浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题2.5 等边三角形【十大题型】（学生版+教师版）

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专题2.5 等边三角形【十大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27483" 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】  PAGEREF _Toc27483 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19349" 【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】  PAGEREF _Toc19349 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30405" 【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】  PAGEREF _Toc30405 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11790" 【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】  PAGEREF _Toc11790 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc18515" 【题型5 等边三角形的证明】  PAGEREF _Toc18515 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14614" 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】  PAGEREF _Toc14614 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc26695" 【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】  PAGEREF _Toc26695 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21943" 【题型8 与等边三角形有关的动点问题】  PAGEREF _Toc21943 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc24075" 【题型9 含30°角的直角三角形性质】  PAGEREF _Toc24075 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc19993" 【题型10 直角三角形斜边的中线】  PAGEREF _Toc19993 \h 13【知识点1 等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】【例1】（2022秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝　　　°，∠AOC＝　　　°；②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数；（3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，∠HAF＝30°，则∠1＝　　　°．【变式1-1】（2022秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数．【变式1-2】（2022秋•太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．（1）特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝　　　；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝　　　　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　　　；（2）猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【变式1-3】（2022秋•龙港区期末）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝　　　　（度）；∠GDF的大小＝　　　　（度）；AD与GD的数量关系是　　　　；DC与DF的数量关系是　　　　　　　　；（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】【例2】（2022秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　　　　　　　　．（注：把你认为正确的答案序号都写上）【变式2-1】（2022秋•西青区期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在△ABC内部，连接AE，BE，BD．若∠EBD＝50°，则∠AEB的度数是 　　　　．【变式2-2】（2022秋•兴化市校级月考）如图1，等边△ABC中，D是AB边上的点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）求证：△DBC≌△EAC；（2）求证：AE∥BC；（3）如图2，若D在边BA的延长线上，且AB＝6，AD＝2，试求△ABC与△EAC面积的比值．【变式2-3】（2022秋•赫山区期末）如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交BD于F．（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFB的度数；（3）求证：CF平分∠AFD；（4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】【例3】（2022春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（　　）A． B． C．（0，﹣2） D．【变式3-1】（2022春•龙口市期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，点A的坐标为（　　）A．（1，） B．（1，） C．（，1） D．（，）【变式3-2】（2022秋•新洲区期末）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b＝0．（1）试判定△ABO的形状；（2）如图1，若BC⊥BO，BC＝BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE＝BE+CE；（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．【变式3-3】（2022秋•汉阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB＝30°，延长DB至E，使BE＝BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA＝60°，AM交BE于N．（1）求证：BE＝BC；（2）求证：∠ANB＝∠EPC；（3）当P点运动时，求BP﹣BN的值．【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　）A． B． C． D．【变式4-1】（2022春•西乡县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE＝1，求BF的长．【变式4-2】（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC＝1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长【变式4-3】（2022秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝　 　cm．【题型5 等边三角形的证明】【例5】（2022秋•建水县校级期中）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE＝60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE．求证：△ADE是等边三角形．【变式5-1】如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．【变式5-2】（2022春•龙口市期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB＝60°．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）若EF＝5，求线段OE的长．【变式5-3】（2022秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．【题型6 与等边三角形有关的规律问题】【例6】（2022秋•思明区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为 　 　．【变式6-1】（2022秋•简阳市 期中）一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如下运动：从坐标原点开始起跳记为A1，然后沿着边长为1的等边三角形跳跃即A1→A2→A3→A4→A5……已知A3的坐标为（1，0），则A2018的坐标是　 　．【变式6-2】（2022•定兴县二模）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段D1D2的长为　　，线段Dn﹣1Dn的长为　 　（n为正整数）．【变式6-3】（2022•齐齐哈尔模拟）如图，点A1是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BA1为一边，构造等边△BA1C1，称为第一次构造；点A2是△BA1C1的两条中线的交点，再以BA2为一边，构造等边△BA2C2，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△BnAn∁n的边B∁n与等边△CBA的边AB第一次在同一直线上时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　 　．【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】【例7】（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．【变式7-1】如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试说明BE＝EF＝FC．【变式7-2】（2022秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．【变式7-3】（2022春•建平县期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．【题型8 与等边三角形有关的动点问题】【例8】（2022秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式8-1】（2022春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022春•金牛区校级期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．【变式8-3】（2022秋•禄劝县期末）如图，在等边△ABC中，AC＝6，点O在AC上，且AO＝2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？【知识点2 含30°角的直角三角形】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【题型9 含30°角的直角三角形性质】【例9】（2022秋•尚志市期中）已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．（1）求证：AE＝EC；（2）若DE＝2，求BC的长．【变式9-1】（2022秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D．求证：CD＝3AD．【变式9-2】（2022春•湟中县校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，求OM的长度．【变式9-3】（2022秋•尚志市期中）如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F．（1）如图1，求证：2BD＝2CF+BE；（2）若AB＝4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ＝1，求BP的长．【知识点3 直角三角形斜边的中线】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。【题型10 直角三角形斜边的中线】【例10】（2022秋•江都区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10，EF＝4．（1）求△MEF的周长：（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【变式10-1】（2022秋•鼓楼区期末）已知：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．【变式10-2】（2022秋•高港区校级期中）如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF．（1）若EF＝3，BC＝10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC＝29°，∠ACB＝46°，求∠EMF的度数．【变式10-3】（2022秋•靖江市校级月考）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连接DM，ME，求证：∠DME＝180°﹣2∠A；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．