09计数原理与概率统计-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新

这是一份09计数原理与概率统计-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新，共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·福建宁德·高三校考期末）泰山、华山、衡山、恒山、嵩山是中国的五大名山，并称为“五岳”，它们以象征中华民族的高大形象而名闻天下，段誉同学决定利用今年寒假时间，游览以下六座名山：泰山、华山、井冈山、黄山、云台山、五台山．若段誉同学首先游览云台山，且属于“五岳”的名山游览顺序不相邻，则段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．120种
2．（2022上·福建宁德·高三校考期末）第19届亚运会即将在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者.现安排某大学含甲、乙的6名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排2人，每人只能在一个场馆工作，则甲、乙两人被安排在不同的场馆的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·福建宁德·高三校考期末）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，某省派出了200名教师援疆.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，调查他们的援疆工作情况，若样本中女教师比男教师少8人，则该省此次援疆女教师人数为（ ）
A．16B．40C．80D．120
4．（2023上·福建龙岩·高三校联考期末）有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020上·福建厦门·高三统考期末）某艺术馆为了研究学生性别和喜欢国画之间的联系，随机抽取80名学生进行调查（其中有男生50名，女生30名），并绘制等高条形图，则这80名学生中喜欢国画的人数为（ ）
A．24B．32C．48D．58
6．（2022上·福建福州·高三统考期末）已知甲､乙､丙､丁､戊五位同学高一入学时年龄的平均数､中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A．这五位同学年龄的平均数变为19B．这五位同学年龄的中位数变为19
C．这五位同学年龄的方差仍为0.8D．这五位同学年龄的方差变为3.8
7．（2022上·福建福州·高三统考期末）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·福建三明·高三统考期末）北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（ ）
A．16种B．36种C．48种D．60种
9．（2021上·福建三明·高三统考期末）某校的辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛.要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ）
A．80B．81C．120D．125
二、多选题
10．（2022上·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．设随机变量，则
B．若样本数据的方差为3，则数据的方差为25
C．天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为
D．在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
11．（2022上·福建宁德·高三校考期末）某省某地产公司2021年商业地产交易折线图如图所示，
则以下判断正确的是（ ）
A．商铺各月成交量的第75百分位数为521B．写字楼月平均成交量不超过250套
C．2月份商业地产交易量最少D．商铺月成交量的方差小于写字楼月成交量的方差
12．（2023上·福建龙岩·高三校联考期末）某校为调查学生身高情况，按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，已知其中男生23人，平均数为170.6，方差为12.59；女生27人，平均数160.6，方差为38.62. 下列说法正确的是（ ）
A．这个样本的平均数为165.2B．这个样本的方差为51.4862
C．该校女生身高分布比男生集中D．该校男生的身高都比女生高
13．（2022上·福建福州·高三统考期末）某人有6把钥匙，其中n把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
14．（2021上·福建三明·高三统考期末）2020年11月23日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县等9个县退出贫困县序列，至此，贵州全省66个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着全国832个贫困县全部脱贫摘帽.某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对他们过去7年（2013年至2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如下：
表据上图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”、“乙”）情况的判断，正确的是（ ）
A．过去7年，“甲”的极差小于“乙”的极差
B．过去7年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值
C．过去7年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数
D．过去7年，“甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率
三、填空题
15．（2022上·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）在的展开式中，含项的系数是 .
16．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知，其中，则 ．
17．（2023上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为
四、问答题
18．（2022上·福建宁德·高三校考期末）疫情过后，某工厂复产，为了保质保量，厂部决定开展有奖生产竞赛，竞赛规则如下：2人一组，每组做①号产品和②号产品两种，同组的两人，每人只能做1种产品且两人做不同产品，若做出的产品是“优质品”，则可获得奖金，每件①号产品的“优质品”的奖金为50元，每件②号产品的“优质品”的奖金为40元．现有甲、乙两人同组，甲做①号产品每天可做3件，做②号产品每天可做4件，做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为；乙做①号产品每天可做4件，做②号产品每天可做3件，做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为．做产品时，每件产品是否为“优质品”相互独立，甲、乙两人做产品也相互独立．
(1)若甲做①号产品，记为甲每天所得奖金数，为乙每天所得奖金数，求的分布列；
(2)若要甲、乙两人每天所得奖金之和的数学期望最大，则甲应做①号产品还是②号产品？请说明理由．
19．（2022上·福建宁德·高三校考期末）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为此举办了一次共青团史知识竞赛，并规定成绩在内为成绩优秀.现对参赛的100名学生的竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.
(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为此次竞赛成绩与该学生是初中生还是高中生有关；
(2)为鼓励学生积极参加这次知识竞赛，学校后勤部给参与竞赛的学生制定了两种不同的奖励方案：
方案一：参加了竞赛的学生每人都可抽奖1次，且每次抽奖互不影响，每次中奖的概率均为，抽中奖励价值50元的食堂充值卡，未抽中无奖励；方案二：竞赛成绩优秀的抽奖两次，其余学生抽奖一次，抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个数字（），若产生的数字能被3整除，则可奖励价值40元的食堂充值卡，否则奖励20元的食堂充值卡（充值卡奖励可叠加）.若学校后勤部负责人希望让学生得到更多的奖励，则该负责人应该选择哪一种奖励方案，并说明理由.
参考公式：.，.
附表：
20．（2022上·福建福州·高三统考期末）为让人民享受到更优质的教育服务.我国逐年加大对教育的投入，下图是我国2001年至2019年间每年普通本科招生数y（单位：万人）的条形图.
为了预测2022年全国普通本科招生数，建立了y与时间变量t的三个回归模型.其中根据2001年至2019年的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，…，19）建立模型①：，相关指数；模型②：，相关系数，相关指数.根据2014年至2019年的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，…，6）建立模型③：，相关系数，相关指数.
(1)可以根据模型①得到2022年全国普通本科招生数的预测值为671.42万人，请你也分别利用模型②､③，求2022年全国普通本科招生数的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
21．（2022上·福建三明·高三统考期末）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
22．（2021上·福建三明·高三统考期末）某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相同的4个白球和4个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀，每次从箱子中随机摸出3个球，记下这3个球的颜色后放回箱子再次搅拌均匀.如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多，则该次游戏得3分，否则得1分.假设在每次游戏中，每个球被摸到的可能性都相等.解决以下问题：
（1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为，求的分布列及其数学期望；
（2）如果顾客当天在该商场的消费满一定金额可选择参与4次或5次游戏，当完成所选择次数后的游戏的平均得分不小于2时即可获得一份奖品.若某顾客当天的消费金额满足条件，他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率？说明理由.
五、应用题
23．（2023上·福建龙岩·高三校联考期末）甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，在第三场比赛中获胜的概率为，且每场比赛的胜负相互独立.
(1)已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2)比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m（千万元），则能盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n（千万元），则能盈利（千万元）.若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
商铺
472
217
397
596
272
287
203
325
237
336
586
570
写字楼
168
87
222
225
225
130
235
185
183
192
667
100
成绩
人数
20
40
30
10
优秀
非优秀
合计
初中生
20
高中生
45
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，采用插空法：先将除去泰山，华山和云台山的三座山进行全排，然后在这三座山的4个空格中选择两个空格，将泰山和华山插进去即可.
【详解】根据题意，分两步完成：
因为段誉同学首先游览云台山，所以第一步先将井冈山、黄山、五台山这三座山进行全排列，则有种排列方法，
第二步从这三座山的4个空格中选择两个空格，将泰山和华山插进去，则有种，
由分步计数原理可得：段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有种，
故选：.
2．A
【分析】利用分组分配问题结合古典概型求解.
【详解】6人分成3组并安排到三个场馆工作，共有种不同的安排方法，
其中甲、乙被安排到不同场馆有种不同的安排方法，
所以甲、乙两人被安排在不同的场馆的概率为，
故选:A.
3．C
【分析】先求出样本女教师人数，由分层抽样的定义列式求解即可.
【详解】设样本中女教师为x人，则，∴援疆女教师人数为.
故选：C
4．B
【分析】随机逐个面试共有种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．
【详解】解：随机逐个面试共有种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：
①男男男女女女，此时有种；
②男男女男女女，此时有种；
③男男女女男女，此时有种；
④男女男男女女，此时有种；
⑤男女男女男女，此时有种；
故共有种，所以概率为
故选：B．
5．D
【分析】根据等高条形图计算直接得出结果.
【详解】由等高条形图可知，
这80名学生中喜欢国画的人数为：
.
故选：D
6．D
【分析】利用平均数、中位数、方差的定义直接求解．
【详解】甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差位0.8，
三年后，
这五位同学年龄的平均数变为16+3＝19，故A正确；
这五位同学年龄的中位数变为16+3＝19，故B正确；
这五位同学的方差不变，仍为0.8，故C正确，D错误．
故选：D．
7．D
【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项公式，再求指定项作答.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
由解得：，则，
所以展开式中的常数项为.
故选：D
8．B
【分析】将4人分成3组，再分配到3个场馆，进而求得答案.
【详解】先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有种不同的方案.
故选：B.
9．A
【分析】由题意分两种情况：男生人女生人；男生人女生人，再利用组合数的运算即可求解.
【详解】由题意分两种情况：男生人女生人，即；
男生人女生人，即；
所以组队的方法数为.
故选：A
10．AD
【分析】选项A，由服从二项分布的随机变量的方差公式可得；选项B，由两组数据的方差关系可得；选项C，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；选项D，由决定系数表达式可知.
【详解】选项A，随机变量，则，故A正确；
选项B，由题意，设原数据组的平均数为，
方差为，
则新数据组的的平均数为
，
则方差为
，故B错误；
选项C，由题意，甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为，
由相互独立事件同时发生的概率公式得，故C错误；
选项D，由决定系数表达式，
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，
且越接近于1，表示回归的效果越好，故选D正确.
故选：AD.
11．ABC
【分析】将商铺各月成交量从小到大排序，再按照百分位数的定义进行求解，A错误；B选项，计算出写字楼成交量的平均值，与250比较大小；C选项，将商铺与写字楼各月成交量相加，比较后得到结论；D选项，从折线走势图波动情况得到结论.
【详解】商铺各月成交量按照从小到大排列为203，217，237，272，287，325，336，397，472，570，586，596，，故从小到大，选择第9和第10个数的平均数作为第75百分位数，即，故A正确；
，
，故写字楼月平均成交量不超过250套，B正确；
经计算2月份商业地产交易量为，在十二个月中成交量最小，C正确；
由于商铺各月成交量波动情况大于写字楼各月成交量波动情况，
且从折线图可看出写字楼大多数据均在平均数附近，只有11月的数据较为特殊，
故商铺月成交量的方差大于写字楼月成交量的方差，D错误.
故选：ABC
12．AB
【分析】先求解样本的平均数和方差，结合选项可得答案.
【详解】先求样本的平均数：
再求样本的方差：
.
所以A,B均正确；
因为，所以该校男生身高分布比女生集中，所以C不正确；
样本数据无法得出男生的身高都比女生高，所以D不正确.
故选：AB.
13．AC
【分析】根据不同的取值，分别计算对应概率求解.
【详解】当时，，选项A正确；
当时，，选项B错误；
当时，，选项C正确；
当时，，选项D错误.
故选：AC
14．ACD
【分析】利用统计知识的相关性质即可求解.
【详解】A，极差是一组数据中最大的数减去最小的数，
甲的极差为：，乙的极差为：，故A正确；
B，甲的平均数为，
乙的平均数，故B错误；
C，将数据从小到大进行排列，甲的中位数为：；
乙的中位数为：，故C正确；
D，过去7年，“甲”的年平均增长率为：；
乙的年平均增长率为：；
因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
15．164
【分析】根据二项式定理结合组合数的计算性质，即可求解.
【详解】因为的二项展开式为，
可知的展开式中，含项的系数是，
由的展开式中，
可得项的系数
，
所以含项的系数是164.
故答案为：164.
16．
【分析】首先根据的二项式展开式第项为，从而得到，再解方程即可.
【详解】的二项式展开式第项为，
令，则，
所以，解得.
故答案为：
17．
【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
18．(1)答案见解析
(2)甲应做②产品,理由见解析
【分析】(1)根据二项分布计算概率列出分布列；
(2)根据二项分布的期望公式求解.
【详解】（1）可能的取值为，
所以的分布列如下：
可能的取值为，
，
所以的分布列如下：
（2）由题可知甲乙二人每天做出的优质品数服从二项分布，
甲做①产品，乙做②产品每天获得的奖金期望：，
甲做②产品，乙做①产品每天获得的奖金期望：，
所以甲应做②产品.
19．(1)列联表见解析，有；
(2)方案二，理由见解析.
【分析】（1）根据分布表完成列取表，利用题中公式运算求解判断即可；
（2）计算两种方案的数学期望，通过比较进行判断选择即可.
【详解】（1）优秀的人数为，所以列取表如下：
因为，
所以有95%的把握认为此次竞赛成绩与该学生是初中生还是高中生有关；
（2）方案一：一个学生获得食堂充值卡的金额的数学期望为，
方案二：能被3整除的概率为，
设一个优秀学生获得充值卡的金额数为，则，
，
，
，
因此，
不优秀学生获得充值卡的金额数为，
所以一个学生获得充值卡的金额数的数学期望为：，
显然，
所以按照方案二满足要求.
20．(1)根据模型②中预测值为511万人；根据模型③中的预测值为万人.
(2)模型③得到的预测值更可靠，理由见解析.
【分析】（1）将，分别代入模型中的函数，即可求解；
（2）根据已知条件，结合2001年到2019年间全国普通本招生逐年上升，从2001年到2010年间递增幅度较大，从2010年到2019年间递增幅度较小，即可求解.
【详解】（1）解：根据模型②：，
当时，可得，
所以利用这个模型，2022年全国普通本科招生数的预测值为511万人；
根据模型③：，
当时，可得，
所以利用这个模型，2022年全国普通本科招生数的预测值为万人.
（2）解：模型③得到的预测值更可靠.
因为从总体数据看，从2001年到2019年全国普通本招生数逐年上升，
从2001年到2010年间递增幅度相对较大些，从2010年到2019年间递增幅度相对较小些，
所以利用模型③的预测值根可靠.
21．(1)819名；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据题意，先通过正态分布求出1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的概率，进而求出估计的人数；
（2）根据题意，先求出两种方案摸奖所得奖金的期望，进而比较两个方案奖金期望的大小，然后选择较大的期望即可.
【详解】（1）由题知，，，所以
，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.
（2）甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一.
22．（1）分布列见解析，；（2）该顾客应选择完成4次游戏，会有更大的获奖概率，理由见解析.
【分析】（1）白球个数的取值为0，1，2，3，分别求得其概率后可得分布列，由期望公式计算出期望；
（2）首先求得一次摸球游戏得3分的概率为，设n次游戏中，得3分的次数为X，则.顾客获得奖品其总分应不小于，由此求得的可能值，再求出获得奖品的概率，比较次数为4或5时的概率可得结论．
【详解】（1）依题意，的取值为0，1，2，3.
因为，.
，.
所以的分布列为
.
（2）依题意，在一次游戏中，得3分的概率为.
设n次游戏中，得3分的次数为X，则.
所以.
若该顾客选择完成4次游戏，由，得，
其获奖的概率为；
若该顾客选择完成5次游戏，由，得，
其获奖的概率为.
因为，所以该顾客应选择完成4次游戏，会有更大的获奖概率.
【点睛】关键点点睛：本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查二项分布，概率的应用．解题关键是正确理解顾客获得奖品的条件，根据这个条件确定解题方法．求出一次游戏中得3分的概率，然后确定次游戏中得分总数的估计值，确定得3分的次数为多少时能获得奖品，再计算出概率．最后比较即可得．
23．(1)
(2)千万元.
【分析】(1)算出甲获胜的概率，再算出甲获胜且比赛进行了三场的概率进而可得解；
(2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为，即需进行三场比赛的概率，列出分布列，计算期望，即可求解.
【详解】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，
所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，
设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为，
则，
又，所以甲获胜的概率为，
所以已知甲队获得冠军，决赛需进行三场比赛的概率
（2）由题可得，所以
比赛结束需进行的场次即为，则，
设决赛总盈利为，则，
，
，
所以决赛总盈利为的分步列如下，
所以，
所以，
当，即时，二次函数有最大值为，
所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据，
则其在前两场的投资额应为千万元.
0
50
100
150
0
40
80
120
优秀
非优秀
合计
初中生
20
15
35
高中生
20
45
65
合计
40
60
100
0
1
2
3
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