专题15 与相似三角形有关必考的解答题精炼-2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼

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（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
2. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）AE=9
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值．
【小问1详解】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．
3. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC；
（2）由相似三角形的性质可得＝()2＝，即可求解．
证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴＝()2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
4. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
【小问2详解】
证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
5. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）2 （2）6
【解析】【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【小问1详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
6. （2022浙江宁波）
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】（1）证明见详解 （2） （3）
【解析】【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
7. （2022山东烟台）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②
【解析】【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【小问1详解】
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【小问2详解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
【小问3详解】
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
8. 如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是的切线；
（2）求证：∽；
（3）若，，求点O到AD的距离．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点O到AD的距离为
【解析】【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证；
（2）由，，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽；
（3）过点O作于点E，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AD平分，
∴，
∴．
又∵BC为直径，
∴O为BC中点，
∴．
∵，
∴．
又∵OD为半径，
∴PD是的切线；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形ABDC为圆内接四边形，
∴．
又∵，
∴，
∴∽．
（3）过点O作于点E，
∵BC为直径，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由（2）知∽，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴∽，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴点O到AD的距离为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．