浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题2.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（学生版+教师版）

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专题2.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15462" 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】  PAGEREF _Toc15462 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12930" 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】  PAGEREF _Toc12930 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24259" 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】  PAGEREF _Toc24259 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc24307" 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】  PAGEREF _Toc24307 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc32122" 【题型5 线段垂直平分线的判定】  PAGEREF _Toc32122 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc31439" 【题型6 线段垂直平分线的作法】  PAGEREF _Toc31439 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc5510" 【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】  PAGEREF _Toc5510 \h 23【知识点1 线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】【例1】（2022秋•南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　6　．【分析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE＝PF，PB＝PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案．【解答】解：连接PB，PC，∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，∴∠APE＝∠APF，∴AE＝AF，在Rt△PBE和Rt△PCF中，，∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，∴AB＝AC+CF+BE，∵AB＝8，AC＝4，∴BE＝CF＝2，∴AE＝AC+CF＝6．故答案为：6．【变式1-1】（2022秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CEBF．【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CEAC，∴CEBF．【变式1-2】（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．【变式1-3】（2022秋•海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD＝CD，又由∠ADB＝60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；（2）首先在DB上截取DE＝AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．【解答】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠DAC＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，∴BD＝2AD＝AD+CD；（2）成立．理由：在DB上截取DE＝AD，∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∠EAD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝DE+BE＝AD+CD．【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【例2】（2022秋•周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）A．168° B．158° C．128° D．118°【分析】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．【解答】解：如图，连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA＝CB，CE＝CD，∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，∴∠ACB＝∠ECD＝36°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，故选：C．【变式2-1】（2022秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），（1）求∠BOC；（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，根据周角定义即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，于是得到∠OBC＝90°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）连接AO，AB、AC边的中垂线交于点O，∴AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；（2）∠ABO+∠ACB为定值，∵BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，∴∠OBC（180°﹣2∠BAC）＝90°﹣α，∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC＝180°，∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°．【变式2-2】（2022秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）A．50° B．80° C．90° D．100°【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．【解答】解：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；故选：B．【变式2-3】（2022春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　．【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案为：4∠BPC﹣360°．【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【例3】（2022秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．【变式3-1】（2022春•浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．故选：B．【变式3-2】（2022春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：C．【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）A．∠1的平分线和线段AB的交点处 B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 C．∠2的平分线和线段AB的交点处 D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处【分析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．【解答】解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，∴发射塔应该修建在∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．故选：B．【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】【例4】（2022秋•广陵区校级月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝130°，可求得∠C+∠B的度数，然后由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得BM＝AM，CN＝AN，即可得∠CAN＝∠C，∠BAM＝∠B，继而求得∠CAN+∠BAM的度数，则可求得答案；（2）先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝60°，由（1）证得BM＝AM，CN＝AN，∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM，∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°，∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°；（2）证明：∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC．【变式4-1】（2022秋•鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．【分析】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为30cm可得AB长，进而可得答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．（2）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，∵△BCD的周长为18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．∵△ABC的周长为30cm，∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．【变式4-2】（2022春•市中区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．【变式4-3】（2022秋•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离．【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案；（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG＝DH，利用面积法求出BC，DH即可．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠DBC＝24°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°；（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，∴DG＝DH，∵EF⊥BC，EF＝4，∴S△BCF•BC•EF＝10，∴BC＝5，∵BF：DF＝5：3，∴S△BDCS△BCF＝16，∴5×DH＝16，∴DH，∴DG＝DH，∴点D到AB的距离．【知识点2 线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型5 线段垂直平分线的判定】【例5】（2022秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD∠BAC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【变式5-1】（2022秋•奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．【分析】求出DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF，根据等腰三角形性质推出即可．【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF．【变式5-2】（2022春•市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．求证：（1）OC＝OD，（2）OE是线段CD的垂直平分线．【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OC＝OD即可；（2）由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线．【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE＝CE，OE＝OE，在Rt△ODE与Rt△OCE中，，∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OC＝OD；（2）∵△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．【变式5-3】（2022秋•平邑县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵D是BC的中点∴BD＝CD，又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC；（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵BE＝CF，∴AB﹣BE＝AC﹣CF，∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF．【题型6 线段垂直平分线的作法】【例6】（2022秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．（1）作出边AC的垂直平分线DE；（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于AC长度为半径画弧，两弧在AC两边相交于，然后过这两点作直线DE即可；（2）连接CE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝CE，设∠A＝x，然后根据等边对等角的性质以及等腰三角形两底角相等表示出∠ACB，然后列出方程求解即可．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；（2）如图，连接CE，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，设∠A＝x，则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°．【变式6-1】（2022秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）A．8 B．10 C．18 D．20【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC＝10，又由条件AB＝8可得△ABC的周长．【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，∵AB＝8，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+8＝18．故选：C．【变式6-2】（2022•榆林模拟）如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过点A作AP⊥BC于点P，即可解决问题．【解答】解：如图，点P即为所求．【变式6-3】（2022•长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD＝2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】作CD的垂直平分线交CD于E，交AC于P，连接DP、AE，由于CD＝2BD，则DE＝BD，所以△ADE的面积等于△ABD的面积，再利用PE∥AD得到△ADP的面积等于△ADE的面积，从而得到△PAD的面积等于△BAD的面积．【解答】解：如图，点P为所作．【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】【例7】（2022秋•伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：（1）求BC的长；（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，同理EA＝EC，于是得到结论；（2）连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，CO＝AO，∴OB＝OC，∴点O在边BC的垂直平分线上．【变式7-1】（2022•阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）设直线DM、EN交于点O．①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．所以△ADE周长＝BC；（2）①如图，连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；②根据四边形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；（2）①如图，点O在BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上；②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∵∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，∴∠BOC＝2∠MON＝160°．【变式7-2】（2022•宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由点D与点A关于点E对称易证AC＝CD，再根据角平分线，及垂直得到AC＝AB，可得答案AB＝CD；（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F．【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB∠BAC，∵D与A关于E对称，∴E为AD中点，∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC＝CD）∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB，∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB（注：证全等也可得到AC＝AB），∴AB＝CD．（2）解：∠F＝∠MCD，理由如下：∵∠BAC＝2∠MPC，又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠MPC＝∠CDA，∴∠MPF＝∠CDM，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE（注：证全等也可得到CE＝BE），∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM．（注：证全等也可得到CM＝BM）∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．∴∠CME＝∠BME（注：证全等也可得到∠CME＝∠BME．），∵∠BME＝∠PMF，∴∠PMF＝∠CME，∴∠MCD＝∠F．【变式7-3】（2022秋•信都区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．（1）求∠A的大小；（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．①求证：CD垂直平分EF；②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．【分析】（1）设∠A＝x，由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠A＝x，∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x，∠ACB＝∠CBD＝2x，再由三角形内角和定理求出x＝36°即可；（2）①证△DEC≌△DFC（AAS），得DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，再证△DEH≌△DFH（SAS），得EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，即可得出结论；②在CA上截取CG＝CB，连接DG，由全等三角形的性质得DE＝DF，CE＝CF，再证△DEG≌△DFB（SAS），得DG＝DB，∠DGE＝∠B，然后证AG＝DG，即可得出结论．【解答】（1）解：设∠A＝x，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x，∵CD＝BC，∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x；∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠CBD＝2x，∴∠DCB＝x，∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；（2）①证明：由（1）得：∠ACD＝∠A＝x，∠DCB＝x，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵CD＝CD，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，∵DH＝DH，∴△DEH≌△DFH（SAS），∴EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，∴CD垂直平分EF；②解：三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：AE＝DB+BF，理由如下：在CA上截取CG＝CB，连接DG，如图2所示：由①得：△DEH≌△DFH，∴DE＝DF，CE＝CF，∵CG＝CB，∴CG﹣CE＝CB﹣CF，即GE＝BF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEG＝∠DFB＝90°，∴△DEG≌△DFB（SAS），∴DG＝DB，∠DGE＝∠B，由（1）得：∠B＝2x，∠A＝x，∴∠DGE＝2∠A，∵∠DGE＝∠A+∠GDA，∴∠A＝∠GDA，∴AG＝DG，∴AE＝AG+GE＝DG+BF＝DB+BF．