（尖子生培优）专题04优化问题-四年级数学思维拓展培优讲义（通用版）

这是一份（尖子生培优）专题04优化问题-四年级数学思维拓展培优讲义（通用版），共19页。试卷主要包含了李明晚上的时间是这样的安排等内容，欢迎下载使用。
有的放矢
能力巩固提升
1．四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？
2．李明晚上的时间是这样的安排．
整理书包：6分钟 刷牙：3分钟 听音乐：15分钟
洗脸：5分钟 读英语：15分钟 洗脚：15分钟
李明怎样合理安排做这些事情，所用时间最少？最少用多少分钟？
3．金丝峡风景区“五一”节推出一日游的两种方案如下：
方案一：成人每人100元，儿童每人50元
方案二：团体10人以上（含10人）每人80元
陈老师带领我们美术小组10名同学去游玩写生．选哪种方案合算？最少花多少钱？
4．五人进行五子棋比赛，每两个人之间都要进行一场比赛，一共要比赛多少场？
（1）先用画图或列表的方法数一数。
（2）再列式计算。
5．某校需要买足球50个，现在甲、乙、丙三个商店的单价都是25元，但是各商店优惠办法不同，甲店：买10个免费赠送2个，不足10个不送；乙店：每个优惠5元：丙店：购物满100元返还现金20元，哪个店最省钱？
6．有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）
7．用一只平底锅煎饼，每次可以放4张饼，煎熟一张饼要4分钟(正、反两面各要2分钟)，煎6张饼至少要几分钟？
8．乐乐起床后的各项活动和所需时间如下表．如果你是乐乐，你会怎样安排？最少用多少分钟才能出门去上学？
9．动物园推出“一日游”的活动价两种方案：
方案一：成人每人130元；儿童每人60元，
方案二：团体5人以上（包括5人）每人100元。
现在有成人6人，儿童4人要去游玩，想一想怎样买票最省钱？
10．王老师带2000元去买24个同样的计算器，型号价格如下：
请问王老师有几种购买方案？分别写出这几种方案？
11．假日旅行社推出“万载一日游”的活动价两种方案：
现在有成人4人，儿童6人要去游玩，想一想，他们应该选用哪种方案买票最省钱？
12．用平底锅烙饼，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟 ，烙6张饼最少需要多少分钟？ 请说明安排的方法。
13．姐姐要出门，出门之前她要完成以下几件事。怎样安排最合理？姐姐最少过多少分钟就可以出。
14．星期六，爸爸送小明去学校参加课外活动，他还要去菜市场买菜．
上面是他们行走路线和所用时间，他们办完这些事回到家，至少需要多长时间？
15．四（1）班有31人参加假日小队活动，为了环保出行，如何租车最省油？
小轿车限乘客4人耗油30升
商务车限乘客9人耗油50升
综合拔高拓展
16．小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼的正反两面各需2分钟，小红烙6个饼用了6分钟。她是怎样做的？
17．中午妈妈要烙饼给客人吃，每次最多能烙两张饼，两面都要烙，每面烙3分钟．烙2张饼最快需要几分钟？是怎样烙的？烙4张饼呢？
18．学校要购买36个足球，甲、乙两家体育用品商店同一种足球的原价都是每个45元，这两家商店的优惠方式如下，请你帮忙算一算，到哪家商店买更便宜？
19．公园里有若干条限乘4人的小船和限乘6人的大船出租。三（1）班有28人去公园坐船游玩，如果每条船都坐满，可以怎样租船？
20．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
21．小明学妈妈打鸡蛋汤，他做事的顺序是：打鸡蛋2分钟﹣﹣切葱花2分钟﹣﹣准备佐料2分钟﹣﹣洗锅1分钟﹣﹣把水烧热6分钟﹣﹣汤出锅3分钟，最后他一共花了16分钟钟。你能比他节省6分钟完成打鸡蛋汤吗？把合理安排做事的顺序写出来。
22．小茗、小熙、小欢同时去办公室问叶老师数学问题，讲解小茗的问题要6分钟，讲解小熙的问题要3分钟，讲解小欢的问题要1分钟，怎样安排讲解的顺序，才能使他们所花的总时间最少？
23．三（2）班有32人去秋游，如果每辆车都坐满，可以怎样租车？
24．光华小学五年级158名师生去海军坐游艇，游艇分大小两种，大游艇可坐50人，每只租金800元，小游艇可坐30人，每只租金500元，怎样租游艇最合适？
25．乐乐一家去太湖旅游（6个成人，2个儿童），太湖的游船有两种收费方案。①包船：每条480元，限坐8名乘客。②拼船：成人70元，儿童半价，每条船限坐8名乘客。乐乐一家应该选择哪种租船方案？需要多少元？（通过计算说明）
26．爸爸开车和妈妈一起从家外出办事,妈妈到商场购物,爸爸到办公室取资料．
上面是他们的行走路线和所用时间．他们办完这些事回到家,至少需要多长时间．
27．下面是同一种盒装面巾纸的价格。一家宾馆要买36盒这种面巾纸，怎样买最省钱？需付多少元？（写出计算过程）
28．动物园推出“一日游”的活动价：
方案一：成人每人150元，儿童每人60元。
方案二：团体5人以上（包括5人）每人100元。
现在有成人4人，儿童7人要去游玩，想一想怎样买票最省钱？
29．小玲感冒了，吃完药后要赶快休息。她应该如何合理安排下边的事情？
30．6个大人带4个孩子去景区游玩，下面有两种售票方案，选择哪种方案购票省钱？
31．某学校家长委员会组织亲子北京两日游活动,旅行社提供了A、B两种方案。A方案:成人每人300元,儿童每人120元;B方案:团体6人(含6人)每人220元。如果7个大人带4个孩子一起去旅游,哪种方案更省钱?
32．旅行社推出，“查干湖一日游”的两种价格方案。
（1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？
（2）成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？
33．中午，妈妈要包饺子，为了尽早地吃到饺子，她让小红先安排一下在包饺子的过程中完成每件事的顺序，请计算一下，最快多长时间吃上饺子？
买菜8分钟 包饺子25分钟 烧开水10分钟 煮饺子5分钟 吃前洗碗2分钟
34．红、蓝两队举行围棋比赛，两队各派3名同学参加，采取三局两胜制．假设每队3名同学按棋艺从强到弱分为1级、2级、3级，该如何安排对阵，才能增大红队同学获胜的可能性？
35．四（1）班与四（2）班进行男子50米跑“一对一”对抗赛，三局两胜制，两班参赛队员平时最好成绩如下：
假如你是四（1）班的班主任，应该如何安排对抗方法呢？
参考答案
1．局
【分析】四名棋手进行单循环比赛，一共比6局，总分是12分，因为没有人全胜，所以得分最高的选手最多是两胜一平得5分，然后分析他们的胜负关系。
【详解】（局）
（分）
1.如果全部是平局，则个人的分数只能分别为，，，，就会出现分数相同的情况，如图所示（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局）
2.如果有局是平局，则可以出现满足条件的情况：人分数分别为，，，，如图所示
所以至少有局是平局；
答：至少有3局平局。
【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，求解问题时，可以需要考虑到每一种情况。
2． 30分钟
【分析】根据题干，听英语的15分钟内，同时整理书包6分钟，刷牙3分钟，洗脸5分钟，一共需要14分钟，由此可节约14分钟；洗脚的同时读英语，又可以节约15分钟，由此即可解答问题．
【详解】根据题干分析，要使所用的时间最少，可设计如下：
15+15=30（分钟），
答：最少需要30分钟．
3．选用方案一合算，最少花600元．
【分析】：根据方案一：成人每人100元，儿童每人50元
方案二：团体10人以上（含10人）每人80元
分别算出方案一花费100×1+50×10=600元，方案二所花的钱数80×（10+1）=880元，然后比较即可得出答案．
【详解】方案一：100×1+50×10
=100+500
=600（元）
方案二：80×（10+1）
=80×11
=880（元）
因为：600＜880
所以选用方案一合算．
答：选用方案一合算，最少花600元．
4．（1）见详解
（2）10场
【分析】（1）把5个人看作五个点，然后两两连线画图即可。
（2）数一数，然后列式计算即可。
【详解】（1）作图如下：
（2）1＋2＋3＋4
＝3＋3＋4
＝6＋4
＝10（场）
答：一共要比赛10场。
【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式n（n－1）÷2解答。
5．乙店
【解析】略
6．种
【分析】如果没有剩下的不能使质数这个条件，就是前面3个数相加，现在剩下的不能是质数个，可以看作是质数个的取法总数都是0，然后再进行递推。
【详解】如下表所示：
答：有25种方法取完石子。
【点睛】本题考查的是归纳递推计数问题，这里需要注意的是对特殊元素的处理。
7．6分钟
【详解】略
8．烧开水(刷牙洗脸、整理房间)→冲牛奶→吃早饭
10＋1＋5＝16(分钟)
【解析】略
9．当成人购买团体票，儿童购买儿童票时，这样最省钱
【分析】方案一：分开买票，成人每人130元；儿童每人60元，用成人每人需要的钱数乘6人，求出成人需要总钱数，同理求出儿童需要的总钱数，再相加，求出这种方案需要的总钱数；
方案二：购买团体票，先把成人和儿童的人数相加，求出一共有多少人，再乘团体票的单价，即可求出方案二需要的钱数；
方案三：6名成人购买团体票，4名儿童购买儿童票，分别根据总价＝单价×数量求出需要的钱数，再相加，求出这种方案需要的总钱数；然后比较三种方案，即可得出最省钱的方案。
【详解】方案一：当成人购买成人票，儿童购买儿童票，需要钱数为：
130×6＋60×4
＝780＋240
＝1020（元）
方案二：当成人、儿童一起购买团体票，需要钱数为：
6＋4＝10（人）
10×100＝1000（元）
方案三：当成人6人购买团体票，儿童4人购买儿童票，需要钱数为：
100×6＋60×4
＝600＋240
＝840（元）
840＜1000＜1020
答：当成人购买团体票，儿童购买儿童票时，这样最省钱。
【点睛】本题考查学生在日常生活中，注意运用优化法解决问题；此题告诉学生掌握理解优惠措施，对于购票进行合理调配，是十分有效的。
10．有2种购买方案，是B型和C型
【详解】根据总价=单价×数量计算出购买每种类型的汽车的总价，再比较，即可解答．解决本题关键是根据总价=单价×数量，分别求出需要的钱数，再与2000元比较即可．
A型：24×94=2256（元）
B型：24×82=1968（元）
C型：24×74=1776（元）
2256＞2000
1968＜2000
1776＜2000
所以有2种购买方案，是B型和C型这两种
答：有2种购买方案，是B型和C型这两种
11．方案二
【分析】将每个方案的费用总和计算出来，然后进行比较，哪一种方案的费用少，哪一种方案就最省钱。
【详解】方案一：150×4＝600（元）
60×6＝360（元）
600＋360＝960（元）
方案二：4＋6＝10（人）
10＞5，即购买团体票
95×10＝950（元）
950＜960
方案二最省钱
答：应该选用方案二买票最省钱。
【点睛】此题考查的是优化问题，分别计算出每种方案所需要的费用是解答此题的关键。
12．18分钟；烙饼的方法是：先分别烙第一、二张的正面和反面；再分别烙第三、四张的正面和反面；然后分别烙第五、六张的正面和反面，这样2张2张地烙好即可。
【分析】由于每次只能烙两张饼，6张饼只要两张两张的分别烙熟即可，求出烙两张饼用的时间，即是（3＋3）分钟，再乘（6÷2）即可。
【详解】（3＋3）×（6÷2）
＝6×3
＝18（分钟）
答：烙6张饼最少需要18分钟。
烙饼的方法是：先分别烙第一、二张的正面和反面；再分别烙第三、四张的正面和反面；然后分别烙第五、六张的正面和反面，这样2张2张地烙好即可。
【点睛】本题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2张饼在烙是本题的关键。
13．姐姐按照如下步骤安排最合理：
18分钟
【分析】先把衣服和水放入洗衣机需要1分钟，洗衣机自动洗衣服需要15分钟，同时可以擦皮鞋、整理房间可以节约3＋6＝9分钟，最后在晾衣服2分钟，据此即可解答问题。
【详解】姐姐按照如下步骤安排最合理：
1＋15＋2＝18（分钟）
答：姐姐最少过18分钟就可以出发了。
14．72分钟
【解析】略
15．租3辆商务车和1辆小轿车
【分析】由题图可知，商务车限乘客9人，耗油50升，从而得知商务车平均每人耗油量是5升多；小轿车限乘客4人，耗油30升，从而得知小轿车平均每人耗油量是7升多，所以尽可能多安排商务车降低耗油量。此外还需要考虑不管租几辆车，要尽可能不空座位，因为空座位会增加平均每人耗油量。（辆）……4（人），租3辆商务车后，剩余的4人再租1辆小轿车，这样耗油量最少。
【详解】（辆）……4（人）
（辆）
答：租3辆商务车和1辆小轿车最省油。
【点睛】解决这类问题需要注意两个方面：一要考虑租哪种车平均每人耗油量少，二要尽量少空座位。
16．把饼按1、2、3、4、5、6编号，第一次烙1、2、3、4正面，第二次烙1、2反面和5、6正面；第三次烙3、4、5、6反面。一共正好需要3×2＝6分钟。
【分析】要想用时最短，就要效率最大化，合理安排不空锅即可。
【详解】把饼按1、2、3、4、5、6编号，第一次烙1、2、3、4正面，第二次烙1、2反面和5、6正面；第三次烙3、4、5、6反面。一共正好需要3×2＝6分钟。
【点睛】此题考查效率最大化，解答此题的关键，每次烤饼时尽量让锅放满，不做无用功。
17．烙2张饼最快需要6分钟，2张饼可以同时烙正、反两面，需要6分钟，烙4张饼最快需要12分钟.
【分析】烙饼问题的解题方法：如果饼数是偶数时，时间=一张饼正反都烙的时间×个数÷2，如果饼数是奇数时，时间=一张饼正反都烙的时间×（饼数-3）÷2+3张饼的最佳时间，据此分析解答.
【详解】烙2张饼最快需要6分钟，2张饼可以同时烙正、反两面，需要6分钟，烙4张饼最快需要12分钟.
烙2张饼有不同的方法，算一下最快需要多少分钟，再比较哪种最快，
方法一：一张一张地烙，烙一张正、反两面需要6分钟，烙2张共需6×2=12（分钟），烙4张共需要6×4=24（分钟）
方法二：锅中每次能烙两张饼，所以2张饼可以同时烙正、反两面，需要：6×2÷2=6（分钟），烙4张饼共需要6×4÷2=12（分钟）
答：烙2张饼最快需要6分钟，2张饼可以同时烙正、反两面，需要6分钟，烙4张饼最快需要12分钟.
18．乙店买更便宜
【分析】甲商店需要：每个足球优惠5元。即每个足球（45－5）＝40元，36个足球就是（36×40）元；
乙商店需要：36是由3个十和6个一组成，3个10可以免费赠送2×3＝6（个）足球，所以原价买30个足球就可以得到36个足球，需要花费（30×45）元，比较甲乙商店的结果即可解答。
【详解】根据分析可得：
甲：36×（45－5）
＝36×40
＝1440（元）
乙：30×45＝1350（元）；
1350元﹤1440元，所以乙店买更便宜。
答：乙店买更便宜。
【点睛】本题考查了优化问题在生活中的实际应用，根据优惠方式算出具体的金额比较是解题的关键。
19．可以租7条小船或租4条小船和2条大船或租1条小船和4条大船。
【分析】根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，将28拆分含有数字4和6的乘加算式，找到符合题意的租船方案即可。
【详解】28＝4×7，即可以租7条小船；
28＝4×4＋6×2，即可以租4条小船和2条大船；
28＝4×1＋6×4，即可以租1条小船和4条大船。
答：如果每条船都坐满，可以租7条小船或租4条小船和2条大船或租1条小船和4条大船。
【点睛】本题主要考查优化问题，关键根据每种船可坐人数及总人数，找到合适的租船方案。
20．5格
【分析】一开始棋子已占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1~7个格，那么只要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。
【详解】1111－1＝1110（个）
1＋7＝8
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。
答：第一步必须移5格。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断如何进行操作。
21．先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，这样节省6分钟完成打鸡蛋汤。
【分析】此类题目要奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决，根据题干可知先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，由此即可设计出打鸡蛋汤的工序，从而计算得出所用的时间。
【详解】先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，6+1+3=10（分钟），16-10=6（分钟）
答：先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，这样节省6分钟完成打鸡蛋汤。
22．先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解所花的总时间最少。
【分析】由题意可知，给一位同学讲解时，其余同学需要等待，所以人数多时先解决讲解用时少同学的问题，总等待时间最少。所以先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解说话时间最少，据此解答。
【详解】根据分析可知，先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解所花的总时间最少，为：
（分钟）
答：先给小欢讲解，再给小熙讲解，最后给小茗讲解所花的总时间最少。
【点睛】解答本题的关键是明确人数多时先解决讲解用时少同学的问题，总的等待时间最少。
23．①8辆出租车 ； ②5辆出租车，2辆面包车； ③2辆出租车，4辆面包车
【分析】根据题意要求全都坐满，也就是如果只坐一种车，此车的辆数×此车限坐人数＝总人数；如果两种车都坐：面包车数×面包车限坐人数＋出租车辆数×出租车限乘人数＝总人数，找出符合题意的解答即可。
【详解】①8辆出租车
32÷4＝8（辆）
32人可以租8辆出租车。
②5辆出租车，2辆面包车
4×5＋6×2
＝20＋12
＝32（人）
32人正好可以坐满5辆出租车，2辆面包车；
③2辆出租车，4辆面包车。
4×2＋6×4
＝8＋24
＝32（人）
答：可以这样租车：①8辆出租车 ②5辆出租车，2辆面包车 ③2辆出租车，4辆面包车。
【点睛】本题考查了优化租车问题，也可以用列表法一一排列组合，筛选出符合要求的结果。
24．租2个大游艇和2个小游艇时最合适
【分析】用每只游艇的租金÷游艇可坐的人数即可得出游艇每人的租金，比较大游艇和小游艇的每人租金的大小。接下来进行讨论，租3个大游艇时，租几个小游艇且计算出费用；租2个大游艇时，需要租几个小游艇，并计算出费用；租1个大游艇时，需要租几个小游艇且计算出费用，最后比较大小即可得出答案。
【详解】大游艇：800÷50＝16（元）
小游艇：500÷30＝16（元）……20（元）
所以尽可能多的租大游艇。
158÷50＝3（个）……8（人）
当租3个大游艇，1个小游艇时，
800×3＋500
＝2400＋500
＝2900（元）
当租2个大游艇，2个小游艇时，
800×2＋500×2
＝1600＋1000
＝2600（元）
当租1个大游艇时，需要租4个小游艇，
800＋500×4
＝800＋2000
＝2800（元）
2600＜2800＜2900
答：租2个大游艇和2个小游艇时最合适，费用为2600元。
【点睛】租船最省钱满足两个条件：一是尽量租大游艇，因为大游艇便宜；二是不能有空位，因为有空位达不到最省钱目的。
25．包船；480元
【分析】分别计算出两种方案的花费，再比较即可。
【详解】方案1：包船
6＋2＝8（人），正好包一条船，花费480元。
方案2：拼船
70×6＋70÷2×2
＝420＋35×2
＝420＋70
＝490（元）
480元＜490元
答：乐乐一家应该选择包船方案，需要480元。
【点睛】准确计算出每种方案的花费是解答此题的关键。
26．8+12+12+10+2+2+8=54(分钟)
【详解】略
27．114元
【分析】先看整箱买可以买几箱，剩下的再3盒一买，再剩下的就一盒一买。
【详解】36÷20＝1（箱）……16（盒）
16÷3＝5（个）……1（盒）
60＋5×10＋4
＝60＋50＋4
＝114（元）
答：买1箱20盒装的、5个3盒装的和1个单盒装的最省钱，需付114元。
【点睛】本题主要考查学生如何合理购买，使花的钱最少。
28．4名成人和1名儿童组成团体，购买团体票，剩下的6名儿童购买儿童票，这样买票最省钱。
【分析】根据题意可得出三种购票方案：
方案一：全体购买团体票。
方案二：成人购买团体票，儿童购买儿童票。
方案三：4名成人和1名儿童购买团体票，剩余6名儿童购买儿童票。
分别求出每个方案的总票价，再进行比较。
【详解】根据分析可得：
方案一：全体购买团体票
（4＋7）×100
＝11×100
＝1100（元）
方案二：成人购买团体票，儿童购买儿童票
4×150＋7×60
＝600＋420
＝1020（元）
方案三：4名成人和1名儿童购买团体票，剩余6名儿童购买儿童票。
5×100＋6×60
＝500＋360
＝860（元）
860＜＜1020＜1100，方案三最省钱。
答：4名成人和1名儿童组成团体，购买团体票，剩下的6名儿童购买儿童票，这样买票最省钱。
29．见详解
【分析】找杯子倒开水→等开水变温（找感冒药、量体温），所以总共的用时为找杯子倒开水和等开水变温的时间和。
【详解】找杯子倒开水：1分钟→等开水变温：6分钟（找感冒药：1分钟、量体温：5分钟），共7分钟。
【点睛】合理安排，能同时进行的事情安排在同时间里完成，这样用时最少。
30．方案二
【分析】方案一，需要买6张成人票和4张儿童票，花费（30×6＋30÷2×4）元。方案二，义工有6＋4＝10人，可以买10张团体票，花费（20×10）元。比较两个方案花费钱数的大小解答。
【详解】若选择方案一：
30×6＋30÷2×4
＝180＋15×4
＝180＋60
＝240（元）
若选择方案二：
20×（6＋4）
＝20×10
＝200（元）
240＞200
答：选择方案二购票省钱。
【点睛】本题考查经济问题，关键是明确购买数量和票价，根据总价＝单价×数量求出两个方案花费的钱数。
31．B方案更省钱
【详解】A方案:300×7+120×4=2580(元)
B方案:220×(7+4)=2420(元)
2420