06等式与不等式-浙江省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习习（2019新版·人教A版）

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一、单选题
1．（2023上·浙江湖州·高三期末）已知集合，则（ ）
A．B．或
C．D．
2．（2023上·浙江宁波·高三期末）如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半径为R，圆柱体的高为h，若要保持圆柱体的容积为定值立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最省（温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·浙江湖州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域内整点个数是（ ）
A．16B．14C．12D．10
5．（2022上·浙江湖州·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．－2B．－4C．3D．4
7．（2022上·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2022上·浙江·高三校联考期末）若实数x，y满足条件，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·浙江金华·高三浙江省浦江中学校联考期末）实数x，y满足条件则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）
A．25B．C．D．9
12．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．-6B．-3C．D．-9
14．（2022上·浙江温州·高三温州中学校联考期末）已知“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
15．（2023上·浙江宁波·高三期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023上·浙江嘉兴·高三统考期末）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022上·浙江宁波·高三校联考期末）若直线与椭圆交于两点，分别是椭圆的左、右焦点，是动点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
18．（2023上·浙江嘉兴·高三统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是上的一个动点，直线分别交于两点.设，则当取最小值时，的离心率为 .
19．（2023上·浙江绍兴·高三统考期末）设，若函数恒成立，则实数的取值范围是 .
20．（2023上·浙江·高三期末）已知椭圆，过椭圆左焦点F任作一条弦（不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的最小值为 ．
21．（2023上·浙江绍兴·高三期末）已知函数，若，实数m满足，则实数m的取值范围是 ．
22．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知矩形中，，点分别在边上（包含端点），若，则与夹角的余弦值的最大值是 .
23．（2022上·浙江温州·高三温州中学校联考期末）若实数满足约束条件，则的取值范围为 .
四、问答题
24．（2023上·浙江·高三校联考期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积．
25．（2022上·浙江杭州·高三统考期末）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
五、双空题（新）
26．（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）若实数满足约束条件，则的最小值是 ，最大值是 .
27．（2022上·浙江温州·高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有 人，每个人分得 两银子”.
参考答案：
1．A
【分析】化简集合，根据交集的定义求.
【详解】不等式的解集为，
不等式的解集为，
所以，
所以，
故选：A.
2．C
【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用为定值求出与的关系，再利用基本不等式求解即可.
【详解】依题意，
，所以
，
当时取等，所以，故.
故选：C.
3．D
【分析】根据对变形，可得，利用基本不等式、指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得答案.
【详解】因为，，
所以，
因为，
，
所以.
故选：D
4．C
【分析】作出约束条件的可行域，再直接数点即可得答案.
【详解】解：根据题意，作出不等式组约束的平面区域，如图，
所以可行域内整数点的个数为个.
故选：C
5．D
【分析】由题知，再结合集合交集运算求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，
由于
所以
故选：D
6．C
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，
当直线过时，
直线在轴上的截距最小，
有最大值为.
故选：C.
7．C
【分析】分别求出两圆得圆心与半径，再根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，从而可求得，再根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：圆化为，
则圆心为，半径，
圆化为，
则圆心为，半径，
因为两圆（）和（）恰有三条公切线，
所以两圆外切，
则圆心距，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
8．D
【分析】画出不等式组表示的平面区域，由表示原点到平面区域中点的距离，结合图象得出最值.
【详解】该不等式组表示的平面区域如下图所示，表示原点到平面区域中点的距离，因为，所以的最小值就是原点到直线的距离，即，故的最小值为.
故选：D
9．C
【分析】作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项．
【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，
由，解得，目标函数化为，当目标函数过点A时，z取得最小值，
所以的取值范围是，
故选：C．
10．B
【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，可得且，解得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
11．B
【分析】由三视图可知几何体是底面是直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式用基本不等式求体积的最大值即可.
【详解】由三视图将几何体还原为底面是直角梯形的四棱锥，如下图，设直角梯形的高为，则
，由基本不等式，当且仅当 ，即时等号成立.所以几何体的体积为.所以几何体的体积的最大值为.
故选：B.
12．D
【分析】先化简集合，再去求即可解决.
【详解】由，可得，即，
则
由，可得或，
则或
则，
故
故选：D
13．B
【分析】作出给定不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，，
目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，
作直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最大，
所以.
故选：B
14．B
【分析】根据线性规划的几何意义，分别作出和表示的平面区域，即可判断出答案.
【详解】设点满足，则点所在的平面区域为如图所示的正方形区域（包括边界） ，
设满足，则点所在的平面区域为如图所示的圆面区域，
由此可知成立，不一定成立；
成立时，一定有成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
15．AD
【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.
【详解】根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，
，故A正确；
由，取，可得，故B错误；
由可得，当且仅当即取等号，C错误；
由基本不等式可知，当且仅当取等号，
但，等号取不到，故D正确，
故选：AD.
16．BCD
【分析】运用不等式的性质，结合对数函数的单调性、作差比较法逐一判断即可.
【详解】A：由，因此本选项不正确；
B：由，因此本选项正确；
C：因为，所以，因此本选项正确；
D：因为，所以
，因此本选项正确，
故选：BCD
17．ABC
【分析】由余弦定理结合椭圆定义可得，又利用基本不等式可得，即可判断A；联立直线与椭圆的方程，消去得，解得，结合及，即可判断B；由题意，则，则，即可判断C；当与重合时，，，由，即可判断D．
【详解】椭圆，，，，，
，
∵，则，当且仅当时等号成立，
∴，故A正确；
联立方程，消去得，设,解得，
则，
∵，∴，，则，故B正确；
由题意，则，则，故C正确；
因为是动点，则当与重合时，，，由，可知D错误，
故选：ABC.
18．/
【分析】设，则，设，联立与的方程根据韦达定理结合条件可得，进而得出，然后根据基本不等式得出取最小值时的值，即可根据椭圆离心率的计算得出答案.
【详解】设，则
所以，
故可设，
则点坐标满足，
消去整理得，
故，
设，
同理可得，
得，
所以，
又，
故，
而，
故，即，
当且仅当，即时取等号，
此时，离心率为.
故答案为：.
19．
【分析】令结合在的单调性得，进一步结合基本不等式得，进而可得的取值范围.
【详解】由，函数恒成立得：.
令（显然，否则不等式自然成立），于是得到：
两式相乘：.
令，在恒成立，
故在单调递增，
则，从而，
由，则，则，
，当且仅当，即时取等，
则，解得：.
故答案为：.
20．
【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程由韦达定理代入求出，
再求出，即可求出，再由基本不等式即可求出的最小值.
【详解】设直线，
联立，
所以，，
由韦达定理可求得，
，
因为在椭圆上，所以，即，
由椭圆：可得，，
所以，
所以，
则，等号显然可以取得，故最小值为．
故答案为：.
21．
【分析】利用换元法结合基本不等式，求出函数的最大最小值，再由确定实数m的取值范围.
【详解】设，则．
当时，；
当时，，
时，，当且仅当即等号成立，
所以，
时，，当且仅当即等号成立，
所以；
，
综上，，
由，所以，即．解得.
故答案为：．
【点睛】关键点睛：利用换元法结合基本不等式，求出函数的最大最小值是本题的关键.
22．/0.8
【分析】建立坐标系，根据题意设出可设，,利用向量的数量积和夹角余弦值的坐标运算公式，结合二次函数性质，基本不等式，利用分类讨论思想求得与夹角余弦值的最大值.
【详解】如图建立直角坐标系，则可设，,
，
，
当时，，
当时，由，
故,
∴,∴,
当且仅当时取等号，
∴最大值为，
∴的最小值为,
此时取得最大值为，
即与夹角的余弦值的最大值为.
故答案为：
23．
【分析】画出不等式组表示的平面区域，再去计算目标函数的取值范围即可.
【详解】不等式组表示的平面区域如下图：
由，解得，即.
由，解得，即.
当直线过时，取最大值
当直线过时，取最小值
故的取值范围为
故答案为：
24．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出.
（2）根据正弦定理将转化为关于的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出，即可求出△ABC的面积
【详解】（1）由题意
在△ABC中，，，
由正弦定理得，
∴，整理得到，
而为三角形内角，故，故，而，
故即.
（2）由题意及（1）得
在△ABC中，，，故外接圆直径，
故
，
，
其中，且，
因为，故，而，
故的最大值为1，此时，
故，，
故，
且
故，
此时.
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据，结合可解；
（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.
【详解】（1）∵，∴.即，
因为任意实数x，恒成立，则
且，∴，，
所以.
（2）因为，
设，要使在上单调，只需要
或或或，
解得或，所以实数k的取值范围.
26． -2； 6
【分析】作出约束条件对应的可行域，根据目标函数的几何意义找到取最大值和最小值的位置，代入点的坐标即可.
【详解】作出不等式组的可行域如图所示：
目标函数表示函数在y轴上的截距，由图知在B点取最小值，A点取最大值；
则B点满足，解得，
即最小值；
A点满足，解得，
即最大值；
故答案为：-2；6
27． 36 24
【分析】设共有人，则每人分得两银子，由条件可得，解出即可.
【详解】设共有人，则每人分得两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以，即，解得或（舍去）
所以一共有36人，每人分得24两银子
故答案为：36；24