06指数和指数函数-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份06指数和指数函数-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，计算题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2021上·浙江绍兴·高一统考期末）设都是正整数，且，若，则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）下列式子的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
5．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中学校考期末）定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）函数的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
8．（2023上·浙江湖州·高一期末）函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）已知且，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校联考期末）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．为定值
D．
11．（2022上·浙江杭州·高一杭州四中校考期末）已知函数（，），则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于轴对称
B．函数的图像关于中心对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数有最大值，且最大值为
12．（2022上·浙江宁波·高一统考期末）若实数a，b满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2022上·浙江温州·高一统考期末）写出同时满足以下三个条件的一个函数＝ ．
①；
②；
③且．
14．（2022上·浙江台州·高一统考期末）若实数a满足，则 .
15．（2021上·浙江嘉兴·高一统考期末）计算： .
16．（2023上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，则函数的值域为 ．
17．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数的图象经过点，则 ．
18．（2022上·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知函数，则 .
19．（2022上·浙江杭州·高一学军中学校考期末）已知函数，则不等式的解集为 .
四、解答题
20．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知函数．对于任意的，都有．
(1)请写出一个满足已知条件的函数；
(2)判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若，求的值域．
21．（2023上·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）已知函数且.
(1)讨论函数的奇偶性;
(2)当时，判断在的单调性并加以证明；
(3)解关于的不等式.
22．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值，判断函数的单调性并用定义证明；
(2)若，解关于的不等式：．
五、计算题
23．（2020·浙江杭州·高一期末）求值：（1）；
（2）若，，求
六、问答题
24．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知函数为偶函数.
(1)求出a的值，并写出单调区间；
(2)若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.
七、证明题
25．（2022上·浙江杭州·高一杭州高级中学统考期末）已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.
(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值．
【详解】（1），则，
又分别为定义在上的奇函数和偶函数，
∴（2），
（1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得，
∴，，∴，
故选：D．
2．B
【解析】由指数运算公式直接计算并判断.
【详解】由都是正整数，且，，、
得，
故B选项错误，
故选：B.
3．C
【解析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.
【详解】根据分数指数幂的运算可知，
，，，，
故选：C
4．C
【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.
【详解】由指数函数的图象和性质可知：，
若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；
若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，
由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.
故选：C
5．D
【分析】先根据定义判断在上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为.进而根据函数的单调性，即可列出不等式，求解不等式即可得出答案.
【详解】，且.
则，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增.
又，所以为奇函数.
又时，有，
所以，时，有.
由可得，
.
因为，
所以由可得，，
整理可得，即，
显然，所以有，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：D.
6．D
【分析】先根据定义判断在上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为.进而根据函数的单调性，即可列出不等式，求解不等式即可得出答案.
【详解】，且.
则，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增.
又，所以为奇函数.
又时，有，
所以，时，有.
由可得，
.
因为，
所以由可得，，
整理可得，即，
显然，所以有，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：D.
7．A
【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再通过取特殊点确定正确选项.
【详解】有意义可得，所以且，
所以且且，所以的定义域为，
又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，B，D错误，
又，C错误，
选项A符合函数的解析式，
故选：A.
8．ABD
【分析】分别取，，能得到ABD选项中图像，由定义域解得的值，排除C选项.
【详解】当时，，函数定义域为，
，函数为奇函数，图像关于原点对称，
时，且单调递减，可得A选项中的图像；
当时，，函数定义域为R，，函数为偶函数，图像关于轴对称，
，有，则，得，所以，即，
时，且单调递减，当时，函数有最大值，可得B选项中的图像；
令，，函数为指数函数，可得D选项中的图像；
函数，当时，函数定义域为R，当时，函数定义域为，
C选项中的图像，函数定义域为，，得，此时的图像应为A选项中的图像，所以C选项中的图像不可能.
故选：ABD
9．AD
【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】依题意且，
，B选项错误.
当时，，且在上递增，A选项符合题意.
当时，，在CD选项中，C选项错误，则D选项正确.
故选：AD
10．ACD
【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析正负情况，化简求解.
【详解】
令为得即
解得，
对于A. ，故为偶函数
对于B. ，故B错
C. ，故C对
D.当时，，
当时，，
故D对
故选：ACD
11．AD
【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.
【详解】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误，
当时，，令，则，
当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误，
当时，当时，
由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，
当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确，
故选：AD
12．ABD
【分析】根据题目实数,满足,设,,画出函数图象,逐段分析比较大小即可.
【详解】解：因为实数,满足.
设,，显然在上都单调递增，
且，,作出函数的图像，如图
由图象可知
①当 时,,
所以,即,故B正确
②当 时,,
所以,即,故D正确
③当 时,,
所以,即,故A正确
④当 时,,
所以,即,故D正确
⑤当 时,,
所以,即,故C错误.
故选：ABD
13．（答案不唯一）
【分析】由题可知函数为奇函数，再结合幂函数的性质即得.
【详解】∵，
∴函数为奇函数，又，
∴由幂函数的性质可知，函数可为，函数为奇函数，
，
又当时，且，
，即，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题为开放性试题，结合奇函数的概念及幂函数的性质，可得函数可为，然后证明即得.
14．6
【分析】对等式两边同时平方即可得解.
【详解】由题，两边同时平方可得：，
所以
故答案为：6.
15．
【解析】根据指数幂的运算方法可得答案.
【详解】.
故答案为：.
16．
【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】设，则，此时，
当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为；
当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为．
故答案为：.
17．
【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求解.
【详解】因为函数的图象经过点，
所以，也即，所以，
故答案为：.
18．4
【分析】利用给定的分段函数，依次计算作答.
【详解】函数，则，所以.
故答案为：4
19．
【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.
【详解】因函数，则不等式化为：或，
解得：，解，无解，于是得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
20．(1)（答案不唯一）
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）只需找到符合题意的函数解析式即可；
（2）设任意的且，依题意可得，即可得解；
（3）设，则，求出，即可得到的解析式，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）不妨设，则，符合题意；
（2）在上单调递增，证明如下：
设任意的且，则，
所以，
即，所以在上单调递增；
（3）由（2）知，在上单调递增，
设，则，则，
设，则在上单调递增，
又，故，，满足，
∴
，
∵，∴的值域为．
21．(1)奇函数
(2)增函数，证明见解析
(3)当时，解集为，当时，解集为.
【分析】(1)根据奇函数的定义证明；
(2)根基单调性的定义证明；
(3)利用单调性和奇偶性解不等式.
【详解】（1）由可得，所以的定义域为，
又因为，
所以，
所以函数为奇函数.
（2）判断：在的单调递增，证明如下，
，
因为，所以，
且
所以所以，
所以在的单调递增.
（3）由(2)可知，当时，在的单调递增，
且函数为奇函数，所以在的单调递增，
又因为同号，所以由可得解得，
当时，以下先证明在的单调递减，
，
因为，所以，
且
所以所以，
所以在的单调递减.
且函数为奇函数，所以在的单调递减，
又因为同号，所以由可得解得，
综上，当时，解集为，当时，解集为.
22．(1)，在上单调递减，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数为奇函数可得，从而可求得，任取且，再利用作差法比较即可得出函数的单调性；
（2）由（1）可得在上单调递减，，则不等式即为不等式，分类讨论，从而可得解.
【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴，∴，
当时，，经检验此时为奇函数符合题意，
函数单调递减，证明如下：
任取且，
则，
因为，所以，
所以，即，
∴在上单调递减；
（2）∵在上单调递减，∴有且仅有，
∴，即，
∴，∴，
当，则；当，则，
综上，当时，；
当时，则.
23．（1）（2）
【解析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（2）将按照指数幂运算法则进行拆分，拆分成，，代入计算即可.
【详解】解：（1）；
（2）因为，，所以.
24．(1)；在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求，由对勾函数性质写出单调区间；
（2）化简不等式换元后转化为，，分别考虑二次不等式有解转化为或分离参数后转化为，利用，也可转化为，求函数的最大值即可.
【详解】（1）因为，所以，
由偶函数知，解得；
即，由对勾函数知，
当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意可得，即，
令，；
解一：，则在上有解，即.
若，即，此时，解得，∴；
若，即，此时，解得，此时无解；
综上，；
解二：由得，令，则.
，所以.
解三：由得，令，则，
，所以.
25．(1)，在上单调递增，证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】（1）因为为偶函数，且，所以，解得，又，所以,；
设，则，因为，所以，，所以，所以在上单调递增.
（2）因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以，解得.