安徽省六安市舒城县第二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份安徽省六安市舒城县第二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，上移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【详解】解：的顶点坐标为，把点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为，
所以平移后的抛物线的解析式是．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：“左移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键．
2. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )
A. -1或3B. -1C. 3D. -3或1
【答案】C
【解析】
【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0.
【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0.
3. 在中，∠C=90°，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦定义求解即可．
【详解】解：如图，
，设，，
由勾股定理得，，
．
故选A．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用“设法”表示出三角形的三边求解更加简便．
4. 下列计算错误的个数是（ ）
①sin60°﹣sin30°=sin30° ②sin245°+cs245°=1
③（tan60°）2= ④tan30°=
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】A. sin60°﹣sin30°=−≠sin30°，故A错误；
B. sin245°+cs245°=1，故B正确；
C. (tan60°)2=3，故C错误；
D. tan30°=，故D错误；
故选C.
【点睛】此题考查了特殊角三角函数值，熟记这些特殊角的三角函数值是解此题的关键.
5. 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据当α=45°时sinα=csα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．
【详解】解：∵α=45°时sinα=csα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，csα随α的增大而减小，
∴45°＜α＜90°．
故选D．
【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．
6. 如图，，相交于点，．若，，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明两三角形相似,再利用面积比是相似比的平方即可解出.
【详解】∵AB∥CD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C,
∴△ABO∽△DCO,
∵AB=1,CD=2,
∴△AOB和△DCO相似比为:1:2.
∴△AOB和△DCO面积比为:1:4.
故选B.
【点睛】本题考查相似三角形的面积比,关键在于牢记面积比和相似比的关系.
7. 如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】设C点为AB的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当AC＞BC时，AC＝5﹣5；当AC＜BC时，BC＝5﹣5，则AC＝15﹣5，从而确定她至少走的路程．
【详解】解：设C点为AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，AC＝＝×10＝5﹣5；
当AC＜BC时，BC＝＝×10＝5﹣5，则AC＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5，
因为5﹣5﹣（15﹣5）＝10﹣20＝10（﹣1）＞0，
所以她至少走（15﹣5）米才最理想．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
8. 为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y =-t2+12t+2，当4≤ t ≤8时，该地区的最高温度是（ ）
A. 38℃B. 37℃C. 36℃D. 34℃
【答案】A
【解析】
【分析】先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可．
【详解】∵，
∴当t=6时，函数最大值为38℃，
∴当4≤ t ≤8时该地区的最高温度是当4≤ t ≤8时，
故选：A．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数最值的确定方法是解题的关键．
9. 已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），再将∠CAD对折，点A的对应点为A'，折痕为EF（如图b），再沿A'E所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】首先把阴影部分展开，然后根据已知条件和折叠的性质进行判断 ．
【详解】解：阴影部分展开后如图所示，
由折叠可得，∠AFE＝∠A'FE＝90°，AF＝A'F，EF＝E'F，
∴AA'与EE'互相平分，AA'⊥EE'，
∴四边形AEA'E'是菱形，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠的应用，熟练掌握折叠的性质是解题关键 ．
10. 若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】代入两点的坐标可得 ， ，所以 ，由抛物线的顶点在第一象限可得 且 ，可得 ，再根据、，可得S的变化范围．
【详解】将点(0，1)代入中
可得
将点(-1，0)代入中
可得
∴
∵二次函数图象的顶点在第一象限
∴对称轴 且
∴
∵，
∴
∴
故答案为：A．
【点睛】本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 二次函数，当时，y的取值范围为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定最大值，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴当时，y有最小值，
当时，；
当时，；
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键．
12. 已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先确定α的度数，然后再利用三角函数值求答案．
【详解】∵tan60°＝，
∴α+15°＝60°，
解得：α＝45°，
∴tanα＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查求三角函数值，关键是先考虑解出α．
13. 若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次函数的最值问题得到m+1＞0，而抛物线过原点，则m2﹣9=0，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：∵二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，
∴m+1＞0且m2﹣9=0，
∴m=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
14. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的面积________________．
（2）直接写出＝________________．
【答案】 ①. ##1.8 ②.
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AM＝，再利用△MFC∽△MCA，则根据相似三角形的性质可计算出MF＝，接着计算出AF，然后利用正方形的性质计算出AG，从而得到正方形AEFC的面积；
（3）利用正方形的性质得到∠FAE＝45°，∠CAB＝45°，AF＝AE，AC＝AB，则可判断△FAC∽△EAB，然后利用相似比求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠AFG＝45°，∠ACD＝45°，
∵∠MFC＝∠AFG＝45°，
∴∠MFC＝∠ACM，
∵∠CMF＝∠AMC，∠MFC＝∠MCA，
∴△MFC∽△MCA；
∵DM＝1，CM＝2，
∴AD＝CD＝1+2＝3，
在Rt△ADM中，AM＝＝，
∵△MFC∽△MCA，
∴MC：MF＝MA：MC，即2：MF＝：2，
∴MF＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∵AF为正方形AEFG的对角线，
∴AG＝，
∴正方形AEFC的面积＝AG2＝
（2 ）解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴∠FAE＝45°，∠CAB＝45°，AF＝AE，AC＝AB，
∴∠FAC＝∠EAB，，
∴△FAC∽△EAB，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要是运用相似比进行几何计算．也考查了正方形的性质．
三、（本大题共2小题，共16分）
15. 计算题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）将特殊角三角函数值代入，计算二次根式、负整数次幂，化简绝对值，最后进行加减计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查特殊角三角函数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、去绝对值等，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16. 如图，图中的小方格是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出与'的位似比；
（3）以点O为位似中心，在图中画一个，使它与的位似比等于3∶2．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；
（3）要画△A2B2C2，先确定点A2的位置，再过点A2画A2B2∥AB交O B′于B2，过点A2画A2C2∥AC交OC′于C2．
【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）与的位似比为：；
（3）如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
四、（本大题共 2 小题，共 16分）
17. 如图，在某居民楼楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅，在距楼底A点左侧水平距离的D点处有一个斜坡，斜坡的坡度，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为，在坡顶E点处测得居民楼楼顶横幅上端C点的仰角为27°（居民楼，横幅与斜坡的剖面在同一平面内），则横幅的高度约为多少?（结果精确到0.1 ，参考数据：）
【答案】约7.5米
【解析】
【分析】作于F，作于G，根据坡度和勾股定理求得，进而，再根据锐角三角函数求得FC，进而求得AC的长，再证明△ABD为等腰直角三角形，求出AB=AD=30m，进而可求得BC的高度．
【详解】解：如图，作于F，作于G，
则，
∵山坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
答：广告牌的高度约为7.5米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用-坡度、仰角问题、等腰直角三角形的判定与性质，理解坡度的概念，作辅助线构造直角三角形是解答的关键．
18. 在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B´处，折痕为DE，记∠CDB´=α
（1）当时，tanα= ；
（2）当时，tanα= ；
（3）当时，tanα= ；
（4）猜想：当时，tanα= ；并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据折叠性质与三角形的外角性质可得，当时，，设，则，设，则，勾股定理求得，根据正切的定义即可求得的值；
（2）（3）（4）方法同（1）．
【详解】,
折叠
（1）当时，
设，则
设，则
故答案为：；
（2）当时，
设，则，
设，则
故答案为：；
（3）当时，
设，则，
设，则
故答案为：；
（4）；理由如下：
当时，则=，
设，则，
设，
则，
∴，
∴a=，
∴tanα=．
故答案为：
【点睛】本题考查了正切的定义，等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求得是解题的关键．
五、（本大题共 2小题，共20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图，点在轴上，四边形中，∥，与不平行，，过点作于点，和反比例函数的图象交于点，当四边形的面积为18时，________，的值为____________．
【答案】（1），；（2）4，1：2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解两函数解析式即可；
（2）设点P（m，n），易得OD=m+2，CE=3，BC=m﹣2，根据梯形的面积公式列方程，可求得m值，进而求得n值，利用坐标与图形性质求得PE、PC的值即可解答．
【详解】解：（1）将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，解得，∴，
把、代入，
可列，解得，
直线解析式为
（2）∵四边形中，∥，与不平行，，
∴四边形OBCD是等腰梯形，
由题意，设P(m，n)，则C（m，3），E(m，0)，D(m+2，0)，
∴OD=m+2，CE=3，BC=m﹣2，
∵四边形的面积为18，
∴，
解得：m=6，又mn=6，
∴n=1，BC=m﹣2=4，
∴PE=1，PC=3﹣1=2，
∴=1：2，
故答案为：4，1：2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、梯形的面积公式、线段的比，解答的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，利用梯形面积公式求得相关线段的长度，进而确定关键点的坐标，属于中档题型，难易适中．
20. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证，再证，利用相似三角形的判定求解即可；
（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出和，再根据△ACE∽△ABD，得出结果．
【详解】证明（1）∵∠ACB=90°，CH⊥AB，
∴∠CHA=90°=∠ACB，
∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH，
∴，
∵，
∴，
∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°，
∴，
∴；
（2）∵△ACE与△ACD同高，
∴，
∵△ACD与△ABD同高，
∴ ，
∵CD=CE，
∴，
∵△ACE∽△ABD，
∴ ，
∴ ，
∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
六、（本大题共1小题，共12分）
21. 如图，中，，，为边上一动点（不与、重合），、的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设．
（1）请用含的代数式表示的度数；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出，由等腰三角形的性质得出结论；
（2）证出，由相似三角形的判定可得出结论；
（3）设，由直角三角形性质及等腰三角形的性质可得出x，x，则可得出答案．
【小问1详解】
解：∵和的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：
∵，
∴，
∵和的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：当时，，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
设，则x，
∴x，
∴x，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
七、（本大题共 1 小题，共 12分）
22. 如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上在第一象限内的一动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，，设的面积为S，求S与t的函数表达式，并求S最大时点P的坐标．
【答案】（1）；（2），点P的坐标为．
【解析】
【分析】（1）由点A、B坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；
（2）连接，设点P坐标为(t，)，由即可表示出S关于t的函数表达式；根据二次函数的性质求出S的最大值即可求出点P坐标．
【详解】（1）解：将点，代入得
解得
∴抛物线解析式为
（2）解：连接，
∵点P横坐标为t
∴点P纵坐标为
当时，，，
B点坐标为 ∴

∴当时，S有最大值，把代入
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．
八、（本大题共1小题，共14分）
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=时，求a的值．
【答案】（1）EC =，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）四边形APFD是菱形，证明见解析；
（3）a=3或7．
【解析】
【分析】（1）PC在BC上运动时，只需要用勾股定理表示PE2＝PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把a＝3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值，进而判断即可．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到2，再分情况讨论，从而求出a的值．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵BP＝a，
∴PC＝5﹣a，DE＝4﹣CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，∠1+∠2＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴EC，
自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）如图1，当a＝3时，EC，
∴DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF＝3，
∴PF＝AD＝5，
∴四边形APFD是平行四边形，
∵AP5，
∴AP＝PF，
∴平行四边形APFD是菱形；
（3）如图2，根据tan∠PAE，可得：2，
∵∠APB+∠BPE＝90°，∠CEP+∠EPC＝90°，
∴∠CEP＝∠APB，
又∵∠ABP＝∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴2
于是：2 ①或 2 ②
解得：a＝3，EC＝1.5或 a＝7，EC＝3.5．
∴a＝3或7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．