专题24 反比例函数与一次函数综合类解答题精炼-2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼

这是一份专题24 反比例函数与一次函数综合类解答题精炼-2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼，文件包含专题24反比例函数与一次函数综合类解答题精炼原卷版docx、专题24反比例函数与一次函数综合类解答题精炼解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
1. 如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．
【答案】见解析。
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴3＝﹣，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B（﹣4，3），A（3，﹣4），
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：（﹣1，0），
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
（3）不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．
2. 如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【答案】（1） （2）1
【解析】【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：当y=0时，即x-1=0，
∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=；
（2）解：方程组的正数解为，
∴点B坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S△BCE=×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
3. 已知：点 A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（ m≠0）的一个交点．
（1）求k 、m的值：
（2）在第一象限内，当时，请直接写出x的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）把点A（1，3）分别代入和，求解即可；
（2）直接根据图象作答即可．
【详解】（1）点A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（m≠0）的一个交点，
把点A（1，3）分别代入和，
得，
；
（2）第一象限内，，
由图像得．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，图象法解不等式，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
4. 如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【答案】见解析
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
5. 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．
【答案】（1） （2）或者
【解析】【分析】（1）根据A、B点在一次函数上，即可出A、B点的坐标，再将A点坐标代入到反比例函数解析式中即可求出k值，则问题得解；
（2）依据图象以及A、B两点的坐标可知找出一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，则问题得解．
【详解】(1)∵A、B点是一次函数与反比例函数的交点，
∴A、B点在一次函数上，
∴当x=-4时，y=1；当y=-4时，x=1，
∴A(-4,1)、B(1,-4)，
将A点坐标代入反比例函数，
∴，即k=-4，
即反比例函数的解析式为：
(2)一次函数值小于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∵A(-4,1)、B(1,-4)，
∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为：或者．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量x的取值范围等知识，注重数形结合是解答本题的关键．
6. 已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【小问1详解】
解：把代入，得
，
解得，，
所以反比例函数解析式是；
【小问2详解】
存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，
和，
，
和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
7. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或
【解析】【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
【小问2详解】
当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
8. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为，过作轴，交过B点的一次函数的图像于D点，交反比例函数的图像于E点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式：
（2）求DE的长．
【答案】（1）y＝； （2）
【解析】【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把B的坐标代入y＝x+b即可求得b的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
（2）利用两个函数的解析式求得D、E的坐标，进一步即可求得DE的长度．
【小问1详解】解：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝|k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝，
∵一次函数y＝x+b的图像过点B（3，0），
∴×3+b＝0，解得b＝，
∴一次函数为 ；
【小问2详解】
解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图像于D点，
∴当x＝5时y＝＝；，
∴E（5，），D（5，3），
∴DE＝3﹣．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
9. 如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
【答案】（1）y＝；y＝x＋7；（2）点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入y＝，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y＝，求出n的值，即可得点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y＝kx＋b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m﹣7|，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
【详解】（1）把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，
则y＝．
把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y＝kx＋b过点A（2，6），点B（12，1）得，
解得，
则所求一次函数的表达式为y＝x＋7；
（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE＝|m﹣7|．
∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5
∴|m﹣7|＝1
∴m1＝6，m2＝8
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
10. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
【答案】（1），图见解析
（2）或 （3）12
【解析】【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
（2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案；
（3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：把，分别代入得，
，，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
11. 反比例函数图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式为；函数图象见解析；
（2）或 （3）2
【解析】【分析】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可；
（2）根据交点坐，结合函数图象即可解答；
（3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点，
∴把，分别代入，得，
，
解得，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
画出函数图象如下图：
【小问2详解】
∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
如图，
对于，当时，，
解得，，
∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）
∴
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
12. 如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x