浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题4.1 单项式与多项式【十大题型】（学生版+教师版）

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专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27318" 【题型1 列代数式】  PAGEREF _Toc27318 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8411" 【题型2 单项式与多项式的概念】  PAGEREF _Toc8411 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5696" 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】  PAGEREF _Toc5696 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26052" 【题型4 根据单项式的次数求参】  PAGEREF _Toc26052 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17036" 【题型5 直接确定多项式的项与次数】  PAGEREF _Toc17036 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc31463" 【题型6 根据多项式的项与次数求参】  PAGEREF _Toc31463 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5040" 【题型7 单项式与多项式综合运用】  PAGEREF _Toc5040 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14844" 【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】  PAGEREF _Toc14844 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc4750" 【题型9 单项式中的规律探究】  PAGEREF _Toc4750 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3622" 【题型10 多项式中的规律探究】  PAGEREF _Toc3622 \h 6【知识点1 代数式的概念】1.代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．2.代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（　　）A．3m﹣n2 B．（m﹣3n）2 C．（3m﹣n）2 D．3（m﹣n）2【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是 　 　．【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a＞2b）（　　）A．ab B．ab C．ab D．ab【知识点1 单项式的概念】单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．【知识点2 多项式的概念】多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：、x2y、x2+y2﹣1、x、3x2y+3xy2+x4﹣1、32t3、2x﹣y，单项式的个数为a，多项式的个数为b，则ab＝　　．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x2y，0，，﹣22abc2，，，ab2a2b中单项式的个数有（　　）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a2b，3xy，﹣2y2，，4，﹣m，，其中是多项式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，，2x2+3x﹣1，，﹣y，，单项式：{ …}多项式：{ …}．【知识点3 单项式的系数】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.【知识点4 单项式的次数】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式的系数为　 　，次数为　 　．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）x2y3z．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣xa+2byb﹣a的次数是　 　．【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为　 　．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝　 　．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2bm+2的次数相同，则m2﹣2m的值为　 　．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．【知识点5 多项式的项与次数】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是　　次　　项式．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2x2y2﹣3的最高次项是　　，三次项的系数是　　，常数项是　　．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x﹣2的次数与项数之和为 　　．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数为c，则a+b+c＝　　．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次二项式，则m的值是　　 ．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝　 ．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝　 　．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是　　 　　．【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式6是五次四项式，单项式0.4x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m＝　 　，n＝　 　．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2yx2x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn＝　　 　．【变式7-3】有三个单项式：a2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是 　　 　　．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式 　　 　　．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为　 　　；（2）第二行第n个单项式为　　 　；（3）第三行第8个单项式为　　 　；第n个单项式为　　 　　．【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是　　 　　．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：，，，，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：则第1008个式子是　　 　．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是　　 　．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是　 　．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为　2　．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为　　 　　．