2023年宁夏银川市兴庆区唐徕中学中考数学三模试卷

这是一份2023年宁夏银川市兴庆区唐徕中学中考数学三模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建成垃圾分类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 厨余垃圾Fd Waste
B. 可回收物Recyclable
C. 有害垃圾Hazardus
D. 其他垃圾Residual Waste
2. x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则4a+8b=( )
A. −2B. −4C. 4D. −6
3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为( )
A. 1：4
B. 4：1
C. 1：2
D. 2：1
4. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 a2+1+|a−1|的化简结果是( )
A. 1B. 2C. 2aD. 1−2a
5. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数)，将样本数据绘制成统计图(如图)，其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
6. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当−13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y17. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=bax(其中a，b是常数，ab≠0)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2023为( )
A. 22019πB. 22020πC. 22021πD. 22022π
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 下列实数：①227②π2，③ 6④0，⑤−1.010010001，其中无理数有______ 个.
10. 计算：a2+1a+1−2a+1=______．
11. 若点A(−2,n)在x轴上，则点B(n−1,n+1)关于原点对称的点的坐标为______．
12. 如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1//l2，若∠1=33°，∠B=65°，则∠2= ______ °.
13. 两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足BPAP=APAB，即AP2=BP⋅AB，则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______ ．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC15. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为______．
16. 七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的.如图，有一块边长为4的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所示的一套七巧板(点O为正方形纸板对角线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，GE//BI，IH//CD)，将图①示七巧板拼成如图②所示
的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解一元一次不等式组：−3(x−2)≥−2−x1+4x3>x−1．
18. (本小题6.0分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是______个平方单位．
19. (本小题6.0分)
被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍，现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
20. (本小题6.0分)
如图1、2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60m，底座BC与支架AC所成的∠ACB=75°，且∠ABC=90°.篮板FE垂直于篮板底部支架HE，底部支架HE长0.75m，且平行于地面.点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1m，HF段的长为1.50m．
(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
(2)求篮板顶端F到地面的距离．
(结果精确到0.1m，参考数据：cs75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732， 3≈1.732， 2≈1.414)
21. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若CD=5，AC=8，tan∠ABD=23，求BE的长．
22. (本小题6.0分)
下表统计了甲、乙两班男生的身高情况，根据统计表绘制了如下不完整的统计图：

根据以上统计表完成下列问题：
(1)统计表中的m= ______ ，n= ______ ，并将频数分布直方图补充完整；
(2)在身高不低于167cm的男生中，甲班有2人，现从这些身高不低于167cm的男生中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
23. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AE=8，求GF的长．
24. (本小题8.0分)
如图，直线AB与双曲线交于A(1,6)，B(m,−2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
(1)求直线AB与双曲线的解析式．
(2)求△ABC的面积．
25. (本小题10.0分)
第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌.在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止.本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态.某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.着陆坡AC的坡角为30°，OA=60m.某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=100m.在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数关系，其解析式为y=−150x2+bx+c．

(1)求b，c的值
(2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次
函数关系：x=kt+m，当运动员在起跳点腾空时，t=0，x=0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离ℎ(m)最大，最大值是多少？
26. (本小题10.0分)
综合与实践
问题情景：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4.直角三角板EDF中，∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．

猜想证明：
(1)如图①，在三角板旋转过程中，当M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
(2)如图②，在三角板旋转过程中，当∠C=∠1时，求线段CN的长；
(3)如图③，在三角板旋转过程中，当∠B=∠2时，请直接写出线段CN的长为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得：把x=1代入方程x2+ax+2b=0中得：
12+a+2b=0，
解得：a+2b=−1，
∴4a+8b=4(a+2b)=4×(−1)=−4，
故选：B．
根据题意可得：把x=1代入方程x2+ax+2b=0中得：12+a+2b=0，从而可得a+2b=−1，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：如图所示，

由网格图可知：BF=2，AF=4，CH=2，DH=1，
∴AB= AF2+BF2=2 5，
CD= CH2+DH2= 5．
∵FA//CG，
∴∠FAC=∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF=BFAF=24=12，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD=HDCH=12，
∴tan∠BAF=tan∠HCD，
∴∠BAF=∠HCD，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF，∠ACD=∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB//CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比=ABCD=2 5 5=2．
故选：D．
利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出∠BAF=∠HCD，进而得到∠BAC=∠DCA，则AB//CD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据数轴得：0∴a>0，a−1<0，
∴原式=|a|+1+1−a
=a+1+1−a
=2．
故选：B．
根据数轴得：00，a−1<0，根据 a2=|a|和绝对值的性质化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 a2=|a|是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由统计图可知，
平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数第25、26名学生都是9小时，即(9+9)÷2=9，
故选：B．
根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．
本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,−4)，
当y=0时，(x−1)2−4=0，
解得x=−1或x=3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：(−1,0)，(3,0)，
∴当−13时，y2故选：D．
首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】解：若a>0，b>0，
则y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=bax(ab≠0)位于一、三象限，
若a>0，b<0，
则y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y=bax(ab≠0)位于二、四象限，
若a<0，b>0，
则y=ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y=bax(ab≠0)位于二、四象限，
若a<0，b<0，
则y=ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y=bax(ab≠0)位于一、三象限，
故选：A．
根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、…、都是等腰直角三角形，
∴OA2= 2，OA4=2，OA6=2 2，…，
∴S1=45π×12260=18π，S2=45π×( 2)2360=14π，S3=45π×22360=12π，S4=45π×(2 2)2360，
…；
∴Sn=2n−4π，
∴S2023=22019π，
故选：A．
根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn=2n−4π，依此规律即可得出结论．
本题考查了坐标与图形性质−旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找出规律Sn=2n−4π.
9.【答案】2
【解析】解：下列实数：①227②π2，③ 6④0，⑤−1.010010001，其中是无理数的为：②③，共计2个．
故答案为：2．
根据无理数的定义即可判断．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的无限不循环小数．
10.【答案】a−1
【解析】解：a2+1a+1−2a+1
=a2−1a+1
=(a−1)(a+1)a+1
=a−1．
故答案为：a−1．
直接利用分式的减法的法则进行运算，再化简即可．
本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
11.【答案】(1,−1)
【解析】解：∵点A(−2,n)在x轴上，
∴n=0，
∴B(−1,1)
则点B(n−1,n+1)关于原点对称的点的坐标为：(1,−1)．
故答案为：(1,−1)．
直接利用x轴上点的坐标特点得出n的值，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出n的值是解题关键．
12.【答案】32
【解析】解：过D作DE//直线l1，
∴∠ADE=∠1=33°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=65°，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=65°−33°=62°，
∵l1//l2，
∴DE//l2，
∴∠2=∠CDE=32°，
故答案为：32．
过D作DE//直线l1，根据平行线的性质得到∠ADE=∠1=33°，根据平行四边形的性质得到∠ADC=∠B=65°，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，正确找出辅助线是解题的关键．
13.【答案】x2−60x+400=0
【解析】解：设PB为x米，则AP为(20−x)米，
根据题意得AP2=BP⋅AB，
基(20−x)2=20x，
整理得x2−60x+400=0．
故答案为：x2−60x+400=0．
设PB为x米，则AP为(20−x)米，利用黄金分割的定义得到AP2=BP⋅AB，则(20−x)2=20x，然后把方程化为一般式即可．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
14.【答案】6
【解析】
【分析】
直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF=AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC=BF+FC=BC，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC=BF+FC=BC是解题关键．
【解答】
解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF=BF，
可得AF=AH，AC⊥FH，
∴FC=CH，
∴AF+FC=BF+FC=BC=3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH=2BC=6．
故答案为：6．
15.【答案】108
【解析】
【分析】
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可．
【解答】
解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为3，高为6，
所以其侧面积为3×6×6=108，
故答案为108．
16.【答案】3 2
【解析】解：在等腰直角三角形ACD中，
AD=CD=4，
∴AC=4 2，
∵点E、F分别为AD、CD的中点，
∴EF=12AC=2 2，
又∵AG=GO=OH=CH，
∴FI=EI=12EF= 2，
∴MN=2 2+ 2=3 2．
故答案为：3 2．
根据正方形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质即可求解．
本题考查正方形，等腰三角形，平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键．
17.【答案】解：−3(x−2)≥−2−x①1+4x3>x1②，
由①得：x≤4，
由②得：x>−4，
故不等式组的解集为−4【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：小小取小确定不等式组的解集即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18.【答案】解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求；
(2)如图所示，线段A2B1即为所求；
(3)20．
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用位似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
(1)以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；
(3)连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是( 22+42)2=( 20)2=20．
故答案为20．
19.【答案】解：(1)设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
根据题意得：7200x−96002x=4，
解得：x=600，
经检验，x=600是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
(2)B块试验田的面积为7200÷600=12(亩)．
设把y亩B块试验田改种杂交水稻，
根据题意得：9600+600(12−y)+1200y≥17700，
解得：y≥1.5，
∴y的最小值为1.5．
答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．
【解析】(1)设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植面积=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中，即可得出杂交水稻的亩产量；
(2)利用B块试验田的面积=总产量÷普通水稻的亩产量，可求出B块试验田的面积，设把y亩B块试验田改种杂交水稻，利用总产量=A块试验田的总产量+普通水稻的亩产量×种植普通水稻的面积+杂交水稻的亩产量×种植杂交水稻的面积，结合总产量不低于17700千克，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：(1)由题意得：FE⊥HE，
在Rt△FHE中，HE=0.75m，HF=1.5m，
∴cs∠FHE=HEFH=，
∴∠FHE=60°，
∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为60°；
(2)延长FE交CB于点G，过点A作AM⊥FG，垂足为M，

由题意得：FG⊥CB，AB=MG，HE//AM，
∴∠FAM=∠FHE=60°，
在Rt△FAM中，AF=AH+FH=2.5(m)，
∴FM=AF⋅sin60°=2.5× 32=5 34(m)，
在Rt△ABC中，∠ACB=75°，BC=0.60m，
∴AB=BC⋅tan75°≈0.6×3.732=2.2392(m)，
∴MG=AB=2.2392m，
∴FG=FM+MG=5 34+2.2392≈4.4(m)，
∴篮板顶端F到地面的距离约为4.4m．
【解析】(1)根据题意得：FE⊥HE，然后在Rt△FHE中，根据锐角三角函数的定义可求出cs∠FHE的值，再根据特殊角的三角函数值，即可解答；
(2)延长FE交CB于点G，过点A作AM⊥FG，垂足为M，根据题意可得：FG⊥CB，AB=MG，HE//AM，从而可得∠FAM=∠FHE=60°，然后在Rt△FAM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出MG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在△EOA和△DOC中，
∠AOE=∠CODAO=CO∠EAO=∠DCO，
∴△EOA≌△DOC(ASA)，
∴OD=OE，
又∵AO=CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵AB=BC，AO=CO，
∴OB⊥AC，
∴∠COD=∠AOB=90°，
由(1)得：OD=OE，
∵AC=8，
∴AO=CO=12AC=4，
在Rt△DOC中，由勾股定理得：OD= CD2−CO2=3，
∴OE=OD=3，
∵tan∠ABD=AOOB=4OB=23，
∴OB=6，
∴BE=OB−OE=6−3=3．
【解析】(1)证△EOA≌△DOC(ASA)，得OD=OE，再由AO=CO，即可得出结论；
(2)由等腰三角形的性质得OB⊥AC，求出AO=4，再由勾股定理求出OD=3，则OE=3，然后由锐角三角函数定义得出OB=6，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
22.【答案】2 0.04
【解析】解：(1)∵3÷0.06=50(人)，
∴m=50−3−7−13−13−9−3=2，n=2÷50=0.04；
故答案为：2，0.04，
补图如图1所示：

(2)身高不低于167cm的男生共有5人，
画树状图如图2所示：

共有20个等可能的结果，两人都来自相同班级的结果有8个，
∴两人都来自相同班级的概率为820=25．
(1)先求出总人数，由总人数减去已知频数得出m的值，由频率公式求出n的值即可；
(2)画出树状图即可解决问题．
本题考查列表法和树状图法、频率分布表、频率分布直方图等知识，解题的关键是理解题意，学会画树状图解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵G为弦AE的中点，OD是半径，
∴OD⊥AE，
即∠DGF=90°，
∴∠DFG+∠GDF=90°，
又∵BC=FC，
∴∠CBF=∠CFB，
又∵∠CFB=∠DFG，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠CBF=90°，
即OB⊥BC，
∵OB是半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)∵G为弦AE的中点，
∴AG=GE=12AE=4，
∵OD是半径，
∴OD⊥AE，
在Rt△AOG中，
OG= OA2−AG2=3，
又∵∠OGA=∠CBA=90°，∠OAG=∠CAB，
∴△AOG∽△ABC，
∴AGAB=OGBC=OAAC，
即410=3BC=5AC，
解得BC=152=CF，AC=252，
∴GF=AC−AG−FC
=252−4−152
=1．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质，垂径定理以及直角三角形两锐角互余可得出∠OBD+∠CBF=90°，即OB⊥BC，进而得出BC是⊙O的切线；
(2)利用垂径定理和勾股定理求出AG，OG，再根据相似三角形的性质求出BC，AC，再根据线段的和差关系得出答案．
本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系和相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)设双曲线的解析式为y=kx，
∵点A(1,6)在该双曲线上，
∴6=k1，
解得k=6，
∴y=6x，
∵B(m,−2)在双曲线y=6x上，
∴−2=6m，
解得m=−3，
设直线AB的函数解析式为y=ax+b，
a+b=6−3a+b=−2，
解得a=2b=4，
即直线AB的解析式为y=2x+4；
(2)作BG//x轴，FG//y轴，FG和BG交于点G，作BE//y轴，FA//x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y=kx，
∵点B(−3,−2)，
∴−2=−3k，
解得k=23，
∴直线BO的解析式为y=23x，
联立：y=23xy=6x，
解得x=3y=2或x=−3y=−2，
∴点C的坐标为(3,2)，
∵点A(1,6)，B(−3,−2)，C(3,2)，
∴EB=8，BG=6，CG=4，CF=4，AF=2，AE=4，
∴S△ABC=S矩形EBGF−S△AEB−S△BGC−S△AFC
=8×6−4×82−6×42−4×22
=48−16−12−4
=16．
【解析】(1)根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(2)先求出直线BO的解析式，然后求出点C的坐标，再用割补法即可求得△ABC的面积．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)作BE⊥y轴于点E，

∵OA=60m，着陆坡AC的坡角为30°，AB=100m，
∴点A的坐标为(0,60)，AE=50m，BE=50 3m，
∴OE=OA−AE=60−50=10(m)，
∴点B的坐标为(50 3,10)，
∵点A(0,60)，点B(50 3,10)在二次函数y=−150x2+bx+c的图象上，
∴c=60 −150(50 3)2+50 3b+c=10 ，
解得b=−7 330 c=60 ，
即b的值是−7 330，c的值是60；
(2)①设x关于t的函数解析式是x=kt+m，
因为点(0,0)，(5,50 3)在该函数图象上，
∴m=05k+m=50 3，
解得k=10 3m=0，
即x关于t的函数解析式是x=10 3t；
②设直线AB的解析式为y=px+q，
∵点A(0,60)，点B(50 3,10)在该直线上，
∴q=60 50 3p+q=10 ，
∴p=− 33 q=60 ，
即直线AB的解析式为y=− 33x+60，
则ℎ=(−150x2−7 330x+60)−(− 33x+60)=−150x2+ 310x，
∴当x=− 3102×(−150)=52 3时，ℎ取得最值，此时ℎ=38，
∵52 3<50 3，
∴x=52 3时，ℎ取得最值，符合题意，
将x=52 3代入x=10 3t，得：52 3=10 3t，
解得t=4，
即当t为4时，运动员离着陆坡的竖直距离ℎ最大，最大值是38m.
【解析】(1)根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；
(2)①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出ℎ，然后根据二次函数的性质，可以求得当ℎ为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离ℎ最大，并求出这个最大值．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
26.【答案】2516
【解析】解：(1)四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD//AC，
∴∠A+∠AMD=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
∴四边形AMDN是矩形；
(2)如图2，过点N作NG⊥CD于G，

∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2=5，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=52，
∵∠1=∠C，
∴DN=CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG=CG=54，
∵csC=CGCN=ACBC，
∴54CN=45，
∴CN=2516；
(3)如图③，过点N作NG⊥CD于G，

∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2=5，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=52，
∵∠MDN=90°=∠A，
∴∠B+∠C=90°，∠2+∠CDN=90°，
∵∠B=∠2，
∴∠CDN=∠C，
∴DN=CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG=CG=54，
∵csC=CGCN=ACBC，
∴54CN=45，
∴CN=2516．
故答案为：2516．
(1)由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
(2)由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
(3)由∠B=∠2，推导出∠CDN=∠C，用(2)的方法解答即可．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
身高分组
频数
频率
152≤x<155
3
0.06
155≤x<1587
7
0.14
158≤x<161
13
0.26
161≤x<164
13
0.26
164≤x<167
9
0.18
167≤x<170
3
0.06
170≤x<173
m
n