江西省南昌市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

这是一份江西省南昌市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若分式 1x+1 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x−1D．x≠−1
2．下列等式中，运算正确的是（ ）．
A．a2⋅a3=a6B．a3÷a−1=a2C．(2a2)3=2a6D．(a2b)2=a4b2
3．如图， △ABC 中， AB=AC ， AD⊥BC ，垂足为D， DE//AB ，交 AC 于点E，若 DE=3 ，则 AB 的长为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
4．将一个四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）．
A．180°B．180°或360°
C．360°或540°D．180°或360°或540°
5．若分式 x2x−1□xx−1 运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ）
A．+B．-C．-或÷D．+或×
6．4张长为a、宽为 b(a>b) 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 (a+b) 的正方形，图中空白部分的面积为 S1 ，阴影部分的面积为 S2 ．若 S1=2S2 ，则a、b满足（ ）
A．2a=5bB．2a=3bC．a=3bD．a=2b
二、填空题
7．计算： a(a−b)+ab= ．
8．等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的底角度数是 .
9．如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D，∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是 ．
10．化简： (a−12)2= ．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为正方形，点A的坐标 (−2，1) ， OB=1 ，则点C的坐标为 ．
12．若分式 6x+1 的值为正整数，则整数x的值为 ．
三、解答题
13．计算：
（1）(x−1)(x2+x+1) ；
（2）(x+3)(x−2)−x(x−1) ．
14．解分式方程： 1x−2−x+14−2x=1 ．
15．先化简， (1−1x+1)÷xx2−1 ，再从 −1，0，1 ，2中选择一个合适的数代入求值．
16．已知 a+b=5 ， ab=3 ，求下列各代数式的值：
（1）a2+b2 ；
（2）1a+1b ．
17．从三个整式；①a2−2ab+b2 ，②3a−3b ，③a2−b2 中，任意选择两个分别作为一个分式的分子和分母．
（1）一共能得到 个不同的分式；
（2）这些分式化简后结果为整式的分式有哪些？并写出化简结果．
18．“垃圾分一分，环境美十分”，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个A型垃圾桶，B型垃圾桶各需多少元？
（2）由于实际需要，学校决定再次购买与第一次同样数量的A型和B型两种分类垃圾桶，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了10%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，第二次购买A型和B型两种分类垃圾桶一共花了多少钱？
19．观察下列关于自然数的等式：
第1个等式： 42−9×12=7 ；
第2个等式： 72−9×22=13 ；
第3个等式： 102−9×32=19 ；
第4个等式： 132−9×42=25 ；
……
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证你写的等式；
（3）在这n个等式中，等式右边结果能否是2021？请说明理由．
20．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如： 5x+1+5xx+1=5 ，我们称两个分式 5x+1 与 5xx+1 互为“5和分式”．解答下列问题：
（1）分式 4x+1 与分式 互为“4和分式”；
（2）分式 2xx+y 与分式 2yx+y 互为“ 和分式”；
（3）已知 xy=1 ，两个分式 1x+1 与 1y+1 是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；
（4）若分式 3xx+y2 与 3yx2+y 互为“3和分式”（其中x，y为正数），求 xy 的值．
21．有三个面积都等于1的三角形，它们的底及对应的高分别记为： a1 ， a2 ， a3 及 ℎ1 ， ℎ2 ， ℎ3 ．
（1）a1ℎ1= ， a2ℎ2= ， a3ℎ3= ．
如果 a10 ）．求 ℎ1+ℎ2+ℎ3 的值（用含n的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 1x+1 有意义，
∴x+1≠0 ，
∴x≠−1 ．
故答案为：D，
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. a2⋅a3=a5 ，不符合题意；
B. a3÷a−1=a4 ，不符合题意；
C. (2a2)3=8a6 ，不符合题意；
D. (a2b)2=a4b2 ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，∠B＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴AE＝DE＝3，
∵∠B＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴∠C＝∠CDE，
∴CE＝DE＝3，
∴AB＝AC＝6，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质、平行线的性质解答即可。
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形，
∴剩下的图形内角和为：180°或360°或540°，
故答案为：D．
【分析】根据四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形，解题即可。
5．【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：当□为“－”时， x2x−1−xx−1=x(x−1)x−1=x ；
当□为“+”时， x2x−1+xx−1=x2+1x−1 ；
当□为“×”时， x2x−1×xx−1=x3(x−1)2 ；
当□为“÷”时， x2x−1÷xx−1=x ；
所以结果为x的有—或÷.
故答案为：C.
【分析】依次计算+、－、×、÷，再进行判断.
6．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： S1=12b(a+b)×2+12ab×2+(a−b)2=a2+2b2 ，
S2=(a+b)2−S1=(a+b)2−(a2+2b2)=2ab−b2 ，
∵S1=2S2 ，
∴a2+2b2=2(2ab−b2) ，
整理，得 (a−2b)2=0 ，
∴a−2b=0 ，
∴a=2b ．
故答案为：D．
【分析】先求出S1、S2的值，利用S1=2S2,可求出a、b的关系.
7．【答案】a2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式 =a(a−b)+ab =a2−ab+ab =a2
故答案为： a2 ．
【分析】先利用单项式乘多项式的计算法则展开，再合并同类项即可。
8．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若80°是顶角的外角时，该三角形的顶角为 180°−80°=100°
底角= 180°−100°2=40°
②若80°是底角的外角时，该三角形的底角为 180°−80°=100°
100°+100°=200°>180° 不符合三角形内角和定理，此情况不存在．
故答案为40°.
【分析】先判断出与80度角相邻的内角是底角还是顶角，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可。
9．【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AED＝∠CEF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACF＝180°﹣∠F﹣∠CEF＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故答案为：80°．
【分析】根据三角形的内角和可得∠ADE＝90°，再根据对顶角相等可得∠AED＝∠CEF＝90°﹣30°＝60°，再利用三角形的内角和定理即可求解。
10．【答案】a2−a+14
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： (a−12)2=a2−a+14
故答案为： a2−a+14 .
【分析】利用完全平方公式展开即可。
11．【答案】(2，3)
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点A、C作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CB，∠ABC=90°
∴∠ABE+∠CBF=90°
∵AE⊥y轴，CF⊥y轴
∴∠AEO=∠BFC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°
∴∠EAB=∠FBC
∴△AEB≌△BFC
∴AE=BF，EB=CF
∵A（-2，1）
∴AE=BF=1，OE=2
∵OB=1
∴CF=BE=3，OF=2
∴C（2，3）
故答案为：（2，3）.
【分析】分别过点A、C作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，由四边形ABCD是正方形，得出AB=CB，∠ABC=90°，由全等三角形的性质得出△AEB≌△BFC，AE=BF，EB=CF，由点A的坐标，得出AE=BF=1，OE=2，由OB=1，得出CF=BE=3，OF=2，由此得出点C的坐标。
12．【答案】0，1，2，5
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：当x+1＞0，即x＞-1时，分式 6x+1 的值为正数，
要使分式 6x+1 的值为正整数，只有x+1=1或2或 3或6，
解得x=0或1或2或5．
故答案为：0或1或2或5．
【分析】当x+1＞0，即x＞-1时，分式 6x+1 的值为正数，要使分式 6x+1 的值为正整数，只有x+1=1或2或 3或6，解之即可得出x的值。
13．【答案】（1）解：原式 =x3+x2+x−x2−x−1
=x3−1 ．
（2）解：原式 =x2−2x+3x−6−x2+x
=2x−6 ．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算法则求解即可；
（2）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再合并同类项即可。
14．【答案】解：方程两边同乘以 2(x−2) ，得 ：
2+(x+1)=2(x−2)
解得 x=7
检验：当 x=7 时， 2(x−2)≠0 ．所以，原分式方程的解为 x=7 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
15．【答案】解：原式 =x+1−1x+1×x2−1x
=xx+1×(x+1)(x−1)x
=x−1 ；
∵x 取 1 ，0和 −1 时分式无意义，
∴x 取2，当 x=2 时，原式 =2−1=1 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分数的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：∵a+b=5 ，
∴a2+2ab+b2=25 ，
∵ab=3 ，
∴a2+b2=19 ．
（2）解： 1a+1b=a+bab=53
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】（1）根据题意可知a+b=5 ， ab=3 ，代入求值即可；
（2）根据题意可知a+b=5 ， ab=3 ，代入求值即可。
17．【答案】（1）6
（2）解：当取①② 时
∴结果为 a2−2ab+b23a−3b=(a−b)23(a−b)=a−b3 或 3a−3ba2−2ab+b2=3(a−b)(a−b)2=3a−b
当取①③时
∴结果为 a2−2ab+b2a2−b2=(a−b)2(a+b)(a−b)=a−ba+b 或 a2−b2a2−2ab+b2=(a+b)(a−b)(a−b)2=a+ba−b
当取②③时
∴结果为 3a−3ba2−b2=3(a−b)(a+b)(a−b)=3a+b 或 a2−b23a−3b=(a+b)(a−b)3(a−b)=a+b3
∴化简结果为整式的分为为： a2−2ab+b23a−3b 和 a2−b23a−3b
∴化简的结果为： a2−2ab+b23a−3b=(a−b)23(a−b)=a−b3 ， a2−b23a−3b=(a+b)(a−b)3(a−b)=a+b3
【知识点】分式的定义；分式的约分
【解析】【解答】解：（1） a2−2ab+b2=(a−b)2 ， 3a−3b=3(a−b) ， a2−b2=(a+b)(a−b)
∵要从①a2−2ab+b2 ，②3a−3b ，③a2−b2 任选两个分别作为分子和分母
∴一共有①② ，①③ ，②③三种取法
又∵一种取法里面的两个整式可以作分子也可以作分母
∴一种取法里面有两种分式
∴一共有6个分式；
【分析】（1）将三个整式分解因式，再列举出所有的分式即可得出答案；
（2）根据（1）的计算结果即可得出答案。
18．【答案】（1）解：设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需 (x+30) 元
由题意得： 2500x=2000x+30×2
解得： x=50
经检验 x=50 是原方程的解， x+30=80 ．
∴购买一个A型垃圾桶需50元，则购买一个B型垃圾桶需80元
（2）解： 2500×(1+10%)+2000×0.9=4550 （元）
∴第二次购买A型和B型两种分类垃圾桶一共花了4550元
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需 (x+30) 元 由题意可列出方程，解之并检验即可；
（2）根据题意列出算式并计算即可。
19．【答案】（1）解： 162−9×52=31
（2）解：猜想： (3n+1)2−9n2=6n+1
证明：左边 =9n2+6n+1−9n2=6n+1= 右边
所以猜想正确．
（3）解：不能．当 6n+1=2021 时，
n=10103 ．
因为n为正整数，所以不能．
【知识点】代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据得出的规律即可得出第5个等式；
（2）猜想： (3n+1)2−9n2=6n+1，使左边和右边相等即可得出猜想正确；
（3）不能．当 6n+1=2021 时，n=10103 ，因为n为正整数，所以不能．
20．【答案】（1）4xx+1
（2）2
（3）解：∵xy=1 ，
∴y=1x
∴1y+1=11x+1=x1+x
∴1x+1+1y+1=1x+1+xx+1=x+1x+1=1
∴1x+1 与 1y+1 互为“1和分式”
∴n=1
（4）解：∵3xx+y2 与 3yx2+y 互为“3和分式”
3xx+y2+3yx2+y=3
3x(x+y2)+3y(x2+y)=3(x+y2)(x2+y)
3x2y2=3xy
xy=1
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）设这个分式为W，
根据题意可知 W+4x+1=4
W=4−4x+1=4x+4−4x+1=4xx+1
（2） 2xx+y+2yx+y=2x+2yx+y=2
∴2xx+y 与 2yx+y 互为“2和分式”
【分析】（1）根据题意两个分式的和为5，建立等式计算即可；
（2）根据题意得出xy=1，可用1x表示出y，代入求证计算结果为2即可；
（3）列出等式，再根据分式的运算法则计算并探讨即可；
（4）由3xx+y2 与 3yx2+y 互为“3和分式”，得出3xx+y2+3yx2+y=3化简得出xy的值。
21．【答案】（1）2；2；2；ℎ3；ℎ2；ℎ1
（2）解：∵a1ℎ1=a2ℎ2=a3ℎ3=2 ，
a1=m ， a2=m+1 ， a3=m+2 ，
∴ℎ1=2m ， ℎ2=2m+1 ， ℎ3=2m+2 ，
∴ℎ1−ℎ2=2m−2m+1=2m(m+1) ，
ℎ2−ℎ3=2m+1−2m+2=2(m+1)(m+2) ，
∵m>0 ，
∴m(m+1)2(m+1)(m+2) ，
故答案为： ℎ1−ℎ2>ℎ2−ℎ3 ．
（3）解：∵a1ℎ1=a2ℎ2=a3ℎ3=2 ，
∵a1=n(n+1) ， a2=(n+1)(n+2) ， a3=(n+2)(n+3) ，
∴ℎ1=2n(n+1) ， ℎ2=2(n+1)(n+2) ， ℎ3=2(n+2)(n+3) ，
∴ℎ1+ℎ2+ℎ3=2n(n+1)+2(n+1)(n+2)+2(n+2)(n+3) ，
=2×(1n−1n+1)+2×(1n+1−1n+2)+2×(1n+2−1n+3)
=2(1n−1n+1+1n+1−1n+2+1n+2−1n+3)
=2×n+3−nn(n+3)
=6n(n+3) ，
故答案为： ℎ1+ℎ2+ℎ3=6n(n+3) ．
【知识点】分式的加减法；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，
12a1ℎ1=12a2ℎ2=12a3ℎ3=1 ，
∴a1ℎ1=a2ℎ2=a3ℎ3=2 ，
若 a1ℎ3 ，
即 ℎ3