浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】（学生版+教师版）

专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18811" 【题型1 勾股定理的运用】  PAGEREF _Toc18811 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25252" 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】  PAGEREF _Toc25252 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9818" 【题型3 勾股定理解勾股树问题】  PAGEREF _Toc9818 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26070" 【题型4 勾股定理解动点问题】  PAGEREF _Toc26070 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc7926" 【题型5 勾股定理的验证】  PAGEREF _Toc7926 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc1678" 【题型6 直角三角形的判定】  PAGEREF _Toc1678 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc27086" 【题型7 勾股数问题】  PAGEREF _Toc27086 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc14629" 【题型8 格点图中求角的度数】  PAGEREF _Toc14629 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc19017" 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】  PAGEREF _Toc19017 \h 27【知识点1 勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=．【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE2，∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，即（x+2）2＝x2+42，解得x＝3，∴AC＝3．故选：C．【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（　　）A． B． C．2 D．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，∴BC＝6，∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝6.25．∴BD＝8﹣6.25＝1.75．故选：B．【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　．【分析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴CE＝8，∴AD6，设∠CAD＝x，则∠CAD＝3x，∵AE⊥BC，AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝2x，∴∠EAD＝∠DAC，∴DE＝DF，设CD＝a，则DE＝8﹣a，∵，∴，解得a＝5，即CD＝5，故答案为：5．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是　 　．【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC24k，在Rt△ACB中，由AC2+BC2＝AB2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出k，BC＝18，由△ADH≌△BDC，推出AH＝BC＝18，由S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD•PF，推出PE+PF＝AH＝18，【解答】解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC24k，在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，∴（32k）2+（24k）2＝302，∴k，∴BC＝18，在△ADH和△BDC中，，∴△ADH≌△BDC，∴AH＝BC＝18，∵S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD•PF，∴PE+PF＝AH＝18，故答案为18．【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　）A．24或84 B．84 C．48或84 D．48【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，在Rt△ABD中，BD5，在Rt△ACD中，DC9，∴BC＝BD+DC＝14，BC＝DC﹣BD＝4，∴△ABC的面积14×12＝84，或；故选：A．【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　）A．42 B．32 C．42或32 D．42或37【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD9，在Rt△ACD中，CD5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．综上所述，△ABC的周长是42或32．故选：C．【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（　　）A．30 B．17 C．17或30 D．36【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12是斜边或x为斜边两种情况讨论．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30；②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x，此时这个三角形的周长＝5+1217，综上所述，该三角形的周长为30或17．故选：C．【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 　 　．【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC3，当点P在CA延长线上时，∵BP＝6，BC＝6，∴CP3，∴AP＝CP﹣AC＝34；当点P在AC延长线上时，∵BP′＝6，BC＝3，∴CP′＝3，∴AC+CP′＝4+3，综上所述，线段AP的长为34或34；故答案为：34或34．【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故选：C．【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　）A．184 B．86 C．119 D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（　　）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023．故选：D．【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可．【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x，由勾股定理得：AB5x，∵△ABC的周长为12，∴3x+4x+5x＝12，解得：x＝1，∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，……第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，故选：D．【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　）A．或 B．或24或12 C．或24或12 D．或或24【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t．综上，当△ABP为等腰三角形时，t或24或，故选：D．【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝　 　s时，△BPC为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB50（cm）．如图，作AB边上的高CD．∵S△ABCAB•CDAC•BC，∴CD24（cm）．①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．故答案为：25或16．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是 　 　．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为 　 　．【分析】（1）由勾股定理可直接求解；（2）过点P作PD⊥AB，结合题意，由角平分线的性质可推得BP，PD，BD的长，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，，故答案为：6；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图．∵AP平分∠BAC，BC⊥AC，PD⊥AB，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．∴PD＝PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴AD＝AC＝8，∴BD＝2．在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得，故答案为：．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．【解答】解：（1）由题意可得，BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），∵∠B＝90°，∴PQ4（cm），即PQ的长为4cm；（2）当BQ⊥AC时，∠BQC＝90°，∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，∴AC20（cm），∵，∴，解得BQcm，∴CQ（cm），∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12）÷2＝9.6（秒）；当∠CBQ＝90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2＝16（秒）；由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABCb2ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCBc2a（b﹣a）∴b2abc2a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADEabb2ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDEabc2a（b﹣a），∴abb2ababc2a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：c2（b﹣a）（a+b）c2（b2﹣a2），∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2c2（b2﹣a2），∴b2c2b2a2，∴a2b2c2，∴a2+b2＝c2．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab（a2+b2）＝abc2，即可证得a2+b2＝c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S（a+b）（b+a）＝ab（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADEabc2ab＝abc2，∴ab（a2+b2）＝abc2，∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 ．【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，（3+1）×3×44×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y，∴S2＝x+4y．故答案为：．【知识点2 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形．【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，不是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A＝∠B∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形；⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，是直角三角形；⑥∵a：b：c＝5：12：13，∴52+122＝132，∴a2+b2＝c2，是直角三角形；故选：C．【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）A．在△ABC中，若ac，bc．则△ABC为直角三角形 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三内角之比为3：4：5 D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项A、选项B和选项D；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C．【解答】解：A．∵ac，bc，∴a2+b2c2c2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵三边长的平方之比为1：2：3（1+2＝3），∴此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵三角形的三内角之比为3：4：5，三角形的内角和等于180°，∴最大角的度数是180°＝75°＜90°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，c2＝（1+n2）2＝1+2n2+n4，∴c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（　　）A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形【分析】根据已知条件可得a2+c2＝b2，即可判定△ABC的形状．【解答】解：∵（a﹣c）2＝b2﹣2ac，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，故选：B．【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（　　）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；②∵△ABC的三内角之比为3：4：7，∴△ABC中最大角的度数为：180°90°，∴△ABC是直角三角形；③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3，∴设三边的平方分别为k，2k，3k，∵k+2k＝3k，∴△ABC是直角三角形；④∵三角形三边之比为3：4：5，∴设三边分别为3a，4a，5a，∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，∴△ABC是直角三角形，所以，上列是直角三角形的有4个，故选：D．【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　）A．162 B．200 C．242 D．288【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，c依次为10，17，26，37，50，…，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288．故选：D．【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．【解答】证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数，∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，∴ak，bk，ck是三个正整数，∵a2+b2＝c2，∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；（2）把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得（n2+1）2﹣（2n）2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；（3）先计算B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2，计算可得（n2+1）2，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．【解答】解：（1）A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，当n＝1999时，原式＝（1999+1）2＝20002＝4×106；故答案为：4×106；（2）A2﹣B2＝（n2+1）2﹣（2n）2＝（n2）2+2n2+1﹣4n2＝（n2）2﹣2n2+1＝（n2﹣1）2；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：∵B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2，∴B2+C2＝A2，∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　．【分析】先连接EF，然后根据勾股定理可以求得AE、EF、AF的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△AEF的形状，再根据AE和EF的关系，即可得到∠EAF的度数．【解答】解：连接EF，如右图所示，设每个小正方形的边长为1，则AE，EF，AF，∴AE2+EF2＝（）2+（）2＝5+5＝10＝（）2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，又∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，故答案为：45°．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　 　°．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案为：45．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝　 　．【分析】连接AE，PE，求出∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE，根据勾股定理求出AP、PE、AE，根据勾股定理的逆定理求出△PAE是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得出即可．【解答】解：如图所示：连接AE，PE，则△PCD≌△EAF，所以∠PCD＝∠EAF，∴∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAF＝∠PAE，∵由勾股定理得：AP2＝PE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，∴AP2+PE2＝AE2，∴△PAE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝45°，即∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE＝45°，故答案为：45°．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　 　．【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，最后根据平角的定义可得结论．【解答】解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°，∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°，故答案为：45°．【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；（2）由三角形内角和定理求出∠C＝31°，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC＝31°，则可得出答案．【解答】解：（1）AB⊥BD．理由：∵AC＝8，AD＝17，BD＝15，∴AC2+BD2＝82+152＝289，AD2＝289，∴AC2+BD2＝AD2，∴∠DBA＝90°，∴AB⊥DB；（2）∵∠D＝28°，∠DBC＝121°，∴∠C＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝31°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝31°，∴∠DAB＝∠C+∠ABC＝31°+31°＝62°．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；（2）根据中点的定义和勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3，∴AC＝6，BC＝8，∵AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，∴CDBC，CEAC，∴AC2+（BC）2＝36，BC2+（AC）2＝64，∴AC2BC2＝100，∴AC2+BC2＝80，∴AB4．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解方程即可得出CE的长．【解答】解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE10，∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．【分析】（1）连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积；（2）作DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线BD的长．【解答】解：（1）连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC10，∵CD＝10，AD＝10，∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积是：24+50＝74，即四边形ABCD的面积是74；（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE，BC＝ED，∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，∴BD2．a68101214…b815243548…c1017263750…