2023年宁夏银川市兴庆区阅海中学中考数学二模试卷

这是一份2023年宁夏银川市兴庆区阅海中学中考数学二模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
2．（3分）一滴水的质量约为0.0000512kg，将0.0000512用科学记数法表示为（ ）
A．0.512×10﹣4B．5.12×10﹣5C．51.2×10﹣6D．512×10﹣7
3．（3分）如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
5．（3分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，则该输水管的半径为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
6．（3分）农大毕业的小王回乡自主创业，在大棚中栽培新品种的蘑菇，该种蘑菇在18℃的条件下生长最快，每天只开启一次，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度y（℃）（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0），则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（ ）
A．18小时B．17.5小时C．12小时D．10小时
7．（3分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，D在半圆上，且AD∥BO，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：﹣4cs45°+﹣|3﹣π|0的值为 ．
10．（3分）因式分解：4m2+8m+4＝ ．
11．（3分）二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是 ．
12．（3分）若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）＝ ．
13．（3分）如图，D，E是△ABC边上的两个点，要使△ABC∽△AED （只写一个）．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF，则平移距离为 ．
15．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，BC'＝2，则A'C的长是 ．
16．（3分）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔（PQ＝10m）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于282m．吊装时，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6m．主塔OP的长为 m．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后（0，1）．
（1）把△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1坐标；
（2）把△ABC以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为1：2，在第四象限画出放大后的△A2B2C2，并写出A2坐标．
18．（6分）解不等式组，并求其整数解．
19．（6分）解分式方程：．
20．（6分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
（1）求每副象棋和围棋的价格；
（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
21．（6分）如图，在矩形ABCD中（AB＜AD），BD为对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若BC＝5，求BF的长．
22．（6分）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．为进一步增强学生对航天知识的了解，某学校组织了以“梦启神舟，对他们的参赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为三个等级：合格60≤x＜75，良好75≤x＜90，优秀90≤x≤100）．
下面给出了部分信息：
七年级学生的参赛成绩：63，69，72，88，89，95，95
八年级学生“良好”等级包含的所有数据：76，79，82，89．
抽取的七、八年级学生知识竞赛成绩统计表如下：
抽取的八年级学生知识竞赛成绩扇形统计图如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）八年级学生小祺决定从“天宫”空间站、“嫦娥”探月工程、“天问”行星探测工程和“长征”系列运载火箭中选取两个进行深入学习，他搜集了这四个航天图标依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余都相同），洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回）
四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点的中点，过点D作AC的垂线，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，ED＝4，求⊙O的半径长．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，∠ACB＝90°，点C坐标为（﹣1，0）（0，2），一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；
（3）将三角板ABC沿直线BC向上平移，使点C的对应点C′与点B重合，此时点A的对应点A′能否刚好落在反比例函数
25．（10分）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点Q是线段AB上的动点，作QM⊥x轴交抛物线于点M，求线段QM长度的最大值；
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在
26．（10分）【感知】如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
【应用】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，AD＝3，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F ；
【拓展】如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，＝，BD、CE相交于点F，则＝ ．
2023年宁夏银川市兴庆区阅海中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【分析】根据实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：A． ，故该选项不正确；
B． （﹣3x）6＝9x2，故该选项不正确，不符合题意；
C．8x4÷2x6＝4x2，故该选项正确，符合题意；
D． （x﹣3y）（x+2y）＝x2﹣2y2，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及公式是解题的关键．
2．（3分）一滴水的质量约为0.0000512kg，将0.0000512用科学记数法表示为（ ）
A．0.512×10﹣4B．5.12×10﹣5C．51.2×10﹣6D．512×10﹣7
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【解答】解：0.0000512＝5.12×10﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3．（3分）如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如图，图中有正方体、球体、三棱柱以及圆柱体，根据三视图易得出答案．
【解答】解：A．正方体的主视图，故此选项错误；
B、球体的主视图，故此选项错误；
C、三棱柱的正视图是一个矩形，但与正视图的矩形不相同，故此选项错误；
D、圆柱的正视图以及俯视图是相同的，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，本题只要了解清楚各个几何体的三视图即可得解，难度一般．
4．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【解答】解：A、只闭合1个开关，属于不可能事件；
B、只闭合2个开关，是随机事件；
C、只闭合6个开关，是必然事件；
D、闭合4个开关，是必然事件；
故选：B．
【点评】考查了随机事件的判断，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光，难度不大．
5．（3分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，则该输水管的半径为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】作半径OD⊥AB于C，连接OA，设圆的半径是rcm，则CD＝2cm，OC＝（r﹣2）cm，AC＝AB＝×8＝4（cm），由勾股定理列出关于r的方程，求出r的值即可．
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OA，
设圆的半径是rcm，
∵CD＝2cm，
∴OC＝（r﹣2）cm，
∵OD⊥AB，
∴AC＝AB＝，
∵OA2＝OC2+AC8，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝6，
∴该输水管的半径为5cm．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程，
6．（3分）农大毕业的小王回乡自主创业，在大棚中栽培新品种的蘑菇，该种蘑菇在18℃的条件下生长最快，每天只开启一次，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度y（℃）（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0），则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（ ）
A．18小时B．17.5小时C．12小时D．10小时
【分析】观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且AB段是恒温阶段，y＝18，所以计算AD和BC两段当y＝12时对应的x值，相减就是结论．
【解答】解：把B（12，18）代入y＝
k＝12×18＝216；
设一次函数的解析式为：y＝mx+n
把（0，10），18）代入y＝mx+n中得：
 ，
解得，
∴AD的解析式为：y＝4x+10
当y＝12时，12＝4x+10，
12＝，
解得：x＝＝18，
∴18﹣8.5＝17.5
故选：B．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
7．（3分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，
∵抛物线与y轴的负半轴相交，
∴c＜2，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，
反比例函数y＝的图象分布在第二，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
8．（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，D在半圆上，且AD∥BO，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA、OD，根据已知条件可得∠AOD＝60°，△OAB是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝8，
∵AD∥BO，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，判断出△AOD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，且△AOB是等边三角形，利用扇形的面积公式求解是解题关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：﹣4cs45°+﹣|3﹣π|0的值为 3 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣7×
＝5﹣2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
10．（3分）因式分解：4m2+8m+4＝ 4（m+1）2 ．
【分析】先提取公因式，再运用完全平方公式．
【解答】解：原式＝4（m2+6m+1）
＝4（m+2）2．
故答案为：4（m+6）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、完全平方公式是解决本题的关键．
11．（3分）二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是 ．
【分析】首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份、春分，
∴指针落在惊蛰、春分．
故答案为：
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）＝ 4046 ．
【分析】直接利用根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2023x+2＝8的两个实数根，
∴，ab＝2，
∴ab（a+b）＝2023×6＝4046，
故答案为：4046．
【点评】本题考查了根与系数关系，掌握根与系数的关系是解答本题的关键，记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．（3分）如图，D，E是△ABC边上的两个点，要使△ABC∽△AED ∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝ （只写一个）．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC＝∠AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝．
【点评】此题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件∠ABC＝∠AED并求证△ABC∽△AED是解题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF，则平移距离为 4 ．
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD＝BE，AD∥BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE＝4，即得平移距离．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝7，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC•BE＝20，即5BE＝20，
∴BE＝4，
即平移距离等于4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
15．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，BC'＝2，则A'C的长是 3 ．
【分析】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝8，
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
16．（3分）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔（PQ＝10m）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于282m．吊装时，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6m．主塔OP的长为 105 m．
【分析】过点Q作QG⊥MN交于G点，先求出tan∠AMB＝，则MG＝4QG，再由QG＝OG•tan60°＝OG，求出OG，再求OQ，即求得OP的长．
【解答】解：过点Q作QG⊥MN交于G点，
∵MB＝6.4米，AB＝6.6米，
∴tan∠AMB＝，
∴MG＝4QG，
∵∠PON＝60°，
∴QG＝OG⋅tan60°＝OG，
∵MO＝282米，
∴282+OG＝4OG，
解得：OG＝，
∴OQ＝≈95（米），
∵QP＝10米，
∴OP≈105米，
故答案为：105．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数的定义，准确计算是解题的关键．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位．建立坐标系后（0，1）．
（1）把△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1坐标；
（2）把△ABC以O为位似中心放大，使放大前后对应边长为1：2，在第四象限画出放大后的△A2B2C2，并写出A2坐标．
【分析】（1）根据旋转变换的定义，将三角形的三个顶点分别顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的定义得出点的对应点，顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如下图所示：△A1B1C8即为所求，A1坐标为（2，6）；
（2）如下图所示：△A2B2C8即为所求，A2坐标为（4，﹣4）．
【点评】本题考查了旋转作图及图形位似的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、位似的特点．
18．（6分）解不等式组，并求其整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3（x﹣2）≤2得：x≥1，
由＞x﹣1得：x＜5，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
所以不等式组的整数解为3、2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）解分式方程：．
【分析】先去分母化为整式方程，然后按照整式方程的解法步骤解方程，不要忘记结果要检验．
【解答】解：去分母，得（x+2）2﹣4＝x2﹣4，
去括号，得x2+4x+4﹣7＝x2﹣4，
移项、合并同类项，
化系数为4，得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+7）（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣8是原方程的解．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤并正确求解是解答的关键．
20．（6分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
（1）求每副象棋和围棋的价格；
（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
【分析】（1）设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
（2）设购买m副围棋，则购买（100﹣m）副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元．
依题意得，
解得．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
（2）设购买m副围棋，则购买（100﹣m）副象棋．
依题意得：30（100﹣m）+35m≤3200，
解得m≤40．
答：最多能购买40副围棋．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中（AB＜AD），BD为对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若BC＝5，求BF的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
（2）由线段垂直平分线的性质可得BF＝DF，设BF＝DF＝x，则CF＝BC﹣BF＝5﹣x，在Rt△CDF中，利用勾股定理可求得x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）连接DF，
∵EF为线段BD的垂直平分线，
∴BF＝DF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，
设BF＝DF＝x，
则CF＝BC﹣BF＝5﹣x，
由勾股定理得，，
解得x＝，
∴BF的长为．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤以及性质是解答本题的关键．
22．（6分）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．为进一步增强学生对航天知识的了解，某学校组织了以“梦启神舟，对他们的参赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为三个等级：合格60≤x＜75，良好75≤x＜90，优秀90≤x≤100）．
下面给出了部分信息：
七年级学生的参赛成绩：63，69，72，88，89，95，95
八年级学生“良好”等级包含的所有数据：76，79，82，89．
抽取的七、八年级学生知识竞赛成绩统计表如下：
抽取的八年级学生知识竞赛成绩扇形统计图如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 95 ，b＝ 85 ，m＝ 20 ．
（2）八年级学生小祺决定从“天宫”空间站、“嫦娥”探月工程、“天问”行星探测工程和“长征”系列运载火箭中选取两个进行深入学习，他搜集了这四个航天图标依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余都相同），洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回）
【分析】（1）根据众数的定义可得a的值；由扇形统计图可得，m＝20，八年级学生“合格”等级的人数为20%×10＝2（人），“优秀”等级的人数为30%×10＝3（人），根据中位数的定义可得b的值．
（2）根据统计表可直接得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及小祺抽到的两张卡片编号恰好是A和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）七年级学生的参赛成绩中，95出现的次数最多，
∴a＝95．
由扇形统计图可知，八年级学生“良好”等级所占的百分比为50%，
∴“合格”等级所占的百分比为20%，
∴m＝20，“合格”等级的人数为20%×10＝2（人），
将抽取的八年级学生知识竞赛成绩按从小到大排列，排在第5和第6的为82和88，
∴b＝（82+88）÷2＝85．
故答案为：95，85；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，
∴小祺抽到的两张卡片编号恰好是A和C的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、中位数、众数、方差，能够理解扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．
四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点的中点，过点D作AC的垂线，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，ED＝4，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，CD，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝＝2，得到BD＝CD＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，CD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵CE＝2，ED＝4，
∴CD＝＝＝3，
∵D是的中点，
∴＝，
∴BD＝CD＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AED＝90°，
∵∠DCE＝∠ABD，
∴△DCE∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径长为6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，∠ACB＝90°，点C坐标为（﹣1，0）（0，2），一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；
（3）将三角板ABC沿直线BC向上平移，使点C的对应点C′与点B重合，此时点A的对应点A′能否刚好落在反比例函数
【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F．根据AAS证明△BCF≌△CAO，从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的关系式；
（2）在第二象限内，找出一次函数值y＝kx+b落在反比例函数图象下方的部分对应的x的取值范围即可；
（3）根据已知条件得到等腰直角三角板ABC的平移规律是将点C向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，根据这一平移规律得到平移后的点A的对应点A′的坐标为（﹣2，3），把x＝﹣2代入反比例函数的解析式得到y＝﹣＝≠3，判断即可．
【解答】解：（1）如图，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO．
在△BCF与△CAO中，
，
∴△BCF≌△CAO（AAS），
∴CF＝AO＝2，BF＝CO＝1，
∴OF＝OC+CF＝5+2＝3，
∴点B的坐标为（﹣2，1），
将点B的坐标代入y＝，可得：m＝﹣3×3＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜7时＜0的解集为：﹣3＜x＜6；
（3）点A′落不在反比例函数的图象上．
理由：∵点B的坐标为（﹣3，1），7），使点C的对应点C′与点B重合，
∴需将点C向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∵点A的坐标为（2，2），
∴平移后的点A的对应点A′的坐标为（﹣2，6），
当x＝﹣2时，y＝﹣＝，
∴点A′落不在反比例函数的图象上．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，利用了数形结合思想．求得点B的坐标是解题的关键．
25．（10分）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点Q是线段AB上的动点，作QM⊥x轴交抛物线于点M，求线段QM长度的最大值；
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在
【分析】（1）根据已知条件求出点A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出平抛物线的解析式；
（2）根据题意列出QM的关系式，再根据关系式得出得到线段QM的最大值；
（3）根据直角三角形的性质分两种情况讨论，再根据直角三角形的性质即可求得N的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴A（0，3），0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+4与坐标轴的两个交点A，B，
∴根据题意可得方程：
，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+7．
（2）∵点M经过抛物线
∴设点M（m，﹣m2+2m+7），
∵Q是线段AB上的动点，
∴Q（m，﹣m+3），
∴QM＝（﹣m2+7m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝＝，
∴QM的最大值为．
（3）①当∠DNA＝90°时，如图所示：
∵∠DNA＝90°时，
∴DN⊥OA，
∵D（2，4），
∴N（1，7），
∵DN＝4，AN＝2，
∴，
②当∠N'DA＝90°时，则∠DN'A＝∠NDA，
∴△ADN'∽△AND，
∴，
∵，
即，
解得：AN'＝10，
∵A（3，5），
∴N'（﹣7，0），
综上所述点 N的坐标为：（5，0）或（﹣7，
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，待定系数法，熟记数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
26．（10分）【感知】如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
【应用】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，AD＝3，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F 8 ；
【拓展】如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，＝，BD、CE相交于点F，则＝ ．
【分析】【感知】通过证明△DEF≌△CEB，然后结合平行四边形的性质可以得到所证结论成立；
【应用】与【感知】中同理可得△DEF≌△CEB，从而有DF＝BC，结合已知可以证得四边形DFCB是菱形，所以可得DF＝BD，由勾股定理可得BD＝5，最后即可得到AF＝8；
【拓展】过A作AG∥EC交BD延长线于G，通过证明△ADG≌△CDF可得AG＝FC，再由平行线分线段成比例可得 ，最后根据 可以得到结论．
【解答】解：【感知】在平行四边形ABCD中，AF∥BC，
∴∠F＝∠EBC，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝EC，
在△DEF和△CEB中，
，
∴△DEF≌△CEB（AAS），
∴BE＝EF，DF＝BC＝AD，
∴点E是BF的中点，点D是AF的中点；
【应用】同理可得△DEF≌△CEB（AAS），
∴DF＝BC，
又∵DF∥BC，
∴四边形DFCB是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴四边形DFCB是菱形，
∴DF＝BD，
∵∠BAD＝90°，AB＝4，
∴BD＝5，
∴AF＝AD+DF＝8+5＝8，
故答案为：8；
【拓展】如图，过A作AG∥EC交BD延长线于G，
∵AG∥EC，
∴∠G＝∠CFD，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADG和△CDF中，
，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝FC，
∵AG∥EF，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形全等的判定与应用，熟练掌握构造辅助线证三角形全等的方法、三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理是解题关键．
年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
84
88.5
a
124
八年级
84
b
97
126.4
年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
84
88.5
a
124
八年级
84
b
97
126.4