安徽省合肥市第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：______分数：______
一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A. （）B.
C. （）D. （）
【答案】C
【解析】
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.
【详解】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C正确；
D中，（），故D错误．
故选：C．
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域.
【详解】由 得 ，所以函数的定义域为.
故选: B
【点睛】此题为基础题，考查函数定义域的求法.
3. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的定义域排除C，由函数的奇偶性排除D，由特殊的函数值排除B，结合奇偶性和单调性判断A.
【详解】由得，则函数的定义域为，排除选项C；
又，所以为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；
当时，，排除选项B，
因为为偶函数，且当时，函数单调递减，
选项A中图象符合.
故选：A
4. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项.
【详解】因为在R上递减，且，所以 .又因为 在R上递增，且，所以 .所以.
故选：D.
【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题.
5. 若是方程的实数解，则属于区间（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】令，则在定义域上单调递增，
又，，
，，
所以，
所以在上存在唯一零点，即存在使得.
故选：C
6. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
7. 己知是定义在奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 增区间为和B. 有3个根
C. 的解集为D. 时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性结合条件可得函数的解析式判断D，解方程可判断B，根据二次函数的性质可判断A，解不等式可判断C.
【详解】由是定义在的奇函数知，
当时，，所以，D错误；
由上可知，由可得或或，故B正确；
由，时，的对称轴为，
时，的对称轴为，
结合二次函数的性质知在和上均单调递增，故A正确；
由，可得或，解得或，故C正确．
故选：ABC．
8. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】先判断指数型复合函数的单调性，然后根据单调性求解最值判断A，根据对数型复合函数的单调性及真数大于0列出不等式求解判断B，利用抽象函数的定义域求法求解判断C，设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可判断D.
【详解】对于A，令函数，则该函数在上单调递增，在上单调递减，
因为减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最小值，无最大值，错误；
对于B，令，由知，函数单调递减，
由函数（，且）区间上单调递减，
则单调递增且，所以，解得，
所以的取值范围是，错误；
对于C，因为函数的定义域为，所以在中，解得，
所以函数的定义域为，错误；
对于D，设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由，解得.
综上，的取值范围为.正确.
故选：ABC
三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
9. 已知，，则______.（用、表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可.
【详解】因为，则，又，
所以.
故答案为：
10. 现定义一种运算“”；对任意实数，，设，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题意得出函数，作出函数 的图象如图所示，若函数的图象与 轴恰有二个公共点，则方程即恰有二个不同实根，则 或或 ，所以的取值范围是 ，故答案应填.
考点：1、分段函数；2、函数的零点.
【思路点睛】本题是一个新定义下的分段函数以及函数零点方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题意得到函数的表达式，即，并作出函数 的图象，然后再作出直线的图象，这时只需二图象恰有两个公共点即可，从而可求出实数的取值范围，问题得到解决.
四、解答题（本大题共4小题，共50分，第11题10分，第12题12分，其余2题各14分，解答题应写出文字说明、解答过程或演算步骤）
11. （1）；
（2）.
【答案】（1）3；（2）1
【解析】
【分析】利用分数指数幂运算法则和对数运算性质即可计算的出（1）（2）的结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
12. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的单调性进行求解．
【小问1详解】
要使函数有意义,则，
解得，故所求函数的定义域为；
【小问2详解】
证明：由（1）知的定义域为，
设，则,
且，故为奇函数；
【小问3详解】
因为，所以，即
可得，解得,又，
所以，
所以不等式的解集是．
13. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值.
（2）试判断的单调性，并用定义证明.
（3）解不等式.
【答案】13.
14. 函数在R上为减函数，证明见解析
15.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义即可证明；
（3）先利用奇偶性将不等式化为，再根据单调性解不等式即可.
【小问1详解】
若函数为奇函数，则，
又，则，所以，
所以，解得；
【小问2详解】
，则函数在R上为减函数，
证明如下：
设，则，
因为，所以，即，且，，
所以，即，所以函数在上为减函数.
【小问3详解】
不等式，即，
又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，
即，解得.所以不等式的解集为.
14. 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：）
（1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？
（2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年）
【答案】（1）207年；
（2）21年.
【解析】
【分析】（1），则可求出的值，从而可得答案，
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
【小问1详解】
由题可知，
所以，
所以，
所以残留量为初始量的，大约需要207年；
小问2详解】
根据题意当时，，
，解得，
所以，
若残留量不足初始量的，则，
，两边取常用对数，