安徽省滁州市凤阳县清塘学校等4校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份安徽省滁州市凤阳县清塘学校等4校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共25页。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A. 3B. ﹣3C. ±3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义来求解，注意二次项的系数与次数.
【详解】根据二次函数的定义，可知 m2-7=2 ，且 3-m≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B.
故答案为B
【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0.
2. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A. y=2(x+1)2+3B. y=2(x－1)2－3C. y=2(x+1)2－3D. y=2(x－1)2+3
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线平移不改变a的值求解此题．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，3）．
可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
故选：A．
3. 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
【详解】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．
在△PAB与△NCA中，
，
∴△PAB∽△NCA，
∴，
设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，
∴，
∴，
∵-1＜0，≤x≤3，
∴x=时，y有最大值，此时b=1-=-，
x=3时，y有最小值0，此时b=1，
∴b的取值范围是-≤b≤1．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
4. 如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【详解】作BD⊥BC交y轴于D，
∵轴，，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴的面积为4．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
5. 如图，四边形ABCD中，AC平∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，若AD＝4，AB＝6，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】易证△AFD∽△CFE得AD：CE＝AF：CF；由于CE＝ AB＝3，AD=4推出，得出结论：．
【详解】∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA；
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF；
∵CE＝AB＝3，AD＝4，
∴，
∴ .
故选B．
【点睛】准确判断及证明三角形的相似是解题的关键．
6. 如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A. （﹣3，﹣1）B. （﹣1，2）
C. （﹣9，1）或（9，﹣1）D. （﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解析】
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
如图，sinB= .
故选A.
9. 如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可.
【详解】解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB= ，

所以可得


因此可得
故选B.
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.
10. Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AC＝6 cm，那么BC等于( )
A. 8 cmB. cmC. cmD. cm
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，csA==，AC=6cm，
∴AB=10cm，
∴BC==8cm．
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为_______．
【答案】（4，1）
【解析】
【详解】∵点A（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上，
∴2=，得k=4，
∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2，
∴点B的横坐标是4，
∴y==1，
∴点B的坐标为（4，1），
故答案为（4，1）．
12. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值.
【详解】当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为，则，
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，，
由于此时点横坐标最大，
故点的横坐标最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目.
13. 如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为__．
【答案】7
【解析】
【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，
∴DP=AD-AP=2，∠BCD =∠ECF=90°
∵BP⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠APB+∠DPF=90°．
∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠DPF．
又∵∠A=∠D，
∴△APB∽△DFP，
∴，即，
∴
∴
∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，
∴△PFD∽△EFC，
，即
∴CE=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．
14. 如图，在一笔直的海岸线上有相距的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是_____．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，

根据题意得：，
，
，
，
，
在中，
船到海岸线的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算各项，再作加减法；
（2）根据特殊角的三角函数值分别计算各项，再相加即可.
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，解题的关键掌握运算法则.
16. 已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
（3）若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）符合题意的点坐标为：或或或．
【解析】
【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；
（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接，点P即为AC与对称轴的交点，的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；
（3）求得B点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点的坐标即可求得．
【小问1详解】
解：因为二次函数图象经过，，
所以，解得．
所以二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：抛物线对称轴，，，
、关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点，

此时最小，
；
【小问3详解】
解：设点坐标，
令，，解得或，
即B点坐标为，
则，
三角形的面积为，
点到的距离为，
故当点纵坐标为时，，解得：，
符合题意点坐标为：或；
当点纵坐标为时，，解得：或，
符合题意的点坐标为：或，
综上所述：符合题意的点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
17. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹，为延长线上一点，点，，，在同一平面内，，．若米，求的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】的长约为157米．
【解析】
【分析】根据题意，过点作，交的延长线于点，先通过求出AF，然后再根据进行求解即可．
【详解】如下图，过点作，交的延长线于点
在中，米，
∴米
在中，
∴米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及构造直角三角形并通过锐角三角函数表示各边之间的关系是解决本题的关键．
18. 已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m+3）x+m2+2
（1）若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
【答案】(1)m>- (2)m=2
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得：[﹣（2m+3）]2﹣4×1×（m2+2）＞0，
解得：m＞﹣；
（2）由根与系数的关系可知，x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，x12+x22=31+|x1x2|，
（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
（2m+3）2﹣2×（m2+2）=31+m2+2，
整理得：m2+12m﹣28=0，
解得：m1=2，m2=﹣14（舍去），
当m=2时，满足x12+x22=31+|x1x2|．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
19. 如图，点在等边边上，为等边三角形，与交于点．
证明：；
除了外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；
（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．
【详解】∵，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
故除了外，图中相似三角形还有：，，，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理.
20. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
【答案】（1）（2）P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）（3）M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
试题解析：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），
将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，
PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；
﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；
P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；
（3）∠MCO=∠CAB=45°，
①当△MCO∽△CAB时，，即，
CM=．
如图1，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，
当x=﹣时，y=﹣+4=，
∴M（﹣，）；
当△OCM∽△CAB时，，即，解得CM=3，
如图2，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，
当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，
∴M（﹣3，1），
综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．
考点：二次函数综合题
21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cs ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cs∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cs∠DBE＝＝ ＝，即cs∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
22. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．
（1）求证：△ADG≌△CDG．
（2）若＝，EG＝4，求AG的长．
【答案】（1）证明见解析（2）AG＝6 .
【解析】
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到∠ADG=∠CDG，AD＝BC，然后根据“SAS”推出△ADG≌△CDG；
（2）先证明△FAE∽△FBC，可得,再证明△DGE∽△BGC，求出CG的长，从而可求出AG的长.
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD＝BC，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵AD＝CD，DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG.
（2）∵△ADG≌△CDG，
∴AG＝GC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ADBC，AD＝BC，
∴△FAE∽△FBC，
，
，
，
，
，
∵ADBC，
∴∠GDE＝∠GBC，∠GED＝∠GCB，又∠DGE＝∠BGC，
∴△DGE∽△BGC，
，
∵EG＝4，
∴CG＝6，
∴AG＝6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各定理是解题的关键.
23. 如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；
（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据三角形的三边关系可知：当点、、三点共线时，可使的值最大，据此求解即可；
（3）先求得，再过点作于点，过点作轴于点，如图，这样就把以，，为顶点的三角形与相似问题转化为以，，为顶点的三角形与相似的问题，再分当时与时两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解方程组：，得，，
∵，∴
当点、、三点不共线时，根据三角形三边关系得，
当点、、三点共线时，，
∴当点、、三点共线时，取最大值，即为的长，
如图，过点作BE⊥x轴于点，则在中，由勾股定理得：，∴取最大值为；
易求得直线BC解析式为：y=－x－3，抛物线的对称轴是直线，当时，，∴点M的坐标为（，）；
∴点M的坐标为（，）时，取最大值为；
（3）存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．
设点坐标为，
在中，∵，∴，
在中，∵，∴，
∴，，
过点作于点，过点作轴于点，如图，
∵，，∴∽，
∵，
∴①当时，∽，
∴，解得，，（舍去）
∴点的纵坐标为，∴点为；
②当时，∽，
∴，解得（舍去），（舍去），
∴此时无符合条件的点；
综上所述，存在点．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法．