四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟数学试题（理）A卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟数学试题（理）A卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知纯虚数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．某公司一种型号的产品近期销售情况如表：
根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额约为（ ）
A．18.85万元 B．19.3万元 C．19.25万元 D．19.05万元
4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长的棱长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，则
B．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件
C．用秦九韶算法求这个多项式的值，当时，的值为14
D．若随机变量，，则
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．公差为的等差数列的首项为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（ ）
A．B．C．D．1
8．函数的大致图象如图所示，则a，b，c大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：
①三棱锥的体积为定值；②；③若，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．③④
10．执行如图所示的程序框图，则输出的值与下面的哪个数最接近？（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
12．已知双曲线的右焦点为，，直线与抛物线的准线交于点，点为双曲线上一动点，且点在以为直径的圆内，直线与以为直径的圆交于点，则的最大值为（ ）
A．80 B．81 C．72 D．71
第Ⅱ卷（共90分）
填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线的焦点坐标为 ．
14．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 .
在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是 .
已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17．（本小题满分12分）已知向量，，函数.
(1)若，求的值；
(2)，，为的内角，，的对边，，且，求面积的最大值.
18．（本小题满分12分）下图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中，，，将沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角为直二面角．
(1)证明：；
(2)若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了丰富多彩的游戏节目.其中某个知识答题游戏节目，共需要完成且次答题，并以累计的总分作为参考依据．若甲同学参加该游戏，且每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，各次答题相互独立．规定第一次答题时，回答正确得20分，回答错误得10分，第二次答题时，设置了两种答题方案供选择，方案一：回答正确得50分，回答错误得0分．方案二：若回答正确，则获得上一次答题分数的两倍，回答错误得10分．从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束．
(1)如果，甲选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；
(2)若甲选择方案二，则①记甲第次获得的分数为，期望为，求；
②若甲累计总分的期望值超过2166分，即可获得校园文创产品一份，求至少需要答题的次数.
(参考数据：；；；)
20．（本小题满分12分）已知函数．
(1)若时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若时，求函数的零点个数；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数且），分别与x轴、y轴交于A、B两点．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)与坐标轴交于A，B两点，求；
(2)求上的点到直线AB距离的范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分10分）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为，求的最小值.
成成成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟
理科数学（A卷）参考答案
1.B 【解析】，，故.故选：B.
2. A 【解析】令，则，故，.故选：A.
3. D 【解析】由表中数据可得，，
因为回归直线过样本点的中心，所以，解得，
所以回归直线方程为，
则该公司7月份这种型号产品的销售额为万元.
故选：D.
4. B 【解析】由三视图可知多面体是如图所示的三棱锥，由图可知
，，
所以最长的棱长为.
故选：B.
5. C 【解析】对于A选项，若，则，所以，不能推出，故A错误；
对于B选项，成立时，必有成立，
反之，取，则成立，但不成立，
因此“” 是“”的必要不充分条件，B错误；
对于选项C，因为，
所以可以把多项式写成如下形式：，
按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当的值：
，，，，故C正确；
对于选项D，，所以，故D错误.
故选：C.
6. D 【解析】因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
7. A 【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，
所以，即，且，
则，，
以数列的前100项和为
．
故选：A.
8. B 【解析】令，则，
由得，
结合图象知函数在上递增，在递减，
所以且，所以，
又过点，
所以，即，
所以
故选：B.
9．A 【解析】正方体中，,所以四边形为平行四边形，所以，
又平面,平面,
所以平面，即当点P在线段上运动时恒为定值，
又, 也为定值，
所以三棱锥的体积为定值，①正确；
在正方体中，平面，平面,所以，
在正方形中：,
又,平面，所以平面，
又平面，所以，②正确；
因为点P在线段上运动, 若，则点P与点A重合，则三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，故半径为，③正确；
如图所示：将三角形沿翻折得到该图形，连接与相交于点，此时取得最小值，延长，过作于点，
在中，，
故的最小值为，④错误.
故选：A.
10. B 【解析】该程序框图相当于在[0，3]上任取10000对数对，其中满足的数对有对.显然该问题是几何概型.
不等式组所表示的区域面积为9，
所表示的区域面积为，
故，因此.
故选：B.
11. D 【解析】令，得，整理得.
令，,原方程化为.
设，
则，令，解得，且，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
则在时，有最大值为，
画出简图，如右图所示，
因为原方程为.
由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根.
结合图象可得：，
设，则，得到，
因为，所以.
故选：D．
12. A 【解析】由题可知，点在以为直径的圆上，故，连接、，如图所示，可得，其中
由图可知，当点运动到双曲线右顶点时，即当时， 取最大值为80.
故选：A.
13. 【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴正半轴上，焦点坐标为.
14．【解析】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为，事件的总数为，
所以，
事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，
则事件的总数为，
所以，
所以，
故答案为：.
15．【解析】以为圆心，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由于所以，
由于点在，不妨设 ，,
，其中，
,
所以，
可看作是上的点到点的距离，
由于点在线段上运动，
故当点运动到点时，此时距离最大，为,
当点运动到点时，此时距离最小为0，
综上可知：.
16．【解析】因为，
所以为上的奇函数．
又，
所以在上单调递增．
不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
令，所以，
所以当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数．
所以，
设，显然为上的增函数，
因为，，所以存在，使得，
所以，此时，
所以，即的最大值为1．
故答案为：1.
17．解：（1），，则；----------------------------------------------------2分
.------------------------------------------------5分
（2），----------------------------------------------------------------------------7分
又，所以，，得，即，------------------------------------8分
因为，且由余弦定理可知，，
所以，
由基本不等式可得，
所以，（当且仅当时取等）----------------------------------------------------------------------------11分
故,
即面积最大值为.-----------------------------------------------------------------------------------------------12分
（注：若求角的函数值域问题，按步骤对应给分）
18．（1）证明：取AD中点为F，连接AC，CF，由得且.
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴，
∴，--------------------------------------2分
又因为二面角为直二面角，且平面平面，
∴平面PCD，因为平面PCD，
所以.-------------------------------------5分
（2）解：如图，延长AB和DC交于点G，连接GP，则GP为平面PCD与平面PAB的交线l，
取CD中点为O，连接OF，OP，
∵OP⊥AC，，
∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD. ------------------------------------------------------------------------------------------7分
如图，以O为坐标原点，OF，OD，OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面PAD的法向量为，
,
令，解得-------------------------------------------------------------------------------------------------9分
设l与平面PAD的所成角为，则，-------------------------------------------11分
因为，
即l与平面PAD所成角的正弦值为．-----------------------------------------------------------------------------12分
19．解：（1）若甲第二次答题选方案一，记两次答题累计得分为，则的可能取值为70，60，20，10．
-------------------1分
则累计得分的期望．-----------------------------------------------2分
若甲第二次答题选方案二，记两次答题累计得分为，则的可能取值为60，30，20．
，----------------------------------3分
则累计得分的期望．--------------------------------------------------------4分
因为，所以应选择方案一．----------------------------------------------------------------------------------5分
（2）①依题意得．--------------------------------------------------------------------------------6分
的可能取值为20，10，其分布列为
所以．
由，得，
所以为等比数列，其中首项为36，公比为，
所以，---------------------------------------------------------------------------------------------7分
故．------------------------------------------------------------------------------------------------8分
②由①知，，
故累计得分为， ------------------------------------------------9分
设，
当时，
所以当时，单调递增，---------------------------------------------------------------------------------------10分
由题可知，至少需答题次数满足：，
结合单调性与零点存在性定理，得到，故，
所以至少需答题15次.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
20．解：（1）函数，因为，所以切点为，------------------1分
由，得，
所以曲线在点处的切线斜率为0，-----------------------------------------------------------------------------2分
所以曲线在点处的切线方程为．-----------------------------------------------------------3分
（2）由（1）可知，
因为，所以，令，则．--------------------------------------------------4分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又因为，，-------------------------------------------------6分
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函数有且仅有两个零点．---------------------------------------------------------------------------7分
（3）因为，当时，由得---------------------------------------------------9分
下面证明：当时，对于任意，恒成立,
即证，即证；
而当时，，-----------10分
由（2）知，；所以时，恒成立；
综上所述，．--------------------------------------------------------------------------------------------------12分
21．解：（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以,-------------------------------------------------------------------------------1分
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，-----------------------------------------------------------------------------------------2分
所以的轨迹的方程为.------------------------------------------------4分，
注：未挖点扣1分
（2）①依题意，设直线DE方程为.
联立，得，
易知
设，，则，.-----------------------------------------------5分
因为轴，轴，
所以，.
所以直线DN：，
直线EM：，
联立解得.----------------------------------7分
从而点Q在定直线上. --------------------------------------------------------------------------------------------------8分
②因为，----------------------------------------------9分
又，则，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.--------------------------------------------------------------------------------------------12分
22．解：（1）令，则，解得，或（舍），
则，即，--------------------------------------------------------------------------------------2分
令，则，解得，或（舍），
则，即，-------------------------------------------------------------------------------4分
∴.----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）曲线的极坐标方程为，即，
由，得的普通方程为，-------------------------------------------------------6分
设上点的坐标为，-----------------------------------------------------------------------------------7分
由（1）知直线AB的方程为，
令上的点到直线AB的距离为，
则，---------------------------------------------------------9分
所以上的点到直线AB的距离为.--------------------------------------------------------------10分
23．解：（1）当时，不等式可化为，
∴，或，或，---------------------------------------------------------------------2分
解得或 或，----------------------------------------------------------------------4分
求并集得：，
所以原不等式的解集为．----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为，
当且仅当时，即时取到最小值，--------------------------------6分
又因为，所以，所以， ------------------------------------------7分
所以，
因为，---------------------------9分
当且仅当时，即时，
的最小值为.---------------------------------------------------------------------10分月份
2
3
4
5
6
销售额（万元）
15.1
16.3
17.0
17.2
18.4
20
10
P