广东省惠州市尚书实验分校2023-2024学年八年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份广东省惠州市尚书实验分校2023-2024学年八年级上册月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数据为三角形的三边，能构成三角形的是（ ）
A．4，8，7B．3，4，7C．2，3，7D．5，2，2
3．若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．下列计算正确的是（ ）
A．(ab) ＝abB．2(a＋1)＝2a＋1C．a＋a＝aD．a÷a＝a
5．如图，点F、C在上，且．若，则的长为（ ）
A．2B．5C．7D．12
6．分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍
7．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A．24B．48C．12D．2
9．如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点D．三边的垂直平分线的交点
10．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．计算： ．
12．在中，，，则的值是 ．
13．设ΔABC 三边分别为 a、b、c,其中 a,b 满足＋（a－b－4）2 =0，则第三边 c的取值范围为 ．
14．如图是由射线、、、组成的平面图形，则 °．
15．如图，菱形的边长为，点为边的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为 ．
16．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝ ．
三、解答题（一）（本大题共4小题，17、18每题4分，19、20每题6分，共20分）
17．计算：
18．已知：如图，，求证：．

19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，在中，．

(1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的周长
四、解答题（二）（本大题共3小题，21题8分，22、23每题10分，共28分）
21．中，，D是中点，于E，于F，求证．

22．如图，于E，于F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知 ，，求的长．
23．已知的三边长分别为，，．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分）
24．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或-1时，的值均为6，于是小明给出一个定义：关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于___________对称；
(2)若关于的多项式关于对称，求的值；
(3)若整式关于对称，试直接写出实数的值．
25．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判定即可．
【详解】解：“美”能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，可以看作是轴对称图形，A符合题意；
“丽”、“经”、“开”不能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不可以看作是轴对称图形，B、C、D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形，找轴对称图形的对称轴是解题的关键．
2．A
【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可．
【详解】解：A．，能构成三角形，符合题意；
B．，不能构成三角形，不符合题意；
C．，不能构成三角形，不符合题意；
D．，不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系定理，熟记三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
3．D
【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
又∵多边形的外角和等于，
∴多边形的边数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于是解此题的关键．
4．A
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，去括号的法则，同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【详解】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A符合题意；
B、去括号都乘以括号前的倍数，故B不符合题意；
C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C不符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
5．A
【分析】根据全等三角形的性质得到，从而可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键．
6．B
【分析】将原分式中的x、y换成、，利用分式的性质化简后与原分式比较即可求解．
【详解】解：根据题意，，
即分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值扩大2倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的性质，掌握分式的性质是解答的关键．
7．A
【分析】根据角平分线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，平分，，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
8．C
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的角平分线、中线和高，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴要使凉亭到草地三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点上．
故选：D．
10．A
【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．
【详解】试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，
∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴PA平分∠BAC，∴①正确．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】把化为，再计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
12．
【分析】利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形的内角和等于”是解题的关键．
13．4＜c＜6
【分析】首先根据非负数的性质计算出a、b的值，再根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得c的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得，
根据三角形的三边关系定理可得5-1＜c＜5+1，
即4＜c＜6．
故答案为：4＜c＜6．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
14．
【分析】根据多边形的外角和为求解即可．
【详解】解：由图可知，、、、为组成的四边形的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为是解题的关键．
15．
【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于点P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
【详解】解：连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC=4，
∴△DCB是等边三角形，
∴BE=CE=2，
∴DE⊥CB(等腰三角形三线合一的性质)，
∴在Rt△CDE中，DE=，
即PB+PE的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称和最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
16．2或4
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解．
【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝6，
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
∵AD为偶数，
∴AD＝2或4，
故答案为2或4．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，关键是根据倍长中线这个辅助线作法得到三角形全等，进而求解即可．
17．
【分析】先把变形为，再运用平方差公式计算．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知平方差公式的结构特征．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角线的判定．直接利用进行证明即可．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
19．，
【分析】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握“”和“”是解题的关键．
【详解】解：原式
当，时，
原式
．
20．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧即可完成作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求；

（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长:，
∵，
∴的周长为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．熟记垂平分线的性质是解题关键．
21．见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可．
【详解】证明：∵，D是中点，
∴，，
∵于E，于F，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可．
（2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．
【详解】（1）证明：，，
，
在与中，
，
，
，
又，，
平分．
（2）解：，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键．
23．(1)是等边三角形
(2)的周长的最大值为19，最小值为13
【分析】（1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
∴根据三角形三边关系可知，
∵为整数，
∴当时，的周长为最大，即为，
当时，的周长为最小，即为．
24．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（2）求出的对称轴，令对称轴等于3即可；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可．
【详解】（1）解：，
假设，
则或，
，
关于对称．
（2）解：，
关于的多项式关于对称，
关于对称，
，
.
（3）解：
则原式关于对称，
整式关于对称，
．
【点睛】本题考查了整式乘法，熟练掌握对配方法的理解和运用，以及整式加减相关的新运算理解是解此题的关键．
25．（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠BQC＝180°．理由见解析；（3）∠A的度数是90°或60°或120°．
【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
（2）证明∠Q=90°-∠A，∠BPC=90°+∠A，可得结论．
（3）首先证明∠A=2∠E，∠ECQ=90°，再分四种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）如图①中，

∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，

∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，

∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．