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八年级期末模拟试题（一）- 2023-2024学年八年级上册数学同步课堂 培优题库（浙教版）（原卷+解析卷）
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这是一份八年级期末模拟试题（一）- 2023-2024学年八年级上册数学同步课堂 培优题库（浙教版）（原卷+解析卷），文件包含八年级期末模拟试题一-2023-2024学年八年级上册数学同步课堂培优题库浙教版原卷doc、八年级期末模拟试题一-2023-2024学年八年级上册数学同步课堂培优题库浙教版解析卷doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023.四川省广元市八年级期末）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
D、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（湖北省荆门市2023-2024学年八年级期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．9B． C．1D．0
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出，，可得结论．
【详解】解：，关于轴对称，
，解得，，，故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
3．（2023.浙江省绍兴市八年级期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：A、当，时，不符合，
∴，不是假命题的反例，不符合题意；
B、当，时，，而，
∴，，不是假命题的反例，不符合题意；
C、当，时，，而，
，不是假命题的反例，不符合题意；
D、当，时，，而，
，是假命题的反例，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．（2023.广东八年级期中）根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【详解】解：A.，不满足三边关系，本选项不合题意；
B.边边角三角形不是唯一确定的，本选项不合题意；
C.角角角不能唯一确定三角形，本选项不合题意；
D.边角边，能唯一确定三角形，本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握基本知识是解题的关键．
5．（2023.吉林松原九年级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求得不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
6．（2023.江苏八年级期末）关于一次函数的图像，下列叙述中正确的个数是（ ）
①必经过点；②与x轴的交点坐标是；③过一、二、四象限；④可由平移得到
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项①、②不符合题意；利用一次函数图象与系数的关系，可判断出选项③不符合题意；根据平移的规律可判断出选项④符合题意．
【详解】解：①当x=1时，y=2×1-4=-2，
∴一次函数y=2ε-4的图象经过点(1，-2)，选项①不符合题意；
②当y=0时，2x-4=0，解得∶x=2，∴与x轴的交点坐标是(2，0)，选项②不符合题意；
③∵k=2>0，b=-4<0，∴一次函数y=2x-4的图象经过第一、三、四象限，选项③不符合题意
④一次函数y=2x-4的图象可由y=2x向下平移4个单位得到，选项④符合题意 故选∶D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
7．（2023.江苏八年级期中）如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解．
【详解】解：连接，
∵D是边上的中点，∴，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，即：；故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
8．（2023北京一模）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
【答案】C
【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，可对各选项进行判断．
【详解】解：连接AQ，BP，如图，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，
若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．故选：C．
【点睛】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键.
9．（河南2023-2024学年八年级期中）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为底作等腰，若点C在第二象限，则它的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解与坐标轴的交点坐标，画出图形，过作于，过作于，再证明，可得，，设，可得，结合C的坐标互为相反数建立方程求解即可．
【详解】解：∵直线，当，则，
当，则，解得，∴，；
如图，为等腰直角三角形，，，
过作于，过作于，而，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，，设，∴，，
∴，∴，解得：，∴．故选B
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理的应用，坐标与图形，等腰直角三角形的定义，熟练的画出图形，作出辅助线构建全等三角形是解本题关键．
10．（2023.湖北八年级期中）如图，在中，，，M为BC的中点，于点E，其延长线交AB于点D，连接DM，下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，得△ACM≌△CBF，然后证△BDM≌△BDF（SAS），即可得出正确结论，作BH⊥FC交CE的延长线于点H，证△ACE≌△CBH，可得．
【详解】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，
∵于点E，∴，∵，∴，
∵，，∴△ACM≌△CBF，
∴，，，∵M为BC的中点，∴，
∵，，BF⊥BC，∴，
∴△BDM≌△BDF（SAS），∴，∴，①正确；
，②正确；
∵，，∴，③正确；
作BH⊥FC交CE的延长线于点H，同理可证△ACE≌△CBH，
∴，∴，④不正确；
∵，，∴，
∵∴，⑤正确；故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，关键全等三角形．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023.浙江八年级期末）如图所示，图中的 °．
【答案】50
【分析】根据三角形的外角性质得到，然后把，代入计算即可得到的度数．
【详解】解：如图，
，而，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角的和．掌握三角形的外角性质是解答此题的关键．
12．（2023.重庆八年级期中）某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作.如果程序恰好进行了一次就停止，那么符合题意的x的最大整数值为 .
【答案】3
【分析】先依据程序图可得到一个关于x的不等式，解出x的值，从而可得出符合题意的最大整数值.
【详解】由程序图和题意得
整理得解得则的最大整数解为3故答案为：3.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，依据程序图，正确列出不等式是解题关键.
13．（2023江苏八年级12月月考数学试题）若函数是关于x的一次函数，且y随x的增大而增大，则m = ．
【答案】3
【分析】根据一次函数的定义和性质得到 ，然后解不等式和方程即可确定满足条件的m的值．
【详解】根据题意得 ， 解得m=3． 故答案为3．
【点睛】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．也考查了一次函数的性质．
14．（2023.江苏省苏州市八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a与b的数量关系为 。
【答案】6a+2b＝1
【分析】由作图可知，OP平分∠MON，推出点P的横坐标与纵坐标互为相反数，列出方程即可解决问题．
【详解】解：连接OP．由作图可知，OP平分∠MON，
根据角平分线的性质定理可知：可知点P到OM（x轴）、ON（y轴）的距离相等，
又∵点P在第二象限，∴点P的横坐标与纵坐标互为相反数，∴6a+2b-1＝0，∴6a+2b＝1，
故答案为：6a+2b＝1．
【点睛】本题考查基本作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（陕西2023-2024学年八年级期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在网格的格点上，边上的高长为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，为直角三角形，，
设边上的高为，，
，，上的高为2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，二次根式的乘法运算，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．（2022·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
【详解】解：关于x的不等式，解得：，
关于x的不等式的解也是不等式的解，
，不等式的解集是，，解得：，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
17．（2023.江苏省南通市海门区八年级期末）在平面直角坐标系中，，，点在第四象限．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】按照题意，作出等腰直角三角形，然后通过条件证得，设，然后利用勾股定理列出方程求解．
【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，，，作轴，垂足为点，轴，垂足为点，
轴，轴，，
，，
在和中，,，，
设，则，，由勾股定理得，，
，，则，解得，
点在第四象限，点的坐标为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，采用数形结合列方程是解题关键，
18．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点P．连接、，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，翻折得到，得到，当三点共线时，有最小值为，再根据，得到当三点共线时，的值最小，利用勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，∴，
∵为的中点，∴，连接，，
∵翻折，∴，，
∴，当三点共线时，有最小值为的长，即为，
∵，∴当三点共线时，的值最小，即为，
∴周长的最小值为；故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，利用轴对称解决周长最小问题，是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（2023.浙江省杭州市八年级期中）解下列一元一次不等式（组）：
(1)，(2)并把它的解集表示在数轴上；
【答案】(1)(2)，数轴表示见解析
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（2023.贵州省铜仁市八年级期末）已知：如图，，，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，，可得∠BAD=∠CAE，从而证得△ABD≌△ACE，进而得到AD=AE，即可求证．
【详解】证明：∵，，∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，∵∠BAD=∠CAE，，．
∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
21．（2023.山东省德州市八年级期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（－4，5），（－1，3）．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)图见解析，B′（2，1）；(3)图见解析，P（﹣1，0）．
【分析】（1）根据点A、C的坐标，确定原点的位置，建立平面直角坐标系即可；（2）作出格点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作出点B关于x轴的对称点B1，连接A′B1，交x轴于点P，利用待定系数法求出直线A′B1的解析式，进而可得出P点坐标．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如上图所示：△A′B′C′即为所求，此时点B′（2，1）；
（3）解：如图所示，点P即为所求的点，设直线A′B1的解析式为，
∵A′（4，5），B1（-2，-1），
∴，解得，即，
当y=0时，x+1=0，解得x=﹣1，即P（﹣1，0）．
【点睛】此题考查了作图-轴对称变换，一次函数的有关性质，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．（2023.江苏省镇江市八年级期中）对x，y定义一种新的运算f，规定：（其中）．(1)若已知，，则______．
(2)已知，，求a，b的值；(3)在（2）问的基础上，
①若，则x的取值范围为______；
②若，求x的取值范围；
③若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，求k的取值范围．
【答案】(1)4(2)(3)①；②；③
【分析】（1）根据新定义运算列出算式求解；
（2）根据，，可得方程组，解方程即可；
（3）①由（2）可知，，再由，可得，解不等式即可；
②分两种情况讨论：当时，，时，，分别列不等式组求解即可；
③由，，可得，，根据题意可列不等式组，求得，再根据关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，可得，再进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵，，∴，故答案为：4；
（2）解：∵，，∴，解得；
（3）解：①由（2）可知，，∴，
∵，∴，解得，故答案为：；
②当时，，∴，解得，
当时，，∴，
∴不等式无解，∴x的取值范围为，
③∵m为正数，∴，，
∴，，
∵，∴，解得，
∵关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，∴，解得．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次不等式和一元一次不等式组、解二元一次方程组、根据不等式组的整数解求参数，理解新定义，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
23．（安徽省滁州市2023-2024学年八年级月考）已知甲、乙两地相距千米，小华骑自行车从甲地到乙地，小亮骑摩托车从乙地到甲地再返回乙地．两人同时出发，小华每小时行驶千米，小亮去时用了小时，回来时速度增加了，两人离甲地的距离千米与时间小时的函数关系如图所示．
(1)求出小亮与小华第一次相遇时，小华所用的时间以及此时他们离甲地的距离．(2)求出点的坐标及线段所对应的函数关系式；(3)直接写出小华和小亮相距千米时小华骑行的时间．
【答案】(1)两人第一次相遇时，小华所用的时间为小时，此时他们离甲地千米；
(2)的坐标为，；
(3)小华和小亮相距千米时，小华骑行的时间为小时或小时或小时．
【分析】（）根据函数图像算出小亮的速度，即可算出两人第一次相遇时小华所用的时间以及此时他们离甲地的距离；（）由图像可以得到点和点的坐标，用待定系数法可求出线段的函数关系式；（）分种情况求解即可．
【详解】（1），，（千米），
答：两人第一次相遇时，小华所用的时间为小时，此时他们离甲地千米．
（2）设线段的函数关系式是，
（小时），（小时），
∴点，，则，解得，∴，
∴点的坐标为，线段的函数关系式是；
（3）分种情况：相遇前：；
相遇后：；
小亮返回追上小华前：，；
答：小华和小亮相距千米时，小华骑行的时间为小时或小时或小时．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的图像及性质是解题的关键．
24．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，．
(1)当时，求的面积；(2)在（1）的条件下，若点O为此内一点，且O到三边的距离相等．作、、分别垂直于、、，求的长；(3)若，过内的点P向三边分别作垂线、、，且，求的长．
【答案】(1)的面积为30；(2)；(3)．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）连接，根据三角形面积公式求出即可；（3）连接，构成6个直角三角形，分别根据3对直角三角形的斜边边长相等，可以列出方程求解．
【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，
即的面积为；
（2）解：连接，设，
, ，
∵，∴，解得：，即；
（3）解：如图，连接，
设，则，
在和中，有，
同理有：，，
将以上三式相加，得，即①，
又∵，∴②，
由得：，∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，主要是构建直角三角形，找到合适的直角三角形是解题的关键．
25．（2023.浙江省杭州市八年级期中）如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；(2)连接，求的度数；(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)1(2)(3)不改变，
【分析】(1)证，即可得出；(2)过O分别作于M点，作于N点，证，得出，得出平分，即可得出结论；(3)连接，由等腰直角三角形的性质得，，，则，证出，证，得，进而得出答案．
【详解】（1）解 : ， ，
，，
在 和中，，；
（2）解：过O分别作于点M点，作于点N，如图 所示：
在四边形中，，，
在与中，，
， ，
，，平分，；
（3）解：的值不发生改变，等于，理由如下：
如图：连接，
，，D为的中点，
，，，
，，，
，即，，
在和中，，
，．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
26．（2023.浙江省宁波市八年级期末）如图， 已知直线与轴、 轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形 ．
(1)求点的坐标；(2)将对折， 使得点的与点重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线的解析式 （图②）；(3)在坐标平面内， 是否存在点 （除点外）， 使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，
【分析】（1）对于直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后根据待定系数法求出直线CD的解析式即可；；（3）分三种情况，根据翻折的性质以及勾股定理、等面积法，即可求得符合题意的点P的坐标．
【详解】（1）对于直线y=-2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2
∴A（2，0），C（0，4），故答案是：（2，0），（0，4）；
（2）∵四边形是矩形，∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，
∵则B（2，4）．由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）2+22=x2，解得， 此时，AD=∴D（2，）；
设直线CD为y=kx+b，把D（2，），C（0，4）代入，得
解得，∴直线CD解析式为
（3）情形1：如图①，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，
由 得：PQ=3，
∴PQ=．∴xP=2+=，把x=代入y=-x+4，得y=．此时P（，）．
情形2：∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC， ∴△AOC≌△CBA
当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）．
情形3：如图②，由△APC≌△CBA得∠
过点P作于点G，AP与OC交于点H，
设则在中，
∵∴
在中，∴解得，
经检验，是原方程的解；∴∴
设则在中，
在中，∴
解得，，即∴
∴∴
综上，点P的坐标为
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解题的关键．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023.四川省广元市八年级期末）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
D、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（湖北省荆门市2023-2024学年八年级期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．9B． C．1D．0
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出，，可得结论．
【详解】解：，关于轴对称，
，解得，，，故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
3．（2023.浙江省绍兴市八年级期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：A、当，时，不符合，
∴，不是假命题的反例，不符合题意；
B、当，时，，而，
∴，，不是假命题的反例，不符合题意；
C、当，时，，而，
，不是假命题的反例，不符合题意；
D、当，时，，而，
，是假命题的反例，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．（2023.广东八年级期中）根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【详解】解：A.，不满足三边关系，本选项不合题意；
B.边边角三角形不是唯一确定的，本选项不合题意；
C.角角角不能唯一确定三角形，本选项不合题意；
D.边角边，能唯一确定三角形，本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握基本知识是解题的关键．
5．（2023.吉林松原九年级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求得不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
6．（2023.江苏八年级期末）关于一次函数的图像，下列叙述中正确的个数是（ ）
①必经过点；②与x轴的交点坐标是；③过一、二、四象限；④可由平移得到
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项①、②不符合题意；利用一次函数图象与系数的关系，可判断出选项③不符合题意；根据平移的规律可判断出选项④符合题意．
【详解】解：①当x=1时，y=2×1-4=-2，
∴一次函数y=2ε-4的图象经过点(1，-2)，选项①不符合题意；
②当y=0时，2x-4=0，解得∶x=2，∴与x轴的交点坐标是(2，0)，选项②不符合题意；
③∵k=2>0，b=-4<0，∴一次函数y=2x-4的图象经过第一、三、四象限，选项③不符合题意
④一次函数y=2x-4的图象可由y=2x向下平移4个单位得到，选项④符合题意 故选∶D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
7．（2023.江苏八年级期中）如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解．
【详解】解：连接，
∵D是边上的中点，∴，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，即：；故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
8．（2023北京一模）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
【答案】C
【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，可对各选项进行判断．
【详解】解：连接AQ，BP，如图，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，
若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．故选：C．
【点睛】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键.
9．（河南2023-2024学年八年级期中）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为底作等腰，若点C在第二象限，则它的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解与坐标轴的交点坐标，画出图形，过作于，过作于，再证明，可得，，设，可得，结合C的坐标互为相反数建立方程求解即可．
【详解】解：∵直线，当，则，
当，则，解得，∴，；
如图，为等腰直角三角形，，，
过作于，过作于，而，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，，设，∴，，
∴，∴，解得：，∴．故选B
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理的应用，坐标与图形，等腰直角三角形的定义，熟练的画出图形，作出辅助线构建全等三角形是解本题关键．
10．（2023.湖北八年级期中）如图，在中，，，M为BC的中点，于点E，其延长线交AB于点D，连接DM，下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，得△ACM≌△CBF，然后证△BDM≌△BDF（SAS），即可得出正确结论，作BH⊥FC交CE的延长线于点H，证△ACE≌△CBH，可得．
【详解】过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，
∵于点E，∴，∵，∴，
∵，，∴△ACM≌△CBF，
∴，，，∵M为BC的中点，∴，
∵，，BF⊥BC，∴，
∴△BDM≌△BDF（SAS），∴，∴，①正确；
，②正确；
∵，，∴，③正确；
作BH⊥FC交CE的延长线于点H，同理可证△ACE≌△CBH，
∴，∴，④不正确；
∵，，∴，
∵∴，⑤正确；故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，关键全等三角形．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023.浙江八年级期末）如图所示，图中的 °．
【答案】50
【分析】根据三角形的外角性质得到，然后把，代入计算即可得到的度数．
【详解】解：如图，
，而，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角的和．掌握三角形的外角性质是解答此题的关键．
12．（2023.重庆八年级期中）某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作.如果程序恰好进行了一次就停止，那么符合题意的x的最大整数值为 .
【答案】3
【分析】先依据程序图可得到一个关于x的不等式，解出x的值，从而可得出符合题意的最大整数值.
【详解】由程序图和题意得
整理得解得则的最大整数解为3故答案为：3.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，依据程序图，正确列出不等式是解题关键.
13．（2023江苏八年级12月月考数学试题）若函数是关于x的一次函数，且y随x的增大而增大，则m = ．
【答案】3
【分析】根据一次函数的定义和性质得到 ，然后解不等式和方程即可确定满足条件的m的值．
【详解】根据题意得 ， 解得m=3． 故答案为3．
【点睛】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．也考查了一次函数的性质．
14．（2023.江苏省苏州市八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a与b的数量关系为 。
【答案】6a+2b＝1
【分析】由作图可知，OP平分∠MON，推出点P的横坐标与纵坐标互为相反数，列出方程即可解决问题．
【详解】解：连接OP．由作图可知，OP平分∠MON，
根据角平分线的性质定理可知：可知点P到OM（x轴）、ON（y轴）的距离相等，
又∵点P在第二象限，∴点P的横坐标与纵坐标互为相反数，∴6a+2b-1＝0，∴6a+2b＝1，
故答案为：6a+2b＝1．
【点睛】本题考查基本作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（陕西2023-2024学年八年级期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在网格的格点上，边上的高长为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，为直角三角形，，
设边上的高为，，
，，上的高为2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，二次根式的乘法运算，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．（2022·江苏扬州·校考二模）已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则常数a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出不等式求解即可．
【详解】解：关于x的不等式，解得：，
关于x的不等式的解也是不等式的解，
，不等式的解集是，，解得：，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据同小取小列出关于a的不等式，注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
17．（2023.江苏省南通市海门区八年级期末）在平面直角坐标系中，，，点在第四象限．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】按照题意，作出等腰直角三角形，然后通过条件证得，设，然后利用勾股定理列出方程求解．
【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，，，作轴，垂足为点，轴，垂足为点，
轴，轴，，
，，
在和中，,，，
设，则，，由勾股定理得，，
，，则，解得，
点在第四象限，点的坐标为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，采用数形结合列方程是解题关键，
18．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点P．连接、，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，翻折得到，得到，当三点共线时，有最小值为，再根据，得到当三点共线时，的值最小，利用勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，∴，
∵为的中点，∴，连接，，
∵翻折，∴，，
∴，当三点共线时，有最小值为的长，即为，
∵，∴当三点共线时，的值最小，即为，
∴周长的最小值为；故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，利用轴对称解决周长最小问题，是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（2023.浙江省杭州市八年级期中）解下列一元一次不等式（组）：
(1)，(2)并把它的解集表示在数轴上；
【答案】(1)(2)，数轴表示见解析
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（2023.贵州省铜仁市八年级期末）已知：如图，，，，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，，可得∠BAD=∠CAE，从而证得△ABD≌△ACE，进而得到AD=AE，即可求证．
【详解】证明：∵，，∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，∵∠BAD=∠CAE，，．
∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
21．（2023.山东省德州市八年级期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（－4，5），（－1，3）．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)图见解析，B′（2，1）；(3)图见解析，P（﹣1，0）．
【分析】（1）根据点A、C的坐标，确定原点的位置，建立平面直角坐标系即可；（2）作出格点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作出点B关于x轴的对称点B1，连接A′B1，交x轴于点P，利用待定系数法求出直线A′B1的解析式，进而可得出P点坐标．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如上图所示：△A′B′C′即为所求，此时点B′（2，1）；
（3）解：如图所示，点P即为所求的点，设直线A′B1的解析式为，
∵A′（4，5），B1（-2，-1），
∴，解得，即，
当y=0时，x+1=0，解得x=﹣1，即P（﹣1，0）．
【点睛】此题考查了作图-轴对称变换，一次函数的有关性质，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．（2023.江苏省镇江市八年级期中）对x，y定义一种新的运算f，规定：（其中）．(1)若已知，，则______．
(2)已知，，求a，b的值；(3)在（2）问的基础上，
①若，则x的取值范围为______；
②若，求x的取值范围；
③若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，求k的取值范围．
【答案】(1)4(2)(3)①；②；③
【分析】（1）根据新定义运算列出算式求解；
（2）根据，，可得方程组，解方程即可；
（3）①由（2）可知，，再由，可得，解不等式即可；
②分两种情况讨论：当时，，时，，分别列不等式组求解即可；
③由，，可得，，根据题意可列不等式组，求得，再根据关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，可得，再进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵，，∴，故答案为：4；
（2）解：∵，，∴，解得；
（3）解：①由（2）可知，，∴，
∵，∴，解得，故答案为：；
②当时，，∴，解得，
当时，，∴，
∴不等式无解，∴x的取值范围为，
③∵m为正数，∴，，
∴，，
∵，∴，解得，
∵关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，∴，解得．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次不等式和一元一次不等式组、解二元一次方程组、根据不等式组的整数解求参数，理解新定义，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
23．（安徽省滁州市2023-2024学年八年级月考）已知甲、乙两地相距千米，小华骑自行车从甲地到乙地，小亮骑摩托车从乙地到甲地再返回乙地．两人同时出发，小华每小时行驶千米，小亮去时用了小时，回来时速度增加了，两人离甲地的距离千米与时间小时的函数关系如图所示．
(1)求出小亮与小华第一次相遇时，小华所用的时间以及此时他们离甲地的距离．(2)求出点的坐标及线段所对应的函数关系式；(3)直接写出小华和小亮相距千米时小华骑行的时间．
【答案】(1)两人第一次相遇时，小华所用的时间为小时，此时他们离甲地千米；
(2)的坐标为，；
(3)小华和小亮相距千米时，小华骑行的时间为小时或小时或小时．
【分析】（）根据函数图像算出小亮的速度，即可算出两人第一次相遇时小华所用的时间以及此时他们离甲地的距离；（）由图像可以得到点和点的坐标，用待定系数法可求出线段的函数关系式；（）分种情况求解即可．
【详解】（1），，（千米），
答：两人第一次相遇时，小华所用的时间为小时，此时他们离甲地千米．
（2）设线段的函数关系式是，
（小时），（小时），
∴点，，则，解得，∴，
∴点的坐标为，线段的函数关系式是；
（3）分种情况：相遇前：；
相遇后：；
小亮返回追上小华前：，；
答：小华和小亮相距千米时，小华骑行的时间为小时或小时或小时．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的图像及性质是解题的关键．
24．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，．
(1)当时，求的面积；(2)在（1）的条件下，若点O为此内一点，且O到三边的距离相等．作、、分别垂直于、、，求的长；(3)若，过内的点P向三边分别作垂线、、，且，求的长．
【答案】(1)的面积为30；(2)；(3)．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）连接，根据三角形面积公式求出即可；（3）连接，构成6个直角三角形，分别根据3对直角三角形的斜边边长相等，可以列出方程求解．
【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，
即的面积为；
（2）解：连接，设，
, ，
∵，∴，解得：，即；
（3）解：如图，连接，
设，则，
在和中，有，
同理有：，，
将以上三式相加，得，即①，
又∵，∴②，
由得：，∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，主要是构建直角三角形，找到合适的直角三角形是解题的关键．
25．（2023.浙江省杭州市八年级期中）如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；(2)连接，求的度数；(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)1(2)(3)不改变，
【分析】(1)证，即可得出；(2)过O分别作于M点，作于N点，证，得出，得出平分，即可得出结论；(3)连接，由等腰直角三角形的性质得，，，则，证出，证，得，进而得出答案．
【详解】（1）解 : ， ，
，，
在 和中，，；
（2）解：过O分别作于点M点，作于点N，如图 所示：
在四边形中，，，
在与中，，
， ，
，，平分，；
（3）解：的值不发生改变，等于，理由如下：
如图：连接，
，，D为的中点，
，，，
，，，
，即，，
在和中，，
，．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
26．（2023.浙江省宁波市八年级期末）如图， 已知直线与轴、 轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形 ．
(1)求点的坐标；(2)将对折， 使得点的与点重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线的解析式 （图②）；(3)在坐标平面内， 是否存在点 （除点外）， 使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，
【分析】（1）对于直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后根据待定系数法求出直线CD的解析式即可；；（3）分三种情况，根据翻折的性质以及勾股定理、等面积法，即可求得符合题意的点P的坐标．
【详解】（1）对于直线y=-2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2
∴A（2，0），C（0，4），故答案是：（2，0），（0，4）；
（2）∵四边形是矩形，∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，
∵则B（2，4）．由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）2+22=x2，解得， 此时，AD=∴D（2，）；
设直线CD为y=kx+b，把D（2，），C（0，4）代入，得
解得，∴直线CD解析式为
（3）情形1：如图①，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，
由 得：PQ=3，
∴PQ=．∴xP=2+=，把x=代入y=-x+4，得y=．此时P（，）．
情形2：∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC， ∴△AOC≌△CBA
当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）．
情形3：如图②，由△APC≌△CBA得∠
过点P作于点G，AP与OC交于点H，
设则在中，
∵∴
在中，∴解得，
经检验，是原方程的解；∴∴
设则在中，
在中，∴
解得，，即∴
∴∴
综上，点P的坐标为
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解题的关键．
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