2023年吉林省松原市乾安县严字乡中学、仙字乡中学、余字乡中学等校中考一模数学试题答案

乾安县2023学年九年级下学期一模测试卷数学数学试题共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效．一、单选题（每小题2分，共12分）1. 相反数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据实数的相反数是进行求解．【详解】的相反数是，故选：．【点睛】此题考查了实数相反数求解能力，解题的关键是能准确理解并运用以上知识．2. 我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）A. 0.232×109 B. 2.32×109 C. 2.32×108 D. 23.2×108【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中1≤< 10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：232000000＝2.32×108．故选：C．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|< 10，确定a与n的值是解题的关键．3. 不等式2x＋3＜5解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】找到从几何体左边看到的图形即可【详解】解：该几何体的左视图如下：故选：A．【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键．5. 如图所示，在中，，，则的度数是（ ）A. 55° B. 110° C. 125° D. 150°【答案】B【解析】【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，根据∠BOD=∠BOC+∠DOC即可求解．【详解】如图，连接OC，已知，，由圆周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°+60°=110°．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．6. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设共有银子两，根据分银子的人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设共有银子两， 依题意得：．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7. 计算结果是________．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式的减法运算法则计算得出答案．【详解】解：＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．8. 分解因式：______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 计算：______．【答案】【解析】【分析】根据分式的除法法则计算，即可求解．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为______．【答案】9【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可得到答案．【详解】解：△=（-6）2-4c=0，解得c=9，故答案为9．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的情况列出方程是解题的关键．11. 如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．【答案】50°【解析】【分析】根据作法可知直线是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵由作法可知直线是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查的是作图-基本作图以及三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．12. 长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______．【答案】（4，6）【解析】【分析】由题意易得BCAD，则点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．【详解】解：在长方形ABCD中，BCAD，∴点B与点C的纵坐标相等，设点C(x,3)，∵AD＝10，∴BC＝10，∴x=−6+10=4，∴C（4，6）；故答案为：（4，6）．【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．13. 如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，，若米，米， 米，则A、B两村间的距离为___________米．【答案】70【解析】【分析】只要证得，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解．【详解】∵，∴，∴ ，即，∵米，米， 米，∴，解得（米），故答案为：70【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14. 如图所示，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】【解析】【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．【详解】解：四边形是矩形，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题（每小题5分，共20分）15. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点，解题的关键是掌握相应的运算法则．16. 某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一”促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率．【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中A、C两款的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、C两款的有2种情况，∴恰好选中A、C两款的概率为： = ．【点睛】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．17. 如图，已知：AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，求证：AE＝BF．【答案】见解析【解析】【分析】证明△ADE≌△BCF（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BF．【详解】证明：∵AC＝BD，∴AC+CD＝DB+CD，即AD＝BC，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．18. 我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在4×4的方格纸中，有格点线段AB，AC，BC，请按要求画出格点四边形．（1）在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得对角互补．【答案】（1）见解析； （2）见解析【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质即可在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得∠BAE=∠BCE= 90°，即∠BAE+∠BCE=180°，可得对角互补．【小问1详解】如图1，四边形ABCD即为所求；【小问2详解】如图2，四边形ABCE即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，多边形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．四、解答题（每小题7分，共28分）19. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？【答案】A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料【解析】【分析】设B种机器人每小时搬运xkg原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）kg原料，由题意：A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，A种机器人每小时搬运（x＋30）kg原料．根据题意，得﹒解这个方程，得x＝60．经检验，x＝60是方程的解，且符合题意．x＋30＝90．答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20. 李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，油箱加满后，汽车行驶的总路程（单位：km）与平均耗油量（单位：L/km）之间的关系如图所示．（1）求与的函数关系式．（2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为多少km？【答案】（1） （2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km【解析】【分析】（1）结合反比例函数的图象，利用待定系数法即可求解；（2）当x=0.16L/km代入（1）求得的函数值即可．【小问1详解】解：设与的函数表达式为，将点代入，得，∴与的函数表达式为．【小问2详解】当时，，∴当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式以及求函数值，正确地求得反比例函数解析式是解题的关键．21. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．求教学楼BC的高度．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）【答案】教学楼BC的高度为米【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAE=30°，∠DCF=45°，再由锐角三角函数定义求出AE的长，然后求出米，进而可得教学楼BC的高度．【详解】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形，由题意得：AB＝57米，DE＝30米，∠DAE＝30°，∠DCF＝45°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan∠DAE＝，∴AE＝＝＝（米），∴BE＝AB﹣AE＝米，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝米，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝米，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝米，答：教学楼BC的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．22. 为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽测的男生人数为________，图1中m的值为________；（2）本次抽测的这组数据的平均数为________次，众数为________次；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名八年级男生中有多少人体能达标．【答案】（1）50；28； （2）5.16；5； （3）估计该校550名八年级男生中有252人体能达标．【解析】【分析】（1）根据4次的人数及其百分比可得总人数，用6次的人数除以总人数求得m即可；（2）根据平均数、众数的定义求解可得；（3）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得．【小问1详解】本次抽测的男生人数为10÷20%=50（人），m%=×100%=28%，即m=28，故答案为：50、28；【小问2详解】平均数为（次），众数为5次，故答案为：5.16；5；【小问3详解】（人），答：估计该校350名八年级男生中有252人体能达标．【点睛】本题考查了条形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．五、解答题（每小题8分，共16分）23. 杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数．注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负．（1）根据题意，完成表格；（2）请求出y与x的关系式；（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？【答案】（1）1.50，11；（2）y＝4x-2；（3）4.25斤【解析】【分析】（1）分析表格中数据填表即可．（2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可；（3）将y＝15代入函数关系式中求x的值即可．【详解】解：（1）由表格中数据可知，重量每增加0.25斤，秤砣到秤纽的水平距离会增加1厘米，由此可得第一行数字应填[4-（-2）]×0.25=1.50，第二行数字应填（3.25÷0.25）-2=11；故答案为：1.50，11（2）设y＝kx+b，将（0，－2）和（1，2）分别代入表达式中，得解得：k＝4，b＝－2，∴y与x的关系式为：y＝4x－2；（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，即y＝15将y＝15代入得，15＝4x－2中解得：x＝4.25（斤）∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤．【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题关键是熟练运用待定系数法求出一次函数解析式．24. 如图，在等腰中，点为直线上一动点(点不与、重合)．以为边向右侧作正方形，连结．【猜想】如图①，当点在线段上时，直接写出、、三条线段的数量关系．【探究】如图②，当点在线段的延长线上时，判断、、三条线段的数量关系，并说明理由．【应用】如图③，当点在线段的反向延长线上时，点、分别在直线两侧，、交点为点连结，若，，则　　　　．【答案】[猜想]；[探究]，理由见解析；[应用]【解析】【分析】[猜想]根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论；[探究]根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出，根据全等三角形的性质可得到结论．[应用]根据题意计算出BC的值，通过得到，由勾股定理得出DF的值，再由直角三角形斜边上的中线的性质得到CO的值即可．【详解】[猜想]．证明如下：是等腰直角三角形．．四边形为正方形，又在和中，[探究]是等腰直角三角形．．四边形为正方形，又在和中， [应用]同理可得，，，在中，∴∵在正方形中，为中点∴在中，【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上中线的性质，熟悉上述几何知识并灵活运用是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25. 如图所示，在中，，，．点在上从点以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连接，以，为邻边作．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为，与重叠部分的图形面积为． （1）点到边的距离为______，点到边的距离为______；（用含的代数式表示）（2）当点落在线段上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）过点作，根据勾股定理求出，运用三角函数，应用解直角三角形求出，即可；（2）当点落在线段上时，证明四边形是矩形，从而得到，求出即可；（3）分两种情况讨论：当时，与重叠面积为，根据已有数据计算即可；当时，设交 于点，则与重叠面积为，根据已有数据计算即可．【小问1详解】解：如图所示，过作于，由题意可知， ∵，，，∴，∴，，∴，，则到的距离为，到的距离为，故答案为：，，【小问2详解】当点落在线段上时，如图， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是矩形，∴，∴，，∵，∴，解得，【小问3详解】当时，与重叠部分的面积为，，由（1）可知，，∴，当时，设交于点，如图， 则与重叠部分的面积为，，∵由（1）可知，，，∴，综上所述：【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，几何中的动点问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，分类讨论思想是解题关键．26. 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为． （1）求的长（用含的代数式表示）；（2）如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标；（3）点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为．①求的值；②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值．【答案】（1） （2） （3）①或；②或【解析】【分析】（1）依据抛物线的对称性可求得点A的横坐标为，然后依据求解即可；（2）先求得经过B、C且顶点在x轴上的抛物线的对称轴为，然后将代入可求得顶点的横坐标，然后依据x轴上各点的纵坐标为0求解即可；（3）①当点D在点B的右侧时．先用含m的式子表示点B、D的坐标，然后可得到抛物线的对称轴为，设过点O、B、D三点的抛物线的解析式为．将代入求得k的值，得到抛物线的解析式，然后依据B、D两点的纵坐标相等可得到关于a、a1的等式于是可求得的值；同理可求得当点D在点B左侧时的值；②当点D在点B的右侧时．过点P作轴，交与点E．先求得的长，然后依据列出关系式，然后将代入可求得a的值；当点D在点B的左侧时，连接，交x轴与点E．先求得的长，然后依据列出关系式，然后将代入可求得a的值．【小问1详解】解：∵点的横坐标为，点与点关于轴对称，∴点的横坐标为．∴；【小问2详解】解：∵点和点关于经过，两点抛物线的对称轴对称，∴经过，且顶点在轴上的抛物线的对称轴为直线．∵，∴所求抛物线的对称轴为直线．∴经过，两点且顶点在轴上的抛物线的顶点坐标为；【小问3详解】解：①如图所示，当点在点的右侧时， ∵点的横坐标为，，，∴．∴点的横坐标为．∴过点，，三点的抛物线的对称轴为直线三点的抛物线的对称轴为直线．设过点，，三点的抛物线的解析式为．将代入得．∴抛物线的解析式为．∵点为两抛物线的交点，∴，整理得．∵，∴，即；如图所示，当点在点左侧时． ∵点的横坐标为，，，∴．∴点的横坐标为．∴过点，，三点的抛物线的对称轴为直线．设过点，，三点的抛物线的解析式为：．将代入得．∴抛物线的解析式为．∵点为两抛物线的交点，∴，整理得．∴；综上所述，的值为或；②如图所示．当点在点的右侧时，过作轴于，交于点． ∵点的横坐标为，由①可知，过点，，三点的抛物线的解析式为：．∴．又∵，∴．∵为等腰直角三角形，∴，∴．又∵，，∴，解得；如图所示．当点在点的左侧时，连接，交轴于点． 由①可知，过点，，三点的把的解析式为．∴．又∵，∴．∵为等腰直角三角形，∴，即．∵，，∴，解得．综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，由点B为两抛物线的交点即B的纵坐标相等列出a与的关系式是解答本题的关键．x（斤）00.751.00 2.253.25y（厘米）－21247