江苏省百校联考2023-2024学年高三上学期第二次数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省百校联考2023-2024学年高三上学期第二次数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了已知抛物线C，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
江苏省百校联考高三年级第二次考试
数 学 试 卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数z−的模长为( )
A.2B.3C.2D.5
2.已知集合M={x|1x-10,|φ|C8y”,则P(A)=( )
A.1136B.13C.1336D.512
6.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为( )
A.2ln 2B.ln 2
C.12ln 2D.1+ln 2
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.线段AB长度的最小值为2
B.△A1FB1的形状为锐角三角形
C.A,O,B1三点共线
D.M的坐标不可能为(3,-2)
8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=1,记bm为数列{an}中能使an≥12m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{bm}的前2023项和为( )
A.2023×2024B.22024-1
C.6-327D.112-328
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是( )
A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2
C.f(2023)=1D.f(5)=f(4)+f(3)
10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是( )
A.存在直线l,使得AP∥OR
B.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|
C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值
D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为3
11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是( )
A.BD⊥AP
B.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值
C.若M为BC的中点,则A1B=2AM-AC1
D.PA·PC的最小值为-14
12.已知函数f(x)=a(ex+a)-x,则下列结论正确的有( )
A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根
B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减
C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得
D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立
非选择题部分
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是 ▲ .
14.已知{an}是递增的等比数列,且满足a3=1,a1+a3+a5=919,则a4+a6+a8= ▲ .
15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r1r2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 ▲ .
16.设a>0,已知函数f(x)=ex-aln(ax+b)-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为 ▲ .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1-csAsinA=sin2B1+cs2B.
(1)证明:cs B=a2b.
(2)求ab的取值范围.
18.(12分)
受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.
19.(12分)
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,2Sn=3an-3.
(1)证明数列{an}为等比数列;
(2)设数列{an}的前n项积为Tn,若对任意n∈N*恒成立,求整数λ的最大值.
20.(12分)
设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知A1F=3FA2.
(1)求椭圆的离心率.
(2)已知椭圆右焦点F的坐标为(1,0),P是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A2P交y轴于点Q.若△A1PQ的面积与△A2FP的面积相等,求直线A2P的斜率.
21.(12分)
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.
(1)证明:PD⊥平面ABCD.
(2)若PD=AD, M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.
22.(12分)
已知函数f(x)=xln x-12ax2(a>0).
(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2 (x11a.
江苏省百校联考高三年级第二次考试
数学试卷参考答案
1.D 【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,
所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z−|=|z|=5,故选D.
法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z−|=|z|=5,故选D.
2.C 【解析】解不等式1x-10,则a>22.
所以g(a)在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,
所以g(a)min=g(22)=(22)2-12-ln22=ln2>0,则g(a)>0恒成立,
所以当a>0时,f(x)>2ln a+32恒成立,D正确.综上,故选BD.
13.(-∞,1] 【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤2xx2+1,
因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a小于或等于2xx2+1的最大值,当x=0时,2xx2+1=0,当x≠0时,2xx2+1=2x+1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,
所以2xx2+1的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].
14.273 【解析】设公比为q,a1+a3+a5=a3q2+a3+a3q2=919,解得q2=9或19,因为{an}递增,所以q=3,则a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=919×33=273.故答案为273.
15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径),∴△AOO1与△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,
∴AB=r1+r2,∴O1O22=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=23,
∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.
16.e2 【解析】f(x)≥0⇔ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=aln x+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且g(ex)=aln ex+ex=ax+ex,故f(x)≥0⇔g(ex)≥g(ax+b)⇔ex≥ax+b.
法一:设y=ex在点P(x0,ex0)处的切线斜率为a,ex0=a,即x0=ln a,
切线l:y=ax+a(1-ln a),
由ex≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-ln a),∴ab≤a2(1-ln a),设h(a)=a2(1-ln a),a>0,
h'(a)=2a(12-ln a),当a∈(0,e12)时,h'(a)>0,当a∈(e12,+∞)时,h'(a)