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初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数优秀课时训练
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数优秀课时训练，文件包含专题285锐角三角函数章末八大题型总结培优篇人教版原卷版docx、专题285锐角三角函数章末八大题型总结培优篇人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32422" 【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32422 \h 1
\l "_Tc32720" 【题型2 在网格中求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32720 \h 2
\l "_Tc25988" 【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】 PAGEREF _Tc25988 \h 3
\l "_Tc15935" 【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 PAGEREF _Tc15935 \h 3
\l "_Tc1590" 【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】 PAGEREF _Tc1590 \h 5
\l "_Tc10444" 【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】 PAGEREF _Tc10444 \h 5
\l "_Tc16076" 【题型7 解双直角三角形】 PAGEREF _Tc16076 \h 6
\l "_Tc31730" 【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】 PAGEREF _Tc31730 \h 7
【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】
【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，AB=BC=AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，则sin∠B= ．
【变式1-1】（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，csA=35，则菱形的周长为 ．
【变式1-2】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥CD交BC于点E，若tanA=43，BE=7，则DE的长为 ．
【变式1-3】（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA= ．
【题型2 在网格中求锐角三角函数值】
【例2】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角( ∠O )为60°，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠BPD的值是( )
A．13B．12C．33D．32
【变式2-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．
【变式2-2】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，使点B′落在射线AC上，则cs∠B′CB的值为 ．
【变式2-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
A．277B．77C．22D．32
【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】
【例3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在△ABC中，若csA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【变式3-1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）计算： 2sin30°+2cs45°−3tan60°+π−50
【变式3-2】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
(1)12sin30°+22cs45°+sin30°tan60°；
(2) sin45°⋅cs45°+sin60°⋅tan45°tan45°⋅tan60°+3tan230°+tan45°cs30°．
【变式3-3】（2023秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）在△ABC中，2csA−1+3−tanB2=0，则△ABC的形状是 ．
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例4】（2023·江苏·九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、纵轴的正半轴交于点A、点B，点O和点C关于AB对称，连接CA、CB，过点C作x轴的垂线段CD，交x轴于点D
(1)移动点A，发现在某一时刻，△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标；
(2)移动点A，当tan∠OAB=12时求点C的坐标．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数y=−1x(x<0)，y=4x(x>0)的图像上，则sin∠ABO的值为（ ）
A．13B．64C．25D．55
【变式4-2】（2023春·江苏连云港·九年级专题练习）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，OA=AB，∠OAB=90°，将△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角度数至△OA′B′，此时反比例函数y=kxk>0刚好经过OA′，OB′的中点，则tan∠AOA′= ．
【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx−152交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB=34．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】
【例5】（2023·全国·九年级假期作业）已知sin30°=a+1a，则一元二次方程x2+ax+2=0解的情况是（ ）
A．有两个相同的实数根B．有两个不同的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【变式5-1】（2023秋·山东东营·九年级校联考阶段练习）关于x的一元二次方程x2−2x+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α= ．
【变式5-2】（2023·北京朝阳·九年级专题练习）α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－22sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．30°或150°D．60°
【变式5-3】（2023春·九年级单元测试）若csα是关于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一个根，则锐角α＝ ．
【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】
【例6】（2023秋·广东河源·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=83，∠A=60°，解这个直角三角形．
【变式6-1】（2023秋·甘肃张掖·九年级校考期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1）已知a＝6，b＝23，解这个直角三角形
（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形
（3）已知sinA＝12，c＝6，解这个直角三角形．
【变式6-2】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，∠A−∠B=30°，a−b=23−2，解这个直角三角形．
【变式6-3】（2023秋·山东烟台·九年级统考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+c=30，∠A−∠B=30°．解这个直角三角形．
【题型7 解双直角三角形】
【例7】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=2，tanB=12，点D是BC延长线上一点，tan∠ACD=34．
(1)求点A到BD的距离；
(2)求sinA的值．
【变式7-1】（2023秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tanA=12，tan∠ABD=13，则CD= ．
【变式7-2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=2．连接AC,AC⊥CD．若sin∠ACB=13,tan∠DAC=43，求CD的长．
【变式7-3】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，已知D为等腰Rt△ABC的腰AB上一点，CD绕点D逆时针旋转90°至ED，连接BE，CE，M为BE的中点，则当tan∠EDA=12时，DMBC= ．
【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】
【例8】（2023秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AB上，AE=5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点A′处．连接AC，与PE相交于点F，设AP=x．
(1)AC=________；
(2)若点A在∠BAC的平分线上，求FC的长；
(3)求点A′，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值．
【变式8-1】（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)连接AE，若CD=6cm，AD=83cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以53cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【变式8-2】（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若sinα−csα=55，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）
A．1:5B．1∶1C．2:5D．1∶5
【变式8-3】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）已知sin∠ACF=55，CF=5，AB=6，请你写出sinB的值．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32422" 【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32422 \h 1
\l "_Tc32720" 【题型2 在网格中求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32720 \h 2
\l "_Tc25988" 【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】 PAGEREF _Tc25988 \h 3
\l "_Tc15935" 【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 PAGEREF _Tc15935 \h 3
\l "_Tc1590" 【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】 PAGEREF _Tc1590 \h 5
\l "_Tc10444" 【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】 PAGEREF _Tc10444 \h 5
\l "_Tc16076" 【题型7 解双直角三角形】 PAGEREF _Tc16076 \h 6
\l "_Tc31730" 【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】 PAGEREF _Tc31730 \h 7
【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】
【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，AB=BC=AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，则sin∠B= ．
【变式1-1】（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，csA=35，则菱形的周长为 ．
【变式1-2】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥CD交BC于点E，若tanA=43，BE=7，则DE的长为 ．
【变式1-3】（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA= ．
【题型2 在网格中求锐角三角函数值】
【例2】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角( ∠O )为60°，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tan∠BPD的值是( )
A．13B．12C．33D．32
【变式2-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．
【变式2-2】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，使点B′落在射线AC上，则cs∠B′CB的值为 ．
【变式2-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
A．277B．77C．22D．32
【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】
【例3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在△ABC中，若csA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【变式3-1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）计算： 2sin30°+2cs45°−3tan60°+π−50
【变式3-2】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
(1)12sin30°+22cs45°+sin30°tan60°；
(2) sin45°⋅cs45°+sin60°⋅tan45°tan45°⋅tan60°+3tan230°+tan45°cs30°．
【变式3-3】（2023秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）在△ABC中，2csA−1+3−tanB2=0，则△ABC的形状是 ．
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例4】（2023·江苏·九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、纵轴的正半轴交于点A、点B，点O和点C关于AB对称，连接CA、CB，过点C作x轴的垂线段CD，交x轴于点D
(1)移动点A，发现在某一时刻，△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标；
(2)移动点A，当tan∠OAB=12时求点C的坐标．
【变式4-1】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数y=−1x(x<0)，y=4x(x>0)的图像上，则sin∠ABO的值为（ ）
A．13B．64C．25D．55
【变式4-2】（2023春·江苏连云港·九年级专题练习）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，OA=AB，∠OAB=90°，将△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角度数至△OA′B′，此时反比例函数y=kxk>0刚好经过OA′，OB′的中点，则tan∠AOA′= ．
【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx−152交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB=34．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】
【例5】（2023·全国·九年级假期作业）已知sin30°=a+1a，则一元二次方程x2+ax+2=0解的情况是（ ）
A．有两个相同的实数根B．有两个不同的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【变式5-1】（2023秋·山东东营·九年级校联考阶段练习）关于x的一元二次方程x2−2x+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α= ．
【变式5-2】（2023·北京朝阳·九年级专题练习）α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－22sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．30°或150°D．60°
【变式5-3】（2023春·九年级单元测试）若csα是关于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一个根，则锐角α＝ ．
【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】
【例6】（2023秋·广东河源·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=83，∠A=60°，解这个直角三角形．
【变式6-1】（2023秋·甘肃张掖·九年级校考期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1）已知a＝6，b＝23，解这个直角三角形
（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形
（3）已知sinA＝12，c＝6，解这个直角三角形．
【变式6-2】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，∠A−∠B=30°，a−b=23−2，解这个直角三角形．
【变式6-3】（2023秋·山东烟台·九年级统考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+c=30，∠A−∠B=30°．解这个直角三角形．
【题型7 解双直角三角形】
【例7】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=2，tanB=12，点D是BC延长线上一点，tan∠ACD=34．
(1)求点A到BD的距离；
(2)求sinA的值．
【变式7-1】（2023秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tanA=12，tan∠ABD=13，则CD= ．
【变式7-2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=2．连接AC,AC⊥CD．若sin∠ACB=13,tan∠DAC=43，求CD的长．
【变式7-3】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，已知D为等腰Rt△ABC的腰AB上一点，CD绕点D逆时针旋转90°至ED，连接BE，CE，M为BE的中点，则当tan∠EDA=12时，DMBC= ．
【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】
【例8】（2023秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AB上，AE=5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点A′处．连接AC，与PE相交于点F，设AP=x．
(1)AC=________；
(2)若点A在∠BAC的平分线上，求FC的长；
(3)求点A′，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值．
【变式8-1】（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)连接AE，若CD=6cm，AD=83cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以53cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【变式8-2】（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若sinα−csα=55，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）
A．1:5B．1∶1C．2:5D．1∶5
【变式8-3】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）已知sin∠ACF=55，CF=5，AB=6，请你写出sinB的值．
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