专题12 动点类解答题精炼-2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼

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（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）先求出点A，点B坐标，由中点坐标公式可求点P坐标；
（2）过点P作PF⊥OA于F，由折叠的性质可得，可得QF＝PF＝2，即可求解；
（3）①先求出顶点C的坐标为（a，a+1），可得点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，即可求解；
②作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，利用待定系数法求出QC的解析式，联立方程组可求解．
解：（1）∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴点A（0，6），点B（4，0），
∵点P是线段AB中点，
∴点P（2，3）；
（2）过点P作PF⊥OA于F，
∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°，
∴，OQ＝QE，
∴QF＝PF，
∵点P（2，3），
∴QF＝PF＝2，OF＝3，
∴OQ＝5，
∵点A（0，6），
∴AO＝6，
∴AQ＝6﹣5＝1，
即AQ的长为1；
（3）①y＝a（x2﹣2ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）2+a+1，
∴顶点C的坐标为（a，a+1），
∴点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，
∵∠OQE＝90°，OQ＝5，
∴当y＝5时，x＝4，
又∵点P（2，3）在直线y＝x+1上，
∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜4；
②存在点C使|CQ﹣CE|最大，
理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°，
∴点E（5，5），
如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，
设直线QC的解析式为y＝kx+5，
∴6＝4k+5，
∴k＝，
∴直线QC的解析式为y＝x+5，
联立方程组可得，
解得：，
∴点C坐标为．
2. 如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
【答案】见解析。
【解析】证明：（1）连接OC，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠OAC，∴∠BAE＝∠BOC，∴CO∥AD，
∵∠D＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，∴∠D＝∠BCA，∴△BAC∽△CAD，
∴，∴AC2＝AB•AD，
∵AB＝2AO，∴AC2＝2AD•AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，
∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝45°，∴∠P＝∠Q．
3. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）解方程可得OA的值，再求出AE，BE，可得结论．
（2）分两种情形：如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，如图3中，当259＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，分别求解即可．
（3）如图4中，根据平行四边形的定义，画出图形，求出点F，点M的坐标，可得结论．
解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，
∵OA是方程的根，
∴OA＝5，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝5，
∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，
∴B（8，4）．
（2）如图1中，当点F落在OB上时，AN＝t，DM＝t．AD＝t，
∵FM∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．
如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，S＝•（AC+FM）•DM＝•（t+t﹣t）•t＝t2．
如图3中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH＝t2﹣××[﹣（5﹣t）]2＝﹣t2+t﹣．
综上所述，S＝．
（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：
∵点F落在OB上时，t＝，
∵DM＝FM＝，AD＝，AC＝，
∴PF＝PM﹣FM＝5﹣＝，OC＝5﹣＝，
∴F（，），M（，）．
∴P（，），P″（﹣，﹣），P′（，）．
4. 如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）与能够全等，此时
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，从而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四边形EFGH是平行四边形，即可求证；
（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质可得∠CBF=∠CDE，，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意得：，
在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，
∵∠ABC=60°，，
∴，∠CBO=30°，
∴，
∴FG=EH，
∵，DH⊥BH，
∴FG∥EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠H=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：能，
∵AB∥CD，∠ABC=60°，
∴∠DCH=60°，
∵∠H=90°，
∴∠CDE=30°，
∴∠CBF=∠CDE，，
∴，
∵BC=DC，
∴当∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE时，与能够全等，
当∠BFC=∠CED时，，此时BF=DE，
∴，解得：t=1；
当∠BFC=∠DCE时，BC与DE是对应边，
而，
∴BC≠DE，则此时不成立；
综上所述，与能够全等，此时．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5. 如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）或 （3）或
【解析】【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边△CPQ（点B、点Q在AC同侧），设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠部分的面积为S．
（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围）；
（2）当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；
（3）当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）．
【答案】见解析
【解析】（1）如图1中，当点Q落在△ABC内部时，S＝×（2x）2＝x2．
（2）如图2中，当点Q落在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H．
∵∠QHA＝∠ACB＝90°，
∴QH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴CP＝8，CH＝PH＝4，
∴S＝×82＝16．
（3）如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N作NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT∥PQ交AC于T．
由（2）可知，CH＝HT＝4，CT＝NT＝8，NH＝4，AT＝4，
∴S△BCN＝×6×4＝12，
∵NT∥PM，
∴△AMP∽△ANT，
∴＝，
∴＝，
∴MJ＝12﹣2x，
∴S＝S△ABC﹣S△BCN﹣S△AMP＝×6×12﹣12﹣×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝﹣2x2+24x﹣48（4＜x≤6）．
7. 如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．
（3）点Q在边上，，当时，求的长．
【答案】（1）为直角三角形，理由见解析 （2）见解析 （3）或12
【解析】【分析】（1）由点O是的中点，可知，由等边对等角可以推出；
（2）延长AM，BC交于点E，先证，结合（1）的结论得出PC是直角斜边的中线，推出，进而得到，再通过等量代换推出，即可证明；
（3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明，，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，FP，再通过即可求出DM．
【小问1详解】
解：为直角三角形，理由如下：
∵点O是的中点，，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
小问2详解】
证明：如图，延长AM，BC交于点E，
由矩形的性质知：，，
∴，
∵ 点M为边中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，即C点为BE的中点，
由（1）知，
∴，即为直角三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，
由已知条件，设，，
则，，．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
同理，∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∴，
解得，
∴，
将代入得，
整理得，
解得或．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，
当时，，此时点M在DC的延长线上，
综上，的长为或12．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K字模型．
8. 如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点．设．
（1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值．
（2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由．
【答案】（1）见解析， （2）2，理由见解析
【解析】【分析】（1）①连接BF、CE，证明四边形BFCE为平行四边形即可，②由题意可知四边形BFCE为菱形，进而可证明为等边三角形，即可求解；
（2）连接AF，AO ，由垂直平分线的性质易证，从而可知，再由正方形的以及圆的相关性质可证得，设正方形边长为x，在 中，由正切的定义即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示：连接BF、CE，
∵菱形和菱形（点，，共线），
∴点G、B、E共线，
，
，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴与相互平分，
即：无论为何值，与相互平分；
又∵，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形和菱形，
，
为等边三角形，
；
小问2详解】
如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，
∵垂直平分
，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点在以O为圆心，为直径且处于菱形内的圆弧上，
，
，
，
，
在和 中，
，
，
，
∵，菱形，
∴四边形BCFG为正方形，
，
，
设，则 ， ，
在 中，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆中的相关性质，直径所对的圆周角为90度，正切的定义等，熟练掌握以上知识点，并能综合运用是解题的关键．
9. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式，
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为
（2）点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为
（3）存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【解析】【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求解析式；
（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式，从而找出对应点P坐标，进而求出周长；
（3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC是否为对角线分情况进行分析，设出点G的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．
解：（1）将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得：
，解得 ，
所以抛物线解析式为，C(0，3)
设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得：
，解得 ，
所以直线BC的函数表达式为
（2）
解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得：
整理得
，解得 ，
将代入，解得，
将代入得，
即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,)
将代入得，
则此时，
因为△PEF为等腰直角三角形，
则△PEF的周长最大为
（3）答：存在．
已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ(， )，N(1，n)，
当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，，则G点坐标为(2，3)；
当BC为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得： 或 ，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)
故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论．
10. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，
则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，csα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；
（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，
理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，
故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；
G走过的最短路程为C′D′＝＝2；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，
∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC（AAS），
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）．