重庆市2024届高三上学期11月月度质量检测数学模拟试题（含答案）

这是一份重庆市2024届高三上学期11月月度质量检测数学模拟试题（含答案），共18页。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，使”的否定是（ ）
A．，使B．不存在，使
C．，使D．，使
2．若复数，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，，，则满足上述条件的集合的个数是（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列满足，，记，则有（ ）
A．B．
C．D．
5．我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（ ）
A．B．
C．D．
6．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9．下列命题中，错误的是（ ）
A．垂直于同一个平面的两个平面平行
B．三个平面两两相交，则交线平行
C．一个平面与两个平行平交，则交线平行
D．平行于同一条直线的两个平面平行
10．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A．面积的最大值是
B．
C．
D．面积的最大值是
11．已知定义在R上的函数，对任意的，都有，且，则（ ）
A．或1B．是偶函数
C．，D．，
12．设集合M是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称t为集合M的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．平面上的三个单位向量，，满足，则，，两两间的夹角中最小的角的大小为 ．
14．已知，则关于的不等式的解为 .
15．数列的首项，且对任意，恒成立，则 ．
16．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递 （填增或减），函数的零点个数为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)求的最大值.
19．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.
(1)求（用表示）；
(2)设数列满足：其中，是的前项的积，求证：，.
20．牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；
(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ()
21．已知函数
(1)若，求取值范围；
(2)证明：．
22．已知函数.
(1)求的值；
(2)，定义，求的解析式，并求出的最小值.
1．D
【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.
【详解】命题“，使”的否定是，使.
故选：D.
2．A
【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵，
∴，解得.
故选：A.
3．D
【分析】由题可得，则集合的个数即为的子集个数.
【详解】由题，，则满足上述条件的集合就是的子集，
则集合的个数是4.
故选：D
4．D
【分析】根据已知递推公式，可求出的值，即可判断A、B；根据递推公式可推得，即，从而得出是以3为首项，4为公差的等差数列，求出通项公式，判断C、D.
【详解】对于A项，由已知可得，故A项错误；
对于B项，由已知可得，，，故B错误；
对于C项，由已知可得，，，
即，所以.故C项错误；
对于D项，因为，，
所以，是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以，.故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】，根据定义域得到，根据得到，得到对称中心.
【详解】，为奇函数，
定义域为关于原点对称，故，，
，即，
即，故，
故，即对称中心为.
故选：A.
6．B
【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值.
【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，即，
在上单调递增.
，即.
故选：B
7．B
【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.
【详解】
，的周期为，且
令，则，
则，由的值域为，
故，
则，故，
由知，，或.
即为函数的最大与最小值，或最小与最大值，
当对应图象上相邻两最值点时，的值最小，
故.
故选：B.
8．C
【分析】首先对“ 内一点M，并且 ”做出几何解释，是在 翻折后的三角形外接圆的劣弧上，建立坐标系，运用圆的参数方程求解.
【详解】如图所示，
以的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如图，
再将 延x轴翻折得 ，求得的外接圆的圆心为Q， ， M点的劣弧 上，
不妨设等边的边长为2，可得：，，，，
点所在圆的方程为.
设参数方程为：，
，
，
其中 ，
即，解得，；
故选：C.
9．ABD
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可得出真命题.
【详解】由题意，
A项,垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故A错误;
B项,三个平面两两相交，则交线平行或相交, 故B错误;
C项,由面面平行的性质定理知，一个平面与两个平行平交，则交线平行,故C正确;
D项,平行同一直线的平面，可以平行，也可以相交，故D错误;
故选:ABD.
10．BD
【分析】化简，利用两角和的正弦公式可得，结合额正弦定理角化边可判断B；利用结合B的结论化简并结合二次函数性质可得面积的最大值，判断A，D；假设正确，结合面积公式推出矛盾，判断C.
【详解】由题意，得，
即,
即，结合正弦定理得，B正确；
由得
，
当，即时，面积取到最大值是，A错误，D正确，
对于C，假设，由于，，故，
则，
这与三角形面积有意义不相符，C错误，
故选：BD
11．BD
【分析】用赋值法，令求得判断A，令判断B，求出判断C，令得出递推关系，进而得出函数的周期性，然后由周期性计算判断D．
【详解】在中，又有，
令得，所以，A错；
令得，所以，是偶函数，B正确；
令得，所以，
令得，所以，
令得，，C错；
令得，所以，
由此，即，
所以，是周期为6的周期函数，
，，，
，
所以，D正确．
故选：BD．
方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用．
12．ACD
【分析】A选项，可取，满足要求；B选项，可举出反例；C选项，当且时，满足，C正确；D选项，由于时，，故可得到总存在足够大的使得，D正确.
【详解】A选项，对于任意，显然，使得，
即0为集合的聚点，A正确；
B选项，对于任意，不妨令，因为，解得，
因为在集合中不存在，故B错误；
C选项，对于任意，存在且，即且时，
使得，
即0为集合的聚点，C正确；
D选项，令时，，
对于任意，总存在足够大的使得，
故0为集合的聚点，D正确.
故选：ACD
集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
13．
【分析】对两边同时平方化简可求出同理可得，，即可得出答案.
【详解】对两边同时平方可得：，
则，则，
由可得：，两边同时平方可得：
，则，
则，
由可得：，两边同时平方可得：
，则，
则.
所以，，两两间的夹角中最小的角为所成角，大小为.
故
14．
【分析】确定在上单调递增，且，变换得到，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】，则在上恒成立，
故在上单调递增，且，
，故，则，
设，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
，故恒成立，，即.
故答案为.
15．
【分析】根据题意先求得，再将原条件转化为，再由递推关系可推导出是为等差数列，从而求得求得其通项公式，进而求解即可．
【详解】依题意可得，得，
又，则，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以．
故．
16． 增 9
【分析】①根据在上具有单调性得到，根据为的一个零点得到，综合可得，，然后根据复合函数的单调性判断即可；②将的零点个数转化为的图象与图象的交点个数，然后根据图象求交点个数即可.
【详解】因为在上具有单调性，
所以，即，．
又因为，
所以，即，
只有，符合要求，此时．
当时，，
所以在上单调递增．
因为的最大值为1，而，，
作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．
故增；9.
17．(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据的关系即可作差得，进而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，即可根据等比通项求解，
（2）根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）∵ ，∴ ,
两式相减得：，∴ ,
∴ ，
令得：，∴ ，,
∴ 是以1为首项，2为公比的等比数列,
∴ ，即．
（2）由（1）得：，是以1为首项，为公比的等比数列，
∴
18．(1)
(2).
【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得，结合角的范围即可求解；
（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得，结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）方法1：由及正弦定理可得：
，
所以，
故，
因为，即，故，
所以，又，所以.
方法2：由及余弦定理可得：
，
所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理可知，
即，其中，
,
故当时，的最大值为.
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由递推关系可得，应用累加法、等差数列前n项和公式求；
（2）由（1）及递推关系得，进而得到通项公式，即得，则，利用导数证，放缩法即可证结论.
【详解】（1），
∴.
（2）由（1）知，，，
而也满足上式，故，
∴ 且，故且，即，
∴，则，
令且，则，即在上递减，
所以，即在上恒成立，故（当且仅当时取等号），
所以，，即，，证毕.
20．(1)，
(2)3年
【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；
(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.
【详解】（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，则上式化为，
即，
解得，即，所以，，
即，所以.
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，对的取值进行讨论，分与两类，分别研究单调性，验证是否满足题意，可得取值范围.
（2）根据（1）中所求范围，利用函数，对进行赋值，分别证明不等式左右两侧恒成立.
【详解】（1）
（i）当时，得在上单调递增，所以．
（ii）当时，，，，，
所以当，单调递减，矛盾，所以此时不满足题意．
综上：，则．
（2）先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当时，有
令得，
，，
累加得：
所以即右边不等式得证．
下面证左侧不等式，如下：
不妨设，，单减
所以即
令，，，，累加得
当，
∴
当时，，当时，
也满足不等式，即左边不等式得证．
本题考查了运用导数解决函数问题的综合能力，重点是利用题干中所给函数模型进行构造赋值，证明不等式恒成立.
22．(1)5
(2)，最小值为2
【分析】（1）求出即可求出；
（2）判断增减性，增减性，算出，求出即可求出的最小值.
【详解】（1），
（2）函数的定义域是，单调递增，
在上单调递减，并且，
所以当时，，当时，，
所以，
函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
所以函数的最小值为.