14三角函数的应用-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版）

这是一份14三角函数的应用-浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021上·浙江金华·高一校联考期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江·高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下列说法中错误的是（ ）
A．经过10分钟，点P上升了82.5米
B．在第20分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同
C．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟
D．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍
3．（2021上·浙江丽水·高一统考期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，则（ ）
A．B．
C．2D．3
4．（2021上·浙江湖州·高一统考期末）如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t后距离地面的高度为H，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020上·浙江绍兴·高一统考期末）如图，正方形的边长为2，为边中点，射线绕着点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．在上为增函数
C．
D．图象的对称轴是
二、多选题
6．（2023上·浙江湖州·高一期末）科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（ ）
A．第天时情绪曲线处于最高点
B．第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交
C．第天到第天时，体力曲线处于上升期
D．体力曲线关于点对称
7．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为
8．（2022上·浙江衢州·高一统考期末）衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A．点P第一次达到最高点，需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
9．（2022上·浙江嘉兴·高一统考期末）血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年岁，从某天早晨点开始计算（即早晨点起，），他的血压（单位：）与经过的时间（单位：）满足关系式，则（ ）
A．血压的最小正周期为B．当天下午点小王的血压为
C．当天小王有高血压D．当天小王的收缩压与舒张压之差为
10．（2020上·浙江杭州·高一期末）如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系（），则有（ ）
A．B．A=3C．D．A=5
三、填空题
11．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，半径为1的圆与轴相切于原点，圆上有一定点，坐标是．假设圆以（单位长度）/秒的速度沿轴正方向匀速滚动，那么当圆滚动秒时，点的横坐标 ．（用表示）
12．（2023上·浙江·高一校联考期末）如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为 m．
四、解答题
13．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？
14．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域（阴影部分），以及可利用部分为区域，其中，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且.
(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；
(2)在可利用区域中，设置一块矩形作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.
15．（2022上·浙江湖州·高一统考期末）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地AOB（圆心角为）和COD（圆心角为）．现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边区域．已知圆的直径米，且点P在劣弧AB上（不含端点），点Q在OA上、点J在OC上、点M和N在OB上、点K在OD上．记，矩形OJRK和平行四边形MNPQ面积和为S．
(1)求S关于的函数关系式；
(2)求S的最大值及此时的值．
五、问答题
16．（2022上·浙江宁波·高一校联考期末）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
17．（2022上·浙江温州·高一统考期末）如图，自行车前后轮半径均为rcm（忽略轮胎厚度），固定心轴间距为3rcm，后轮气门芯P的起始位置在后轮的最上方，前轮气门芯Q的起始位置在前轮的最右方．当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动的过程中，前后轮转动的角速度均为，经过t（单位：s）后P，Q两点间距离为f（t）．
(1)求f（t）的解析式：
(2)求f（t）的最大值和最小值．
18．（2022上·浙江丽水·高一统考期末）如图，一个轴心为的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位:)(在水面下则为负数)，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间(单位:)之间的关系为，求
(1)筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
(2)盛水筒入水后至少经过多少时间出水？
19．（2022上·浙江宁波·高一统考期末）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出时t的取值范围．
20．（2021上·浙江湖州·高一统考期末）为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边(圆心分别为和)均落在平行四边形的边上，圆弧均与相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米.
（1）求两块花卉景观扇形的面积；
（2）记，求平行四边形绿地占地面积关于的函数解析式，并求面积的最小值.
21．（2021上·浙江宁波·高一校联考期末）如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；
（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
22．（2021上·浙江金华·高一统考期末）如图，设是一块麦田，射线夹角为60°，若将水管设在围成的区域内（不含边界）
（1）若到的距离之和为定值20，设，试将的长用含的式子表示，并求出水管想要浇灌到麦田的最小射程；
（2）若在以为圆心，10为半径的圆弧上运动，过P作的垂线分别交于两点，求的最小值．
23．（2020上·浙江金华·高一统考期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一城镇B.一年青人从小岛出发，先驾驶小船到海岸线上的某点处，再沿海岸线步行到城镇B.若，假设该年青人驾驶小船的平均速度为，步行速度为.
（1）试将该年青人从小岛到城镇的时间表示成角的函数；
（2）该年青人欲使从小岛到城镇的时间最小，请你告诉他角的值.
参考答案：
1．A
【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
2．C
【分析】由已知得出时间与高度的关系式：，利用该关系式代入求值即可.
【详解】解：由已知得点从最低处开始，转动时间与其距地面高度的关系可以用正弦型函数表示.
∵每30分钟转一圈，故周期；
∵摩天轮直径110米，故振幅，摩天轮中心距地面80米，则，
又可知代入可得：.
故：
A项：经过10分钟，，故点P上升了82.5米，正确；
B项：经过10分钟和40分钟，而40分钟比10分钟多一周期，∴都上升了82.5米，故高度相同，正确；
C项：当旋转5分钟时，，此时与底面距离52.5米，从而高度低于55米的时间大于10分钟，即不低于55米的时间小于20分钟，故错误；
D项：，显然正确．
故选：C
3．B
【解析】设大正方形的边长为，则由已知条件可得小正方形的边长为，设为，在中，由勾股定理得， ，可求得，所以
【详解】解：设大正方形的边长为，
因为，所以，得，
所以小正方形的边长为，
所以，
设为，则，
在中，由勾股定理得，
所以，
解得或（舍去），
所以
故选：B
4．B
【解析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，结合摩天轮最高点距离地面高度为120，可得时，，再利用排除法可得答案.
【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20，
所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，
又因为摩天轮最高点距离地面高度为120，
所以时，，
对于A，时，，不合题意；
对于B，时，，符合题意；
对于C，时，，不合题意；
对于D，时，，不合题意；
故选：B.
【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.
5．D
【解析】计算得到，正确；根据单调性得到正确，错误；根据对称性得到正确；得到答案.
【详解】当时，，即，正确；
根据图像知：时，单调递增，故正确，错误；
正方形的面积为，根据对称性得到，正确；
故选：
【点睛】本题考查了函数的应用，函数的单调性，对称性，意在考查学生对于函数性质的应用能力.
6．AC
【分析】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，根据周期求出对应的解析式，然后利用正弦函数的性质可判断ACD，对于B，设，利用零点存在定理可判断.
【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，
所以，，.
A项：第天时，，
故处于最高点，A正确；
B项：设，
因为，，
故利用零点存在定理可得存在，使得，
故此时智力曲线与情绪曲线相交，B错误；
C项：因为，所以，
因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，
故处于上升期，C正确；
D项：因为，所以，体力曲线不关于点对称，D错.
故选：AC.
7．ACD
【分析】设转动过程中，点P离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点P离地面距离的函数为，
由题意得：，
，则 ，
所以 ，
A. 转到后，点距离地面的高度为，故正确；
B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故错误；
C.因为 ，
，
所以 ，即第和第点距离地面的高度相同，故正确；
D. 令，则 ，则，
解得 ，所以，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故正确；
故选：ACD
8．ABD
【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.
【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；
点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；
令，解得：，，当时，（s），B选项正确；
，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；
故答案为：ABD
9．BCD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算出的值，可判断B选项；计算出的最大值和最小值，结合题干条件可判断C选项；计算出，可判断D选项.
【详解】对于A选项，血压的最小正周期为，A错；
对于B选项，下午点时，即，可得，B对；
对于C选项，因为，，所以，当天小王有高血压，C对；
对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为，D对.
故选：BCD.
10．BC
【解析】根据的性质结合正弦函数的性质判断．
【详解】由已知水轮上的点P到水面最大距离为，
因为的最大值为，
所以，
又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，
．
故选：BC
11．
【分析】将P点的运动分解为沿x轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动，易求匀速运动部分的横坐标；顺时针转动部分，先求出P的角速度，再求出横坐标即可.
【详解】将P点的运动分解为沿x轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动.
匀速运动部分：与圆的速度相等，，得；
顺时针转动部分：以圆心为参照系，P点的运动为半径不变的顺时针转动，
初始P与圆心的连线与x轴的夹角为，
当P转动的角度时，圆向前滚动了个圆周，即长度，
此时过了秒，故P在秒内转动的角度，
所以P每秒转动角度，横坐标为，
所以t秒后P转动角度，横坐标为，
综上，P运动的横坐标为.
故答案为：.
12．/
【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据条件求出解析式可得答案.
【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，
因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，
所以，解得，
因为每转一圈，所以，，
当时，，所以，所以可取，
所以，
所以当时，
故答案为：
13．(1)
(2)min
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min内转过的角度为，再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出时，可得，即可求得结果.
【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系，
根据题意可得在 min内转过的角度为，
设为点在时间内转过的角度，所以；
以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为，
因此点的纵坐标为，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为，
化简得
（2）当时，
解得，
又在一圈内，所以符合题意i的时间段为或，
即在摩天轮转动一圈内，有min点距离地面超过70m.
14．(1)（米）；
(2)（平方米）.
【分析】（1）在直角三角形中由已知条件可求出和，则可求得，从而可求出的长，进而可求得结果；
（2）连接，设，则结合已知条件表示出，然后表示出矩形的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
因为为锐角，所以，
因为，所以，
所以的长为，
所以隔离带的总长度为（米）；
（2）连接，设，
因为，所以，，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，
所以，当时取到最大值，
所以补充门诊面积最大值为（平方米）.
15．(1)；
(2)的最大值为，此时.
【分析】（1）根据正弦定理，结合锐角三角函数定义、平行四边形的面积公式、矩形的面积公式进行求解即可；
（2）运用辅助角公式进行求解即可.
【详解】（1）在平行四边形MNPQ中，因为MNPQ，
所以，
在中，由正弦定理可知：
，
设平行四边形MNPQ边MN上的高为，所以有，
于是平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OJRK中，，
，所以，
因此矩形OJRK的面积为，
于是
；
（2），
其中，当时，
有最大值，最大值为，
此时.
16．(1)，
(2)或时，L取得最大值为米．
【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+csθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．同时也可求得值．
【详解】（1）由题意可得，，，
由于 ，，
所以，，
，
即，
（2）设，则，
由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
17．(1)
(2)
【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，设经过了时间后，然后由题意表示出两点的坐标，再利用两点间的距离公式表示P，Q两点间距离为f（t）即可，
（2）利用三角函数的性质求解的最值
【详解】（1）因为自行车在前进的过程中，两个轮子之间的距离保持不变，所以只考虑两个轮子的旋转情况，如图，以为坐标原点，以直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设经过了时间后，
因为当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动时，前后轮上的点是顺时针转动，且前后轮旋转的角速度相等，
所以，，
，，
所以
，
所以
（2）由（1）可知，
因为当时，，
所以，
所以
18．(1)m
(2)5s
【分析】（1）通过最小正周期计算出，进而计算出，代入数值计算即可；（2）在第一问基础上解正弦不等式，计算出时间.
【详解】（1）筒车按逆时针方向旋转转1圈的时间为，则
周期，，
盛水筒刚浮出水面时，可得
，，，
，
；
所以，筒车转了时，盛水筒到水面的距离；
（2）盛水筒入水后，，所以,，令得25