2024届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟考试文科数学

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1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分；考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）
1．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2B．1C．D．
2．设全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：则下列正确的是（ ）
A．B．
C．若，则或D．若，则或
4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
5．函数在点处的切线如图所示，则（ ）
A．0B．C．D．
6．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
8．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具．某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从点出发沿曲线段曲线段曲线段，最后到达点．某观察者站在点处观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，设观察者从点开始随车子运动变化的视角为，即，练车时间为，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．在关于的一元二次方程中，若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则上述方程有实根的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义域为的函数在上单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数有两个零点，则的最小整数值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．数列中，，，若，则__________．
14．设函数的最大值为，最小值为，则__________．
15．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．
16．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述三个结论：
①在有且仅有3个极大值点；②在有且仅有2个极小值点；
③的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是__________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；
（2）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程．（系数精确到0.01）
附：相关系数
回归直线中：，．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
的内角、、所对的边分别为、、，，．
（1）求角的大小；
（2）为的重心，的延长线交于点，且，求的面积．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求函数的零点个数．
（二）选考题：共10分．
请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
23．（本小题满分10分）
已知，且，，都是正数．
（1）求证：；
（2）是否存在实数，使得关于的不等式对所有满足题设条件的正实数，，恒成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．