（尖子生培优）专题06积的变化规律的实际应用-四年级数学思维拓展培优讲义（通用版）

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有的放矢
能力巩固提升
1．因为11×☆＝44，所以110×☆＝( )；因为●×80＝160，所以●×800＝( )。
2．一个数和24相乘，积是1200，如果这个数除以10，积变成( )。
3．已知13×11×5＝715，那么，78×11×25＝( )；已知667÷23＝29，那么，（667×99）÷（23×99）＝( )。
4．，由此可以知道：( )，( )。
5．两个因数的积是240，如果一个因数不变，另一个因数扩大为原来3倍，现在乘积是( )．
6．根据54×8＝432，那么54×80＝( )，54×800＝( )。
7．两个因数的积是12.6，一个因数扩大10倍，另一个因数不变，则积是( )。
8．两个因数的积是4.57，如果其中一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到它的，积是( )。
9．已知A×B＝1200，如果A除以30，B不变，那么积是( )；已知A÷B＝60，如果A、B同时乘3，那么商是( )。
10．已知A×B＝400，如果B不变，A乘4，那么积是_______；如果A不变，B除以2，那么积是_______。
11．甲数乘乙数，积是14，如果甲、乙两数都扩大为原来的3倍，所得的积是( )。
12．在一个乘法算式中，一个因数扩大到原来的4倍，另一个因数也扩大到原来的4倍，那么积扩大到原来的( )倍。
13．两个因数的积是320，如果一个因数不变，另一个因数除以10，则积是( )。
14．，如果扩大为原来的3倍，不变，积是( )；如果乘5，除以5，积是( )。
15．甲数与乙数的积是400，若甲数乘10，乙数不变，则现在的积是( )。
16．两个因数的积是12.05，其中一个因数不变，另一个因数缩小到它的，积是( )。
17．已知两个因数的积是160，一个因数不变，另一个因数乘3，积是( )；一个因数不变，另一个乘100，积是( )；两个因数同时乘10，积是( )。
综合拔高拓展
18．有一块长方形的草坪，宽6米，面积是120平方米。将这块长方形草坪的宽增加到18米，长不变。扩大后的草坪的面积是多少平方米？
19．王伯伯有一个宽25米，面积是1250平方米的长方形蔬菜大棚。
（1）明年他想把大棚的长扩大到原来的2倍，宽不变，扩建后的大棚面积是多少平方米？
（2）12月份王伯伯收了2400千克西红柿，他将这些西红柿每15千克装成一箱，整箱批发给商场，可以装多少箱？
20．慢城农场有50行果树，每行棵数相等。如果再栽同样的5行，就比原来多出了120棵。慢城农场原来有果树多少棵？
21．一个长方形公园占地12公顷，将这个长方形公园的长扩大到原来的3倍，宽不变，扩建后公园的面积是多少？
22．一块长方形草坪，宽6米，面积是72平方米，现在长方形草坪的长不变，宽增加到30米，增加后的草坪面积是多少平方米？（要求应用积的变化规律解决问题）
23．一个长方形污水处理池的面积是3200平方米，将这个污水处理池的长扩大为原来的3倍，宽扩大为原来的2倍。扩建后污水处理池的面积是多少平方米？
24．下面这块长方形绿地的宽要增加到32米，长不变。扩大后的绿地面积是多少？
25．一块长方形草坪的面积约为480平方米，现在对这块草坪进行扩建。
（1）方案一：只把长扩大为原来的3倍，宽不变，扩建后的草坪面积是多少平方米？
（2）方案二：把长和宽都扩大为原来的3倍，扩建后的草坪面积是多少平方米？
26．学校长方形运动场的面积是1250平方米，长是50米，如果把长增加到原来的3倍，宽不变，那么运动场的面积是多少平方米？比原来增加了多少平方米？
27．已知两个因数的积是73.6，其中一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数缩小到原来的，最后的积是多少？
28．两个因数相乘的积是4.25，其中一个因数扩大到原数的100倍，另一个因数缩小为原数的，积是多少？
29．一块宽是9米的草坪占地面积是360平方米。现在要对草坪进行扩建，长不变，宽增加到27米，扩建后草坪面积是多少平方米？
30．下图中，长方形草地的宽要增加到18米，长不变，扩大后的草地面积是多少平方米？（请用两种方法解答。）
31．两数相乘，积是60，如果一个因数是5，另一个因数除以6后再相乘，那么积又是多少？
32．爷爷家一块长方形菜地的面积360平方米，宽9米，爷爷要把这块菜地的宽增加到36米，长不变。扩大后菜地的面积是多少平方米？
33．鹿鸣湖广场有一块面积是900平方米的正方形草坪，现要扩大草坪的面积，把边长扩大到原来的2倍，扩大后的草坪的面积是多少？
34．一块长方形菜地宽8 米，面积是480平方米，如果长不变，宽增加到24米，增加后的面积是多少？
35．有一块面积是180平方米的长方形草地。如果宽不变，长扩大到原来的3倍，那么扩大后的草地面积是多少平方米？
36．两数相乘积是72，若使一个因数缩小4倍，另一个因数也缩小2倍，那么积是多少？
37．一块长方形的菜地，面积420平方米．现在要把它的长增加一半，扩大后的面积是多少平方米？
38．两个乘数相乘，积是240，小明说“如果这两个乘数都乘3，那么，积也要乘3”。你觉得小明说得正确吗？为什么？
参考答案
1． 440 1600
【分析】积的变化规律：一个因数（0除外）不变，另一个因数乘或除以一个相同的数，积也乘或除以一个相同的数。
【详解】11×☆＝44，所以110×☆＝440
●×80＝160，所以●×800＝1600
2．120
【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数除以10，则积也应除以10。据此解答即可。
【详解】1200÷10＝120
则如果这个数除以10，积变成120。
【点睛】熟练掌握积的变化规律：如果一个因数扩大几倍或缩小为原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一。
3． 21450 29
【分析】根据积的变化规律可知，因数13变为78，扩大6倍，因数5变为25，扩大5倍，则积应扩大6×5倍，变为715×6×5。根据商的变化规律可知，被除数和除数同时乘99，商不变，仍是29。
【详解】已知13×11×5＝715，那么，78×11×25＝715×6×5＝21450；已知667÷23＝29，那么，（667×99）÷（23×99）＝29。
【点睛】积的变化规律：如果一个因数扩大几倍或缩小为原来的几分之几，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几。商的变化规律：被除数和除数同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几，商不变。
4． 24080 4816
【分析】如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍，据此解答。
【详解】，43不变，56变成560扩大10倍，积也扩大10倍，由此可以知道：24080；43不变，56到112扩大2倍，积也扩大2倍，4816。
【点睛】本题考查积的变化规律，掌握分析中的规律是解题的关键。
5．720
6． 4320 43200
【分析】根据积的变化规律可知，一个因数54不变，另一个因数从8变为80，扩大10倍，则积也扩大10倍。另一个因数从8变为800，扩大100倍，则积也扩大100倍。
【详解】根据54×8＝432，那么54×80＝4320，54×800＝43200。
【点睛】积的变化 ：如果一个因数扩大几倍或缩小为原来的几分之几，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几。
7．126
【分析】积的变化规律：
（1）如果一个因数扩大几倍或缩小为原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一；
（2）如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小为原来的几分之一，那么积不变。
【详解】两个因数的积是12.6，一个因数扩大10倍，另一个因数不变，积也扩大10倍，则积是126。
【点睛】熟练掌握积的变化规律是解答此题的关键。
8．45.7
【分析】根据积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的几倍；如果一个因数缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也缩小到原来的几分之一；据此解答。
【详解】根据分析得，如果其中一个因数扩大到原来的100倍，另一个因数缩小到它的，则积会扩大到原来的10倍，即4.57×10＝45.7。
所以积是45.7。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用积的变化规律求解。
9． 40 60
【分析】（1）根据积变化的规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）相同的数；（2）根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此解答。
【详解】根据分析：A×B＝1200，如果A除以30，B不变，那么积是1200÷30＝40，积是40；A÷B＝60，如果A、B同时乘3，那么商不变，商还是60。
【点睛】掌握积变化的规律和商不变的规律。
10． 1600 200
【分析】根据积的变化规律可知，一个因数B不变，另一个因数A乘4，则积也应乘4。A不变，B除以2，则积也应除以2。
【详解】400×4＝1600
400÷2＝200
则如果B不变，A乘4，那么积是1600；如果A不变，B除以2，那么积是200。
【点睛】熟练掌握积的变化规律：如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么积也扩大（或缩小）相同倍数。
11．126
【分析】一个因数扩大为原来的a倍，一个因数扩大为原来的b倍，积就扩大为原来的a×b倍。
【详解】14×3×3
＝42×3
＝126
甲数乘乙数，积是14，如果甲、乙两数都扩大为原来的3倍，所得的积是126。
【点睛】熟练掌握积的变化规律是解答此题的关键。
12．16
【分析】两个非0的数相乘，如果一个因数扩大到原来的a倍，另一个因数扩大到原来的b倍，那么积扩大到原来的ab倍，据此解答。
【详解】如：0.4×0.5＝0.2
（0.4×4）×（0.5×4）
＝1.6×2
＝3.2
3.2÷0.2＝16
则积扩大到原来的16倍。
【点睛】掌握积的变化规律是解答题目的关键。
13．32
【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数除以10，积也除以10。
【详解】如果一个因数不变，另一个因数除以10，则积是32。
【点睛】熟练掌握积的变化规律是解决本题的关键。
14． 948 316
【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数；如果两个因数扩大相同的倍数（0除外），积扩大的倍数就等于两个因数扩大倍数的乘积；两个因数都缩小相同的倍数（0除外），积缩小的倍数等于两个因数缩小倍数的乘积；由此解答。
【详解】根据积的变化规律可知，
，如果扩大为原来的3倍，不变，积扩大3倍，是；如果乘5，除以5，积不变，仍是316。
【点睛】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
15．4000
【分析】根据积的变化规律可知，乙数不变，甲数乘10，积也应乘10。
【详解】400×10＝4000
则现在的积是4000。
【点睛】本题考查积的变化规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数。
16．0.1205
【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数缩小到它的，积也跟着缩小相同的倍数，据此分析。
【详解】12.05÷100＝0.1205
【点睛】关键是掌握积的变化规律，如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，那么积不变。
17． 480 16000 16000
【分析】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍（0除外），积也会随着扩大或缩小相同的倍数。
【详解】根据积的变化规律可得：
已知两个因数的积是160，一个因数不变，另一个因数乘3，积是160×3＝480；
一个因数不变，另一个乘100，积是160×100＝16000；
两个因数同时乘10，积是160×10×10＝16000。
【点睛】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
18．360平方米
【分析】根据“长方形面积＝长×宽”可知，已知长方形的面积和它的宽的长度，宽增加了（18÷6）倍，那么这个长方形的面积也增加相同的倍数。
【详解】120×（18÷6）
＝120×3
＝360（平方米）
答：扩大后的草坪的面积是360平方米。
【点睛】正确理解：如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么积也扩大（或缩小）相同倍数。
19．（1）2500平方米
（2）160箱
【分析】（1）长×宽＝长方形的面积，现在宽不变，长扩大到原来的2倍，所以面积也要扩大到原来的2倍，据此即可解答。
（2）用王伯伯收的西红柿的千克数除以一箱装的千克数即等于可以装的箱数。
【详解】（1）1250×2＝2500（平方米）
答：扩建后的大棚面积是2500平方米。
（2）2400÷15＝160（箱）
答：可以装160箱。
【点睛】本题主要考查学生对积的变化规律和整数除法计算方法的掌握。
20．1200棵
【分析】原有果树行数是5行的多少倍，原有果树棵数就是120棵的多少倍，据此即可解答。
【详解】50÷5×120
＝10×120
＝1200（棵）
答：慢城农场原来有果树1200棵。
【点睛】熟练掌握整数的乘除法知识是解答本题的关键。
21．36公顷
【详解】试题分析：根据长方形的面积公式：s=ab，将公园的长扩大到原来的3倍，宽不变．根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大3倍，积也扩大3倍，由此解答．
解：一个因数不变，另一个因数扩大3倍，积也扩大3倍，
即12×3=36（公顷），
答：扩建后公园的面积是36公顷．
点评：此题主要根据长方形的面积公式以及因数与积的变化规律解决问题．
22．360平方米
【分析】根据长方形的面积计算公式，以及题目要求应用积的变化规律解决问题，可知：宽6米需要乘5，则积也要乘5，据此解答。
【详解】30÷6＝5
增加后的长方形的面积＝长×（6×5）
根据积的变化规律，面积72也要×5
72×5＝360（平方米）
答：增加后的草坪面积是360平方米。
【点睛】本题考查长方形的面积计算公式与积的变化规律的灵活应用。
23．19200平方米
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，据此解答。
【详解】长方形的长扩大为原来的3倍，宽扩大为原来的2倍，那么它的面积就扩大到原来的3×2＝6倍。
3200×6＝19200（平方米）
答：扩建后污水处理池的面积是19200平方米。
【点睛】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，以及因数与积的变化规律的应用。
24．1920平方米
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，以及积的变化规律可知，长不变，而宽从8米增加到32米，宽扩大到原数的4倍，面积也应扩大到原数的4倍。据此解答。
【详解】480×（32÷8）
＝480×4
＝1920（平方米）
答：扩大后的绿地面积是1920平方米。
【点睛】长方形的面积公式常与积的变化规律综合考查，一方面是熟记公式和规律，另一方面是明确长和宽是如何变化的，进而正确应用规律解答即可。
25．（1）1440平方米
（2）4320平方米
【分析】（1）根据长方形面积＝长×宽；再根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；
（2）如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数；进行解答即可。
【详解】（1）480×3＝1440（平方米）
答：扩建后的草坪面积是1440平方米。
（2）480×3×3
＝1440×3
＝4320（平方米）
答：扩建后的草坪面积是4320平方米。
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式和积的变化规律的灵活应用。
26．3750平方米，2500平方米
【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。长方形的面积S＝ab，所以长方形的宽不变，长扩大到原来的3倍，面积扩大了原来的3倍，先计算出扩大3倍的面积，再用扩大之后的面积减去原来长方形的面积即为增加的面积。
【详解】1250×3＝3750（平方米）
3750﹣1250＝2500（平方米）
答：运动场的面积是3750平方米，比原来增加了2500平方米。
【点睛】本题考查了长方形的面积，灵活运用积的变化规律是解题关键。
27．220.8
【分析】根据积不变的规律，一个因数扩大多少倍另一个因数就要缩小相同的倍数（0除外），积不变，可用73.6乘6再乘就可以得到最后的积，列式解答即可得到答案．
【详解】73.6×6×
＝441.6×
＝220.8
答：最后的积是220.8．
28．42.5
【详解】4.25×100÷10
=425÷10
=42.5
答：积是42.5．
【点睛】两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍(0除外)，积就扩大或缩小相同的倍数．由此根据积的变化规律计算即可．
29．1080平方米
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，再根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就扩大相同的倍数，据此解答。
【详解】360×（27÷9）
＝360×3
＝1080（平方米）
答：扩建后草坪的面积是1080平方米。
【点睛】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，因数与积的变化规律的应用。
30．432平方米
【分析】方法一：根据长方形面积＝长×宽，计算出草地扩大前的长，再乘18，就是扩大后的面积。
方法二：根据题意，长方形草地的长不变、宽增加到18米，就扩大了（18÷6）倍，即3倍；那么这个草地的面积也扩大了3倍；据此解题即可。
【详解】（144÷6）×18
＝24×18
＝432（平方米）
144×（18÷6）
＝144×3
＝432（平方米）
答：扩大后的草地面积是432平方米。
【点睛】本题可以根据长方形面积计算公式进行解答，也可以根据长不变、宽扩大几倍面积也扩大几倍进行解答。
31．10
【分析】根据积的变化规律可知，一个因数5不变，另一个因数除以6，则乘积也应除以6。
【详解】60÷6＝10
答：积是10。
【点睛】积的变化规律：如果一个因数扩大几倍或缩小为原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一。
32．1440平方米
【分析】用现在的宽除以原来的宽，再乘原来的面积即可解答。
【详解】36÷9×360
＝4×360
＝1440（平方米）
答：扩大后菜地的面积是1440平方米。
【点睛】现在的宽是原来宽的多少倍，现在的面积就是原来的多少倍。
33．3600平方米
【分析】根据“正方形面积＝边长×边长”可知，正方形面积等于边长与边长的乘积；已知一个正方形的面积，如果把这个正方形的边长扩大为原来的2倍，那么它的面积也就扩大为原来的（2×2）倍，据此计算出扩大后的面积即可。
【详解】900×2×2＝3600（平方米）
答：扩大后的草坪的面积是3600平方米。
【点睛】正确理解“如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么积也扩大（或缩小）相同倍数”，及正方形的面积计算公式，是解答此题的关键。
34．1440平方米
【分析】长方形的面积＝长×宽，长不变，宽扩大到原来的多少倍，面积也要扩大到原来的多少倍，据此即可解答。
【详解】480×（24÷8）
＝480×3
＝1440（平方米）
答：增加后的面积是1440平方米。
【点睛】熟练掌握积的变化规律是解答本题的关键。
35．540平方米
【分析】长方形的面积＝长×宽，如果宽不变，长扩大到原来的3倍，根据一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积也扩大几倍，所以宽不变，长扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的3倍，据此解答。
【详解】180×3＝540（平方米）
答：扩大后的草地面积是540平方米。
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式和积的变化规律的应用。
36．9
【详解】72÷4÷2
＝18÷2
＝9
答：积是9。
37．630平方米
【详解】试题分析：根据长方形的面积公式可知，长方形的宽不变时，长扩大几倍，面积也扩大相同的倍数，据此解答即可．
解：由题意可知：长增加一半，即长扩大1+=倍，
设原来的长方形的面积为：S1=长×宽=420平方米，
宽不变，长扩大倍后的面积为：S2=×长×宽，
=（长×宽），
=S1，
=×420，
=630平方米；
答：扩大后的面积是630平方米．
点评：解题的关键是能灵活的运用长方形的面积公式．
38．不正确；因为根据积的变化规律，这两个乘数都乘3，积要乘9。
【分析】积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个乘数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个乘数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
【详解】3×3＝9
答：小明说得不正确，因为根据积的变化规律，这两个乘数都乘3，积要乘9。
【点睛】灵活运用积的变化规律是解题关键。一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以几，这就是积的变化规律。
运用积的变化规律可以使计算简便，也可以解决生活中的实际问题。