浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题2.2 有理数的乘除【九大题型】（学生版+教师版）

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专题2.2 有理数的乘除【九大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29191" 【题型1 有理数乘除法则概念辨析】  PAGEREF _Toc29191 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28194" 【题型2 倒数的概念及运用】  PAGEREF _Toc28194 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc29153" 【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】  PAGEREF _Toc29153 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16672" 【题型4 有理数乘除法运算律的运用】  PAGEREF _Toc16672 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15325" 【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】  PAGEREF _Toc15325 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc27244" 【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】  PAGEREF _Toc27244 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14810" 【题型7 有理数乘除法中的规律计算】  PAGEREF _Toc14810 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21487" 【题型8 有理数乘除法的实际应用】  PAGEREF _Toc21487 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc24448" 【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】  PAGEREF _Toc24448 \h 13【知识点1 有理数乘法的法则】①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0．   ③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．【知识点2 有理数除法的法则】①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．【题型1 有理数乘除法则概念辨析】【例1】（2022•金堂县月考）下列说法正确的是（　　）A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负 B．﹣1乘以任何有理数等于这个数的相反数 C．3个有理数的积为负数，则这3个有理数都为负数 D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大【变式1-1】（2022春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是（　　）A．若a＞0，b＜0，则0 B．若a＞b，则a﹣b＞0 C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，a＜0，则0【变式1-2】（2022•广东一模）已知a+b＞0且a（b﹣1）＜0，则下列说法一定错误的是（　　）A．a＞0，b＞1 B．a＜﹣1，b＞1 C．﹣1≤a＜0，b＞1 D．a＜0，b＞0【变式1-3】（2022•武昌区校级期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当x＝1时，|x﹣4|+|x+2|有最小值为5；⑤若，则；其中错误的有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【知识点3 倒数的概念】乘积是1的两个数互为倒数．①“互为倒数”的两个数是互相依存的；②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．【题型2 倒数的概念及运用】【例2】（2022秋•温江区月考）若3a﹣12没有倒数，则a＝　　；已知m﹣11的倒数为，则m+1的相反数是 　　．【变式2-1】（2022•杨浦区校级期中）如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是　 ．【变式2-2】（2022秋•贵港期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd的值．【变式2-3】（2022•大邑县期末）已知a与2互为相反数，x与3互为倒数，则代数式a+2+|﹣6x|的值为（　　）A．0 B．﹣2 C．2 D．无法确定【题型3 有理数乘除法的简单混合运算】【例3】（2022•鄂托克旗期末）下列计算正确的是（　　）A．﹣3020×（） B．（）÷（）＝﹣2 C．（）÷（）×（） D．（）×（）＝0【变式3-1】（2022•东昌府区校级月考）（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3 （2）[（）﹣（）﹣（）]÷（）【变式3-2】（2022•安图县期末）计算：（1）（﹣1）．（2）﹣125×0.42÷（﹣7）【变式3-3】（2022•沙市区校级期中）计算：（1）（）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；（2）（﹣8）（﹣1）÷（﹣9）．【题型4 有理数乘除法运算律的运用】【例4】（2022•诸城市期中）写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）＝﹣（1×1）＝﹣1．第一步：　 　；第二步：　 　；第三步：　 　．【变式4-1】（2022•平谷区期末）计算：（）×（﹣24）．【变式4-2】（2022•红谷滩区校级期中）用简便方法计算（1）99（﹣9）（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）【变式4-3】（2022•红河州校级期中）用简便方法计算：（1）﹣130.34（﹣13）0.34 （2）（）×（﹣60）【题型5 有理数乘除法的运算步骤问题】【例5】（2022•利辛县月考）下面是小明同学的运算过程．计算：﹣5÷2．解：﹣5÷25÷（2）…第1步＝﹣5÷1…第2步＝﹣5…第3步请问：（1）小明从第　　步开始出现错误；（2）请写出正确的解答过程．【变式5-1】（2022•海陵区期中）计算：（）×（）．解：（）×（）①．②（1）找错：第 　　步出现错误；（2）纠错：【变式5-2】（2022•德州校级月考）阅读下面解题过程：计算：5÷（22）÷6解：5÷（22）×6＝5÷（）×6…①＝5÷（﹣25）…②③回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　　步，错因是　　 ，第二处是　　，错因是　 　．（2）正确结果应是　　．【变式5-3】（2022秋•无为县月考）阅读下列材料：计算：（）．解法一：原式3412．解法二：原式（）6．解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4．所以，原式．（1）上述得到的结果不同，你认为解法　　是错误的；（2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）．【题型6 有理数乘除法与绝对值的综合】【例6】（2022•余姚市校级期中）（1）三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．（2）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；（3）若a，b，c为三个不为0的有理数，且1，求的值．【变式6-1】（2022•雁峰区校级期末）已知非零有理数a，b，c满足ab＞0，bc＞0．（1）求的值；（2）若a+b+c＜0，求的值．【变式6-2】（2022•河西区期中）已知|x|＝3，|y|＝7（1）若x＜y，求x﹣y的值；（2）若xy＞0，求x+y的值；（3）求x2y﹣xy2+21的值．【变式6-3】（2022•雨花区月考）若a+b+c＜0，abc＞0，则2•3•4•的最大值为（　　）A．6 B．8 C．10 D．7【题型7 有理数乘除法中的规律计算】【例7】（2022•上蔡县期中）考察下列每一道算式，回答问题：算式：63×67＝4221 72×78＝5616561×569＝3192009 1814×1816＝3294224（1）两个因数个位上的数字之和是多少？其余各位上的数字有何特征？（2）根据四个式子的计算，请你猜想符合上述特征的两个数相乘的运算规律．（3）再举两道符合上述特征的计算题，并用你猜想的规律进行计算．【变式7-1】已知3，10，15，…观察以上规律计算　　，45，则a＝　 　．【变式7-2】（2022•夏邑县期中）有一列数a1，a2，a3，…an，若a1，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．（1）试计算a2，a3，a4；（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．【变式7-3】（2022•厦门期末）已知一些两位数相乘的算式：62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；（3）证明你发现的规律；（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上：　 　．【题型8 有理数乘除法的实际应用】【例8】（2022•江宁区校级月考）天龙顶国家山地公园，位于岑溪市南渡镇吉太附近，距岑溪市35公里，天龙顶是桂东最高峰，史上早已成名，被誉为“土主龙楼”天龙顶形成于远古冰川，由整块红色砂岩劈凿而成，拔地而起，是极限攀岩、野外露营及登山爱好者的天堂．某年寒假，小昌与小勇一起去游天龙顶，他们想知道山的高度．小昌说可以利用温度计测量山峰的高度，小昌在山顶测得温度约是﹣1℃，小勇此时在山脚测得温度约是8.6℃，已知该地区每年增加100米，气温大约下降0.8℃，小昌很快算出了答案，你知道天龙顶的高度约是多少米吗？【变式8-1】（2021秋•北京期中）妈妈身高多少厘米？【变式8-2】（2022•常州期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：（1）这天仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？（2）根据实际情况，现有两种方案：方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案较合适？请说明理由．【变式8-3】（2022•台湾）碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于20公克且不超过40公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20、22、24、…、38、40公克等11个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．（1）若有一个产品的碳足迹数据标示为38公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？（2）承（1），当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．【题型9 有理数乘除法中的新定义问题】【例9】（2022•大安市期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【变式9-1】（2022•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．【变式9-2】（2022•丰台区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266．（1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝　　，y＝　　；（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝　　，n＝　　；（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝　　．【变式9-3】（2022•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f（4，）＝　　，f（5，3）＝　　；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　　．（填序号）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．进出数量（单位：吨）﹣34﹣12﹣5进出次数21332碳排放量碳足迹数据标示20.2公克20公克20.8公克20公克21.0公克20公克或22公克皆可23.1公克24公克