设，则，，所以水面宽为，
故选：D.
9．ABC
【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN方程联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而判断选项D即可．
【详解】解：由题意得点在抛物线上，
所以，解得，所以C：，则，
对于A选项，设直线：，与联立得，
设，，所以，，
所以，
当直线的斜率为时，，，故A项正确；
对于B选项，由抛物线的定义， ，
所以，
当且仅当，时等号成立，故B项正确；
对于C选项，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，
取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，
则，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，
所以，
所以以为直径的圆与轴相切，
所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，
又因为为的中点，所以点的纵坐标为，
又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故C项正确；
对于D选项，过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，故D项错误．
故选:ABC．
10．AB
【分析】设出，直接法求出轨迹方程，注意去掉不合题意的点，从而判断轨迹为哪种曲线，判断ABC选项，D选项，结合，得到轨迹为去掉一个点的直线，故D错误.
【详解】设，
A选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；
B选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；
C选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；
D选项，，即，变形为，且，
故点的轨迹为除去点的直线，D错误；
故选：AB
11．BCD
【分析】根据抛物线的标准方程，求出准线方程判断A；求出点A的纵坐标计算判断B；设出点A，B的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式推理判断D作答.
【详解】抛物线的焦点，准线，设，有，，，曲线C的准线方程为，A不正确；
，而，则，即有，的面积，B正确；
由得：，显然，即有，，，当且仅当时取等号，C正确；
设点的横坐标为，有，则，
在中，，由余弦定理得：，由
即有，
当且仅当时取等号，因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：
1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点 P到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计；
2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线(或垂直于抛物线对称轴的直线)的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题；
3. 抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算.
12．CD
【分析】设，求出的长，由二次函数性质得最小值判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
所以，时，等号成立．所以的最小值是1，A错；
抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，
，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：CD．
13．3
【分析】根据题意画图，再由抛物线的定义，即可得到的最小值为，知当三点共线且垂直于准线时取最小即可计算出.
【详解】根据题意画图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，，由于为上的一动点，则当三点共线时即，
则，解得.
故答案为：3.
14．
【分析】作出图形，由抛物线的光学性质可知，过抛物线的焦点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可知，的最小值为，可求得的值，由此可得出抛物线的标准方程.
【详解】设所求抛物线的标准方程为
如下图所示，由抛物线的光学性质可知过抛物线的焦点，
若直线与轴重合，则直线与轴只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，由题意可得，可得.
故所求抛物线的标准方程为.
故答案为：.
15．8
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，
根据抛物线的定义可得，到抛物线焦点的距离.
故答案为：8.
16．/
【分析】由抛物线的定义可得，所以的最小值转化为求的最小值，由图可知的最小值为，从而可求得答案
【详解】抛物线y2＝2x的焦点，准线为，
由抛物线的定义可得，
所以,
因为，，
所以，
所以，
当且仅当三点共线且在线段上时，取得最小值，
所以的最小值为，
故答案为：
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据动点到定点的距离比到轴的距离大1，列出化简即可.
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，通过抛物线的焦点弦公式即可算出的值.
【详解】（1）动点到轴的距离为，到点的距离为，
因为动点到定点的距离比到轴的距离大1，
所以，两边平方可得，，
故动点的轨迹的方程为.
（2）根据题意，可知直线的斜率存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，设，，
由，消去可得，
∴，
记抛物线中，
，∴，解得，
∴直线的方程为或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由先表示出点坐标，代入抛物线的方程求，得出抛物线的标准方程；
（2）设过的直线为，与抛物线的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入为定值，求出实数的值.
【详解】（1）已知点在上，且，，则点在线段的中垂线上，即，把点代入抛物线的方程，则，，
解得，所以抛物线的标准方程为．
（2）设过的直线为，，
联立，得，
则，即，
且，
所以
因为为定值，
所以，，解得或（舍去）
当，时，
所以当为定值时，．
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意求点A的坐标，代入抛物线方程可求，即可得结果；
（2）先利用韦达定理证，再结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）设，根据抛物线和圆的对称性得，
由，解得，
故点在抛物线：上，
所以，解得，
故抛物线：；
（2）由抛物线：，得，
设直线：，，，
联立方程，消去得，
则，，
故，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤：
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
20．(1)焦点是，抛物线的方程为；
(2)5
【分析】（1）利用抛物线的准线方程，可求得，进而求得其焦点坐标及抛物线方程：
（2）联立直线与抛物线的方程，由韦达定理结合弦长公式即可求解.
【详解】（1）抛物线准线为，因此，所以抛物线的焦点是
故抛物线的方程为
（2）由题意可知直线的方程为，设
联立，整理得
由韦达定理可得，
所以
21．(1)
(2)证明见解析，直线恒过定点．
【分析】（1）由题知，设，则中点为，再根据对称性求解即可；
（2）设直线的方程为，、，进而与抛物线方程联立得，，再根据，结合整理得，代入即可得定点.
【详解】（1）解：由已知得，设，则中点为，
关于直线对称，
点R在直线l上，
，解得，即．
又由，得直线的斜率，
，解得，
∴．
（2）证明：设直线的方程为，、均不与M重合，
由得，
，．
由（1）得，
，，
又由得，即，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
直线的方程为，即，
∴直线恒过定点．