湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

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一、单项选择题
1-4 CAAA 5-8 CBDD
二、多项选择题
9．AB 10．BD 11．ABD 12．ABC
三、填空题
13． 14． 15． 16．或
四、解答题
17．（1）法1：由题，：，则直线为过定点且斜率不为0的直线
又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以定点在抛物线开口内部、焦点附近所以，所以；
法2：将直线与抛物线方程联立，得，又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以对恒成立．
所以，又，所以解得；
（2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：．将直线与抛物线方程联立，并令，，得
，，，由抛物线焦点弦公式得
．
18．（1）连接，如下图所示：因为，分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）连接，，
因为，，
所以全等，且与均为等边三角形，所以，又因为，所以，
所以，所以，所以是等腰直角三角形，
因为为的中点，所以且，
又因为，，所以是等腰直角三角形，
所以，所以，所以，
又因为，所以平面，
所以点到平面的距离，所以三棱锥的体积为
19．答案：（1）；（2）点的轨迹方程为：．
（1）设所求圆方程为：，
将代入上面方程，得
解得，所以该圆方程为：，
化简为：
（2）由题圆：，圆心，半径
圆：，圆心，半径
又因为圆和圆，圆均外切，令，圆的半径为，则
，，所以，
所以点在以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近点的一支上，且，所以，， ，所以点坐标满足如下关系：
，解得．
所以点的轨迹方程为：．
20．（1）证明：因为直三棱柱，，，
所以平面，所以，所以，
又因为的面积为10，，
所以，即，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以，又直三棱柱，所以．
（2）由（1）知，平面，，由题意知，，则
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，可得，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21．（1）
由前两组频率和为：，
第三组频率为：，所以中位数在第三组，则
；
（2）由题，分两种情况考虑：
①科目二预约五场共10次均未通过：；
②科目二通过，科目三预约五场共10次均未通过：；
所以同学出现重新缴纳学费从头再来的概率为：
；
（3）由补考费150元每场，科目三补考费200元每场，故可分类如下：
①无补考费，总费用4000元，概率为：
②补考科目二一次，总费用4150元，概率为：；
③补考科目三一次，总费用4200元，概率为：；
④补考科目二两次，总费用4300元，概率为：；
故小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率为：．
22．（1）由题、是方程的两根，，
解得，，又既是椭圆短轴端点，又是双曲线的顶点，
所以，，由，，解得，，
所以椭圆的标准方程为：，双曲线的标准方程为：；
（2）当直线的斜率为1时，直线的方程为：，令，，，，将直线的方程与椭圆和双曲线的方程分别联立如下，得
，其中，则，
所以；
，其中，则，
所以；
所以；
（3）易知的斜率存在且不为0，设：，，，与椭圆的方程联立，得，其中，且，
又因为，
，
则，此时：，所以，令线段的中点为，则，则
，将*代入上式，得
，所以，所以线段的中点在定直线上．（此题背景：二次曲线极点极线与调和点列）
8．法一：令，，为坐标原点，则，，即，设：，则，由几何关系，可取线段靠近点的三等分点点，则上式，即点到直线距离的倍，
由定比分点得，所以（自己算哈）
所以，
所以所求，选D．
法二：由法一知，可令，为参数，，则，所以
，所以选D．
16．法一：取线段中点，则在中，，可得，过点作准线于，则由抛物线几何性质：以焦点弦为直径的圆和准线相切，知中，
，所以，所以线段的中垂线的斜率为，
所以:或．
法二：代数法：通过联立方程求解即可．