江西省定南县第三中学2023-2024学年八年级上册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份江西省定南县第三中学2023-2024学年八年级上册第一次月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
1．在杭州亚运会上，中国代表团以201金111银71铜的成绩高居奖牌首位，金牌数和奖牌总数均遥遥领先于其他代表团．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，下列条件中不能使的是（ ）
A．B．C．D．
4．若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线 ②∠ADC=60°
③点D在AB的垂直平分线上 ④AB=2AC．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是 .
8．分解因式 ．
9．等腰三角形的一边长是6，另一边长是12，则它的周长为 ．
10．若，，则 ．
11．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 ．
12．若，则 ．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：
（2）已知，，，证明：．
14．如下图，是以为底边的等腰三角形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，已知点D为内一点，，画出的垂直平分线；
(2)如图2，已知，画出的垂直平分线．
15．已知与的积与是同类项，求m，n的值．
16．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=50°，求∠AEC的度数.
17．先化简，再求值．，其中，．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，某学校在校门口规划了一块长为米，宽为米的长方形区域，在最左边圈出一小块正方形区域修建了一间临时观察室，其余部分为进出学校人员体温检测区．
(1)求体温检测区的面积（用含a，b的式子表示）．
(2)若，，求体温检测区的面积．
19．甲乙二人共同计算2（a+x）(b+x)，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到结果为；由于乙抄漏了2，得到的结果为
（1）求a、b的值 ；
（2）求出正确的结果．
20．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图①，∠C=90°，∠B=45°，点E在边AB上，AE=AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段；
（2）如图②，∠C≠90°，如果∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已如：如图，在中，，，点D是边上一点，且，过点C作于点E，与交于点F．
(1)若，求：
①的大小；
②的大小；
(2)求证：．
22．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）
＝y2﹣8y+16（第二步）
＝（y﹣4）2（第三步）
＝（x2+3x﹣4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4进行因式分解．
六、解答题（本大题共12分．）
23．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：
【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
(1)已知a﹣b＝1，a2+b2＝9，求ab的值；
(2)已知a+＝4，求（a﹣）2的值．
【拓展提升】
(3)如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE=8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：B、C、D均不能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D是轴对称图形，不符合题意；
A能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，积的乘方法则，分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：A、，原计算错误，不合题意；
B、，原计算错误，不合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不合题意．
故选：C．
3．D
【分析】根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，再根据全等三角形的判定定理分别添加四个选项所给条件进行分析即可．
【详解】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，
A、添加可利用SAS定理判定，故此选项不合题意；
B、添加可利用AAS定理判定，故此选项不合题意；
C、添加 可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加不能判定，故此选项符合题意；
故选D ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．D
【分析】根据多边形的外角和为求解即可．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都是，
∴这个多边形的边数为，
故选：D．
【点睛】本题考查多边形的外角和，熟知多边形的外角和为是解答的关键．
5．C
【分析】本题考查整式运算，根据单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除单项式计算即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确．
【详解】解：①AD是∠BAC的平分线，说法正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，
因此∠ADC=60°正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，
④∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
故选D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．
7．三角形的稳定性
【分析】根据三角形的稳定性分析，即可求解．
【详解】解：木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是利用三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
8．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
9．30
【分析】分类讨论，当6为腰时和12为腰时两种情况，分别计算即可．
【详解】解：当6为腰时，6+6=12，构不成三角形；
当12为腰时，周长是 6+12+12=30；
故答案为30.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是能够根据情况分类讨论，得出结果要检查是否能构成三角形．
10．3
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，原式利用同底数幂的除法运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：∵，
．
故答案为：3．
11．16
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，又∠ABE＝∠D＝90°，而∠EAF＝90°由此可以推出∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，进一步得到∠DAF＝∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB＝S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积＝正方形的面积，从而求出其面积．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∴△AEB≌△AFD，
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=4×4=16；
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证△AEB≌△AFD．
12．或2或3
【分析】本题考查乘方和零次幂的性质，根据1的任何次方都是1，的偶次方是1，以及任何一个不为零的数的零次幂都是1解答即可．熟知1的任何次方都是1，的偶次方是1是解题关键．
【详解】解：当时，，原式为：，符合题意；
当时，，原式为：，符合题意；
当时，，原式为：，符合题意．
综上所述，或2，3．
故答案为：或2或3．
13．（1）；（2）见解析
【分析】此题考查了积的乘方运算的逆运算，全等三角形的性质和判定，
（1）利用积的乘方运算的逆运算法则求解即可；
（2）首先由得到，然后证明出，即可得到．
解题的关键是熟练掌握以积的乘方运算的逆运算法则，全等三角形的性质和判定定理．
【详解】解：（1）解：原式
；
（2）∵
∴
即
在和中
∴
∴．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的逆定理得到点A和点D在线段的垂直平分线上，得到所在直线即为的垂直平分线；
（2）连接，交于点H，连接交于点G，即为所求．
【详解】（1）如图所示，直线即为所求；
（2）如图所示，直线即为所求；
15．，
【分析】本题考查了单项式与单项式相乘的运算法则，以及同类项的定义，先计算和的积，然后根据积与是同类项，即可求出m、n的值．解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
【详解】解：∵
∴与是同类项．
∴
解得．
所以
16．115°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求出∠DAC，再根据角平分线的定义求出∠DAE，然后求出∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEC=∠BAE+∠B代入数据计算即可得解．
【详解】∵AD⊥BC，∠B=50°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°，
∴∠BAE=40°+25°=65°，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=65°+50°=115°．
【点睛】考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与定理并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
17．；
【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
，
把代入原式，得：
∴原式．
18．(1)体温检测区的面积为
(2)当，时，体温检测区的面积为16平方米
【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算——化简求值，
（1）体温检测区的面积矩形面积临时观察室面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．
【详解】（1）依题意，得
．
答：体温检测区的面积为．
（2）当，时
∴
答：当，时，体温检测区的面积为16平方米．
19．（1）a＝3，b＝5；（2）2x2＋16x＋30
【分析】（1）先按甲、乙错误的做法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】解：（1）依题意得2(x-a)(x＋b)＝2x2＋2(-a＋b)x－2ab＝2x2＋4x-30，
∴2(-a＋b)＝4，即-a＋b＝2①，
(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋8x＋15，
∴a＋b＝8②，
由①，②得a＝3，b＝5 ；
（2）正确结果是2(x＋3)(x＋5)＝2x2＋16x＋30．
20．（1）DE和DC，（2）证明见解析
【分析】（1）先写出图中所有与BE相等的线段，再根据题目中的条件和全等三角形的判定和性质即可说明有与BE相等的线段成立的条件；
（2）仿照（1）中的方法，可以证明AB=AC+CD．
【详解】解：（1）与BE相等的线段是DE和DC，
理由：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴DE=DC，∠DEA=∠C=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=DE=DC，
即与BE相等的线段是DE和DC；
（2）在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=ED，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴ED=EB，
∴EB=CD，
∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．(1)①；②
(2)见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，
（1）①根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
②过点A作于点G，首先根据等腰三角形三线合一性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据题意得到，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质．
【详解】（1）解：①∵，，
∴．
②过点A作于点G，如图所示：
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴．
22．（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法
故选：C；
（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25
＝y2﹣8y+16
＝（y﹣4）2
＝（x2+3x﹣4）2
=(x-1)2(x+4)2；
故答案为：(x-1)2(x+4)2；
（3）（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4
设9x2 6x =y，
原式=(y+3)（y-1）+4，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（9x2 6x +1）2，
=（3x-1）4．
【点睛】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
23．(1)ab=4；
(2)12；
(3)14．
【分析】（1）把a-b=1两边平方，利用完全平方公式化简后将a2+b2=9代入计算即可求出ab的值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值；
（3）阴影部分面积相等，都为大小两个正方形边长乘积的一半，求出即可．
【详解】（1）解：把a-b=1两边平方得：（a-b）2=1，
化简得：a2+b2-2ab=1，
将a2+b2=9代入得：9-2ab=1，
解得：ab=4；
（2）解：把a+=4两边平方得：（a+）2=16，
化简得：a2++2=16，即a2+=14，
则原式=a2+-2=14-2=12；
（3）解：设BG=a，EG=b，则有a+b=8，a2+b2=36，
把a+b=8两边平方得：（a+b）2=64，
化简得：a2+b2+2ab=64，
将a2+b2=36代入得：36+2ab=64，
解得：ab=14，
则S阴影=2×ab=ab=14．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
方法一
方法二
∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25．
∴a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣6＝19．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣6＝19．