四川省达州市宣汉中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省达州市宣汉中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，然后利用交集运算即可得到答案
【详解】因 ，且 ，
所以，
故选：B.
2. 命题“，”的否定是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
3. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. （-2，-1）B. （-1，0）C. （0，1）D. （1，2）
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．
【详解】解：∵f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增
又∵f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0
由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
4. 设，，，则的大小关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和幂函数的单调性分别判断可得出大小关系.
【详解】因为，，所以，
故选:C.
【点睛】本题考查指对幂函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力与数形结合思想,属于中档题.
5. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出，然后得出，即可求出实数的值.
【详解】，，
则，得，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.
6. 已知符号函数 ，则是的 （ ）
A. 充分条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义，即可求解.
【详解】由函数，
若，可得，所以充分性不成立；
若，则同号，所以，所必要性成立，
故“ ”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
7. 我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用排除法和函数的单调性，对称性及函数的定义域的应用求出结果．
【详解】根据函数的图象，对于选项：当时，，所以与图象相矛盾，故舍去；
对于选项：当时，函数（1）与函数在时，为函数的图象的渐近线相矛盾故舍去；
对于选项：由于函数的图象的渐近线为，而原图象中的渐近线为或，所以与原图相矛盾，故舍去．
对于选项：函数的图象的渐近线为或，且单调性与原图象相符，
故选：．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8. 菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度．已知某种蔬菜失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）满足的函数关系式为．若采摘后小时，这种蔬菜失去的新鲜度为，采摘后小时，这种蔬菜失去的新鲜度为．那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去新鲜度（参考数据，结果取整数）（ ）
A. 小时B. 小时
C. 小时D. 小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，列出方程组，求得的值，得出函数的解析式，令，即可求解.
【详解】由题意，采摘后小时，这种蔬菜失去的新鲜度为，采摘后小时，这种蔬菜失去的新鲜度为，可得，解得，，
所以，
令，可得，
两边同时去对数，故小时.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分别判断4个选择项的奇偶性，排除 A，再判断B、C、D的单调性，排除C.
【详解】对于A，函数的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，即A项错误；
对于B，设，显然其定义域为，又因为，所以是奇函数，
由幂函数知是增函数，故是减函数，故B项正确;
对于C，函数是奇函数，但是在和上是减函数，
在定义域上不具有单调性，故C项错误；
对于D，函数可化为，其图象如下图:
故既是奇函数又是减函数，故D项正确.
故选：BD.
10. 若 ，且，则的取值可能是（ ）
A. 10B. 23C. 25D. 28
【答案】CD
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质进行判断.
【详解】若,,
则，当且仅当取等号，
令,,
则，
所以或（舍去），
所以.
故选：CD.
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 函数有最大值
B.
C.
D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确.
【详解】因为不等式的解集为，所以，
函数开口向下，有最大值，A正确；
又，函数值即B正确；
又是关于二次方程的两根，则，
所以，则C错误；
不等式即为，即，
解得或，，D正确.
故选：ABD.
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递增
C.
D. 关于方程有 8 个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知易得奇函数的周期为2，结合已知区间解析式画出部分图象，判断A、B；应用周期性求判断C；令，将问题化为在上有4个解，数形结合判断函数交点个数判断D.
【详解】由，即奇函数的周期为2，A对；
且，，
又，故，则的部分图象如下，
由图知：在区间上不单调，B错；
，C对；
对于D，令，则，故，
问题化为在上有4个解，
由，趋向1时，
且，在上递减，在上递增，
在上图象如上图，在上有4个交点，D对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D项，应用换元法，将问题化为在上有4个解，数形结合判断函数交点个数为关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
∴函数的定义域为，
故答案为：．
14. 函数为奇函数，则实数_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由为奇函数，根据定义有，结合是单调函数即可求.
【详解】函数为奇函数知：，而，
∴，即，
又是单调函数，
∴，即有，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，应用的单调性列方程，属于基础题.
15. 下列函数，满足对定义域内的任意，都有成立的有___________.
①; ②;
③; ④
【答案】②④
【解析】
【分析】举反例得到①③错误，计算判断②，利用对数运算得到，④正确，得到答案.
【详解】对于①：取，，，，不成立；
对于②：，，
，
故，正确；
对于③：取，，，，
不成立；
对于④：，，
，正确；
故答案为：②④
16. 已知函数，若对任意的，且成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】不妨设，则不等式可变为，令，从而可得出函数在上的单调性，再分和两种情况讨论，结合二次函数的单调性即可得解.
【详解】解：不妨设，
则不等式，
即为，即，
令，
则，
所以函数在上递减，
当时，在上递减，符合题意，
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）;
（2）.
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数运算公式求解.
（2）根据对数运算与指数运算公式求解.
【详解】（1）
.
（2）
18. 已知集合 或.
（1）若 ，求；
（2）若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的补集和交集的定义可得结果；
（2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于a的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
若 ，则或，
所以或.
【小问2详解】
“” 是 “” 的充分条件
①当时，，即时，满足题意；
②当时，依题意有或，解得：，
综上，的取值范围是.
19. 已知函数
（1）求在上的值域;
（2）求在区间上的最大值的最小值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据在上的单调性求值域；
（2）分类讨论与1的大小，表示出的最大值，再求的最小值.
【小问1详解】
函数的图象的对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在上的值域为.
【小问2详解】
函数的图象的对称轴为，开口向上，区间的中点为，
①当即时，最大值，
②当即时，最大值，
，其图象如下:
由图可知，.
20. 已知函数.
（1）当 时，求不等式的解集;
（2）若 的定义域为，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由对数函数的性质有，解一元二次不等式求解集；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【小问1详解】
由题设，则，
即，解得或，
不等式的解集为.
【小问2详解】
由的定义域为，即对恒成立，
①当时，对恒成立，满足题意；
②当时，恒成立，则，解得；
综上，的取值范围是.
21. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元.
（1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利；
（2）方案①比较合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）确定，解不等式得到答案.
（2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案.
【小问1详解】
，
解不等式，得，，故，
故从第 3 年该设备开始全年盈利；
【小问2详解】
①，
当且仅当时，即时等号成立.
到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元.
②，当时，.
故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元.
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理.
22. 已知函数为常数是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式;
（2）若，求函数的值域;
（3）若,且函数满足对任意,都有成立,求实数的取值范围.
【答案】22.
23.
24.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可求出，进而得到解析式；
（2）通过判断在上单调递减，从而得到值域；
（3）判断出关于对称，得到，利用对称性和单调性化简，分离参数后，转化为求二次函数问题的最值问题.
【小问1详解】
因为 是定义在上的奇函数，所以
即 ，解得 ，
所以.
【小问2详解】
,
在上单调递减,
在上单调递减,即在上单调递减，
所以.
函数在上的值域为.
【小问3详解】
由向左移 1 个单位，向上移 1 个单位得到，
所以关于对称，所以，
则，
即，
由,得，
在上单调递减，在上单调递减，
对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令得:对任意恒成立，
令,其对称轴为，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的性质，以及抽象不等式恒成立求参数取值范围问题，解题关键利用函数的性质，将抽象不等式化简得到具体不等式，转化为二次函数，需要用到的方法为参数分离法、换元法、常变量分离法、构造函数法.