浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题3.1 平方根与立方根【九大题型】（学生版+教师版）

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专题3.1 平方根与立方根【九大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17272" 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】  PAGEREF _Toc17272 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19883" 【题型2 平方根性质的运用】  PAGEREF _Toc19883 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14364" 【题型3 开平方、开立方的运算】  PAGEREF _Toc14364 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24215" 【题型4 利用开平方、开立方解方程】  PAGEREF _Toc24215 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30447" 【题型5 算术平方根的概念及非负性】  PAGEREF _Toc30447 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4863" 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】  PAGEREF _Toc4863 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc13874" 【题型7 平方根与立方根综合】  PAGEREF _Toc13874 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc12897" 【题型8 算术平方根、立方根的应用】  PAGEREF _Toc12897 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc26792" 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】  PAGEREF _Toc26792 \h 14【知识点1 平方根的概念及表示】①定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根.②表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、负根号，其中叫做被开方数.【知识点2 立方根的概念及性质】（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1 平方根、立方根的概念及表示】【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（　　）A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．故选：D．【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（　　）A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是-1的平方根 C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．【解答】解：∵±1都是1的平方根，∴选项A符合题意；∵-1没有平方根，∴选项B符合题意；∵1的立方根是1，∴选项C不符合题意；∵﹣1的立方根是﹣1，∴选项D符合题意，故选：A．【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．【解答】解：A．无意义，故A不符合题意．B．，故B符合题意．C．，故C不符合题意．D．，故D不符合题意．故选：B．【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（　　）A．0只有一个平方根 B．若x2＝3，则x＝± C．的立方根是2 D．512的立方根是±8【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：A、0只有一个平方根，故A不符合题意．B、若x2＝3，则x＝±，故B不符合题意．C、8，8的立方根是2，故C不符合题意．D、512的立方根是8，故D符合题意．故选：D．【知识点3 平方根的性质】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．【题型2 平方根性质的运用】【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，整理得：a+b＝﹣1，则原式＝1．【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是　﹣4　；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝　　．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x．故答案为：（1）﹣4；（2）．【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（　　）A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【知识点4 开平方】求一个数的平方根的运算叫做开平方．【知识点5 开立方】求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型3 开平方、开立方的运算】【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝　﹣2020　，b＝　﹣2020　．【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足0，那么x2022﹣y2022＝　0　．【分析】根据0，且与均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．【解答】解：∵0，且与均≥0，∴1+x＝0，1﹣y＝0，得x＝﹣1，y＝1，x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，故答案为：0．【变式3-2】（2022春•五常市期末）的平方根是 　　，﹣27的立方根是 　﹣3　．【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．【解答】解：的平方根为；﹣27的立方根为3，故答案为：，﹣3．【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）A．2 B．2 C． D．±【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是，即y．故选：C．【题型4 利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：（1）4x2﹣9＝0；（2）8（x+1）3＝125．【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2，x1，x2；（2）8（x+1）3＝125，（x+1）3，x+1，x＝1.5．【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3，计算即可得出答案；（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1，计算即可得出答案．【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，（x﹣3）2＝16，x﹣3，x﹣3＝±4，x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，x＝7或x＝﹣1；（2）（x+1）3+27＝0，（x+1）3＝﹣27，x+1，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；（2）（x+1）3+3．【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）2x2＝50，两边都除以2得，x2＝25，根据平方根的定义得，x＝±5；（2）（x+1）3+3，移项得，（x+1）33，合并同类项得，（x+1）3，根据立方根的定义得，x+1，解得x．【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝　﹣2或4　；若x30，则x＝　　．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，x＝﹣2或4；（2）x30，x3，x．故答案为：﹣2或4；．【知识点6 算术平方根的概念】正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根．【知识点7 算术平方根的性质】①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当时，；③算术平方根具有双重非负性：；.【题型5 算术平方根的概念及非负性】【例5】（2022春•饶平县校级期末）的算术平方根是（　　）A．（x2+4）4 B．（x2+4）2 C．x2+4 D．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出的算术平方根．【解答】解：∵x2+4，∴的算术平方根是．故选：D．【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是 　x≥5　．【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【变式5-2】（2022春•宁县期末）若为整数，x为正整数，则x的值为 　3或6或7　．【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．∴x≤7．∵x为正整数，∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．∵为整数，∴x＝3或6或7．故答案为：3或6或7．【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当12时，②当12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵12，6，4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵6，∴分两种情况讨论：①当12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．【题型6 开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（注：表中部分数值为近似值）（　　）A．m＝0.025，n≈7.91 B．m＝2.5，n≈7.91 C．m≈7.91，n＝2.5 D．m＝2.5，n≈0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，，，，．∵0.25×10＝2.5，0.791×10≈7.91，∴m＝2.5，n≈7.91．故选：B．【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向　右　移动　1　位；（3）根据你发现的规律填空：①已知1.442，则　14.42　；②已知0.07696，则　7.696　．【分析】（1）开立方运算，然后填表即可；（2）根据表格信息，可得答案；（3）根据（2）的规律求解即可．【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；（3）①已知1.442，则14.42；②已知0.07696，则 7.696；【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知5.03587，15.92482，则　503.587　（结果保留3位小数）．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．【解答】解：， ，，＝5.03587×100，＝503.587．故答案为：503.587．【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．（2）已知：50，0.5，你能求出a的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；（2）依据规律进行计算即可．【解答】解：填表结果为0.1，10；（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位；（2）能求出a的值；∵0.5，∴0.5，由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位，∴a＝﹣125 000【题型7 平方根与立方根综合】【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为1﹣3a和a+5，则这个正数m的立方根是　4　．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m，最后求m的立方根．【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a）+（a+5）＝0，1﹣3a+a+5＝0，﹣3a+a＝﹣1﹣5，﹣2a＝﹣6，a＝3．∴a+5＝3+5＝8，∴m＝82＝64，∴64的立方根为4．故答案为：4．【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 　±6　．【分析】根据立方根的定义列出方程求出x，然后求出3x+9的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：∵5x+19的立方根是4，∴5x+19＝43＝64，∴x＝9，∴3x+9＝3×9+9＝36，∴36的平方根为±6，故答案为：±6．【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知是n﹣m+3的算术平方根，是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，解得：m＝4，n＝2，则A1，B，∴B﹣A＝2﹣1＝1，则B﹣A的平方根为：±1．【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为 　5或﹣1　．【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，当a＝3时，原式＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．当a＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．故答案为：5或﹣1．【题型8 算术平方根、立方根的应用】【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），所以正方形地砖的边长为：0.4（m）．答：每块地砖的边长是0.4m；（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），所以第二个正方体水箱的棱长为：90（cm），所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（　　）A．2.4m B．4.2m C．9.25m D．13.52m【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．由题意得，2x2＝11.52．∴x＝2.4．∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．故选：A．【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积．【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），则x2•2x＝0.25解得：x＝0.5，故长方形的底面边长为0.5m；（2）S全＝2S底+4S侧＝2×0.25+4×0.5＝2.5m2【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，4x×3x＝588．12x2＝588 x2＝49，x＞0，x7 ∴4x＝4×7＝28 （cm） 3x＝3×7＝21（cm）∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，答：桌面长宽分别为28cm和21cm．【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、、、按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 　1　．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是，∵前11排共有11×（11+1）＝66（个）．∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的数是1，两数之和是1．故答案为：1．【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：　351　．【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出1+2+3+……+n，据此求解可得．【解答】解：∵①1；②3＝1+2；③6＝1+2+3；④10＝1+2+3+4，……∴1+2+3+……+26351，故答案为：351．【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 　28　．【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定十位上的数是2，所以28，故答案为：28．【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数，按下面的方式进行排列： 若的位置记为（1，4），的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 　（8，6）　．【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是12，又在第八行第六列，∴这组数据中最大的有理数的位置记为（8，6），故答案为：（8，6）．a0.06250.6256.2562.5625625062500625000 0.250.791mn2579.1250791a0.0000010.001110001000000 　0.01　　0.1　1　10　　100　a…﹣0.00100.00111000… …﹣0.101…